Sudut antara Dua Bidang

Dimensi Tiga (Solid Geometry) merupakan materi Matematika yang dipelajari di sekolah menengah atas. Secara umum, saya anggap, materi ini cukup rumit bagi siswa maupun (bagi sebagian) guru. Di dalamnya terdapat bahasan mengenai sudut antara dua bidang, yang dalam penerapannya berkaitan dengan suatu bangun ruang.

Nah, kupasan kita kali ini adalah tentang perhitungan besar sudut antara dua bidang dalam kubus. Sumber soal berasal dari Buku Matematika Siswa SMA/MA/SMK/MAK Kelas X yang saya temukan di sini. 

Pada dasarnya, sudut antara dua bidang ditentukan dengan cara mencari dua garis yang masing-masing berasal dari tiap bidang itu dan keduanya berpotongan di satu titik persekutuan dari kedua bidang tadi.

Dalam hal ini perhitungannya melibatkan segitiga siku-siku dan penggunaan Dalil Pythagoras.

Silakan lihat jawaban untuk soal ini dalam dokumen terlampir pada bagian bawah dari tulisan ini. Gambar yang kita ulas mengacu pada gambar 2 pada bagian Jawaban dalam dokumen tersebut.

Setelah beberapa kali saya menerapkan paket tkz-euclide, saya merasakan kemudahan dalam penggunaanya; meskipun dalam hal tertentu, misalnya meletakkan ukuran dalam kontruksi gambar dan penamaannya, saya rasa lebih nyaman dengan menggunakan perintah dari paket tikz.

Dalam hal penggunaan warna, saya terbiasa menggunakan paket xcolor dengan opsi svgnames dan dvipsnames; kadang-kadang menggunakan warna tertentu dengan lebih dulu menetapkan kode warnanya.

Dalam paket tkz-euclide, kita dapat menetapkan suatu kurva (tanpa harus menggambarnya) kemudian menggunakannya untuk mendapatkan perpotongannya dengan kurva lain. Mudah pula dalam menggambar busur, menandai ruas garis yang sama panjang, menandai sudut (termasuk sudut siku-siku dalam kontruksi perspektif) dan menamainya, dan lain-lain.

Baiklah, kita mulai menggambar. Kita awali dengan menggambar kubus $\small ABCD.EFGH$. Saya tetapkan dulu empat koordinat yang akan membentuk sisi depan, $\small ABFE$, lalu menggambarnya.

\begin{tikzpicture}[scale=1.75,thick]
%-----------------------------menggambar kubus ABCD.EFGH
\tkzDefPoints{0/0/A,2.5/0/B,0/2.5/E,2.5/2.5/F}
\tkzDrawPolygon[](A,B,F,E)
...
\end{tikzpicture}

Berikutnya saya tetapkan titik $\small D$. Agar diperoleh koordinat yang tepat, untuk ini saya meminta bantuan pada GeoGebra. Setelah itu saya buat rusuk $\small AD$ dalam bentuk garis putus-putus (dashed).

%menetapkan titik D dan menggambar sisi AD
\tkzDefPoints{1.33/0.75/D} %ditetapkan dng Geogebra
\tkzDrawSegment[dashed,color=gray](A,D)

Selanjutnya saya berencana menetapkan titik $\small C$. Titik $\small C$ adalah perpotongan dari garis yang melalui $\small D$ sejajar $\small\overline{AB}$ dan garis yang melalui $\small B$ sejajar $\small\overline{AD}$, maka

%menetapkan titik C dan menggambar sisi BC dan CD
\tkzDefLine[parallel=through D](A,B) \tkzGetPoint{I1}
\tkzDefLine[parallel=through B](A,D) \tkzGetPoint{I2}
\tkzInterLL(D,I1)(B,I2) \tkzGetPoint{C}
\tkzDrawSegment[dashed,color=gray](C,D) \tkzDrawSegment(B,C)

sekaligus saya buat sisi $\small\overline{CD}$ dan $\small\overline{BC}$.

Kemudian saya beranjak untuk menetapkan titik $\small H$, yang merupakan perpotongan dari garis yang melalui $\small E$ sejajar $\small\overline{AD}$ dan garis yang melalui $\small D$ sejajar $\small\overline{AE}$, maka

%menetapkan titik H dan menggambar sisi HD dan EH
\tkzDefLine[parallel=through E](A,D) \tkzGetPoint{I3}
\tkzDefLine[parallel=through D](A,E) \tkzGetPoint{I4}
\tkzInterLL(E,I3)(D,I4) \tkzGetPoint{H}
\tkzDrawSegment[dashed,color=gray](H,D) \tkzDrawSegment(E,H)

sekaligus saya buat sisi $\small\overline{HD}$ dan $\small\overline{EH}$.

Berikutnya saya tetapkan titik $\small G$, yang merupakan perpotongan dari garis yang melalui $\small F$ sejajar $\small\overline{EH}$ dan garis yang melalui $\small H$ sejajar $\small\overline{EF}$, maka

%menetapkan titik G dan menggambar sisi GF, GH, dan GC
\tkzDefLine[parallel=through F](E,H) \tkzGetPoint{I5}
\tkzDefLine[parallel=through H](E,F) \tkzGetPoint{I6}
\tkzInterLL(F,I5)(H,I6) \tkzGetPoint{G}
\tkzDrawSegments(G,F G,H G,C)

sekaligus saya buat sisi $\small\overline{GF}$, $\small\overline{GH}$, dan $\small\overline{GC}$.

