Menggambar Batang Korek Api dalam Deret Aritmetika Bertingkat

Mukadimah

Konsep matematis terhadap suatu jajaran atau barisan bilangan tertentu sering kali menampilkan ``keindahan''. Kadang, dalam suatu barisan bilangan, tidak nampak secara langsung bahwa itu merupakan suatu barisan aritmetika. Namun, setelah proses pengurutan beda-bedanya secara bertahap, pada akhirnya diperoleh bahwa dalam tingkatan tertentu nilai dari beda-beda itu tetap (konstan). Itulah yang disebut barisan/deret bilangan bertingkat. 

Perhatikan gambar di samping, sebagai contoh. Secara visual-kontekstual, bilangan-bilangan dalam barisan tersebut dapat berupa susunan berbentuk segitiga dari batang-batang korek api (match). Kemudian dalam penyelesaiannya dapat ditampilkan pola-polanya seperti tampak pada gambar tersebut.

Apakah sudah terbayang bagaimana Anda membuatnya? Bagaimana membuat dan menyusun batang-batang korek api itu?

Ya, Anda akan membuatnya dengan menggunakan paket tikz. 

Menggambar dan Menyusun Batang Korek Api

Lebih dulu Anda siapkan paket dan kepustakaan tikz berikut ini.

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.pathreplacing}

Kemudian untuk menggambar batang korek api, kita pinjam saja makro yang telah dihadiahkan oleh pakar Mark Wibrow di forum sebagai berikut.

\pgfdeclaredecoration{match stick}{draw}{
    \state{draw}[width=\pgfdecoratedinputsegmentlength]{
        \tikzset{x=\pgfdecoratedinputsegmentlength/10, y=\pgfdecorationsegmentamplitude/2}
        \begin{scope}[transparency group, match shadow/.try]
            \path [fill=match shadow, match stick path/.try];
            \path [fill=match shadow, match head path/.try];
        \end{scope}
        \path [match stick/.try, match stick path/.try];
        \path [match head/.try, match head path/.try];
    }
}

\tikzset{
    match/.style={
        decoration={match stick, amplitude=2pt}, decorate
    },
    % The match stick is scaled so that
    % 1 x-unit = \pgfdecoratedinputsegmentlength/10
    % 1 y-unit = \pgfdecorationsegmentamplitude/2
    match stick path/.style={
        insert path={(1.375,-1) rectangle (8.375,1)}
    },
    