Agar kedudukan titik-titik itu terlihat, saya gambarkan dulu noktahnya seukuran $\small0,15$ cm.

%menggambar noktah titik A, B, C, D, E, F, G, H
\tkzDrawPoints[size=.15cm](A,B,C,D,E,F,G,H)

Sekarang saya akan menggambar segienam $\small PQRSTU$. Dalam sumber soal di atas memang tidak disebutkan bahwa keenam titik itu sebagai titik-titik tengah dari rusuk-rusuk kubus yang bersesuaian, tetapi memang pula harus demikian agar soal tersebut diselesaikan.

%----------------------------menggambar segienam PQRSTU
%menetapkan titik P, Q, R, S, T, U
\tkzDefMidPoint(G,H) \tkzGetPoint{P}
\tkzDefMidPoint(G,C) \tkzGetPoint{Q}
\tkzDefMidPoint(B,C) \tkzGetPoint{R}
\tkzDefMidPoint(A,B) \tkzGetPoint{S}
\tkzDefMidPoint(A,E) \tkzGetPoint{T}
\tkzDefMidPoint(E,H) \tkzGetPoint{U}

Lalu saya gambar noktahnya seukuran $\small0,15$ cm.

%menggambar noktah titik P, Q, R, S, T, U
\tkzDrawPoints[size=.15cm](P,Q,R,S,T,U)

Sisi-sisi dalam gambar segienam $\small PQRSTU$ dibedakan, ada yang utuh dan ada yang putus-putus.

%menggambar sisi-sisi segienam 
\tkzDrawSegments[dashed,color=gray](P,Q R,S T,U)
\tkzDrawSegments(Q,R S,T U,P)

 Kemudian daerah segienam itu saya isi dengan warna Dandelion dari xcolor dalam tingkat ketebalan warna 50%.

\tkzFillPolygon[fill=Dandelion,opacity=.5](P,Q,R,S,T,U)

Untuk rusuk-rusuk kubus yang terbagi dua oleh titik tengahnya, saya tandai tiap bagian yang sama panjang itu.

%menandai ruas-ruas garis yang sama panjang
\tkzMarkSegments[mark=|,color=gray](A,S B,S B,R C,R C,Q G,Q G,P H,P E,U H,U E,T A,T)

Sekarang saya bubuhkan nama dari semua titik dan menempatkannya pada letak yang terlihat baik.

%menamai tiap titik
\tkzLabelPoints[below](A,S,B)
\tkzLabelPoints[above](H,P,G)
\tkzLabelPoints[left](T,E)
\tkzLabelPoints[left,yshift=.15cm](U,D)
\tkzLabelPoints[right](C,Q)
\tkzLabelPoints[right,yshift=-.15cm](F,R)

Untuk perhitungan, saya tetapkan titik $\small K$ dan $\small L$, menggambar $\small\overline{KL}$, membuat noktahnya, dan menamai titiknya.

\tkzDrawSegment[dashed,color=gray](B,D)
\tkzDrawSegment[](H,F)
\tkzInterLL(B,D)(S,R) \tkzGetPoint{L} 
\tkzInterLL(H,F)(U,P) \tkzGetPoint{K} 
\tkzDrawSegment[dashed,color=gray](K,L)
\tkzDrawPoints[size=.15cm](K,L)
\tkzLabelPoints[above,xshift=.15cm](L)
\tkzLabelPoints[below,xshift=-.15cm](K)

Berikutnya sama menetapkan dua titik tengah $\small M$ dan $\small N$, menggambar noktahnya, menghubungkannya, dan menamai titiknya.

\tkzDefMidPoint(A,D) \tkzGetPoint{M}
\tkzDefMidPoint(D,C) \tkzGetPoint{N}
\tkzDrawPoints[size=.15cm](M,N)
\tkzDrawSegment[dashed,color=gray](M,N)
\tkzLabelPoints[left,yshift=.15cm](M)
\tkzLabelPoints[above,xshift=.2cm](N)

Selanjutnya saya tetapkan proyeksi titik $\small K$ pada bidang alas, sebagai $\small O$, lalu menggambar noktahnya, menamai titiknya, dan menghubungkannya dengan $\small K$.

\tkzDefLine[parallel=through K](D,H) \tkzGetPoint{I7}
\tkzInterLL(K,I7)(B,D) \tkzGetPoint{O}
\tkzDrawPoints[size=.15cm](O)\tkzLabelPoints[below](O)
\tkzDrawSegment[dashed,color=gray](K,O)

Terakhir, saya menandai sudut siku-siku di $\small O$.

\tkzMarkRightAngle[color=gray!70](L,O,K)

Hasil dari pengkodean tersebut dapat Anda lihat dalam gambar pada bagian Jawaban dalam dokumen di bawah ini. Dokumen tersebut saya susun (compile) dalam jaringan melalui Online LaTeX Editor ShareLaTeX. 

Demikian semoga bermanfaat. 

Adjie Gumarang Pujakelana 2015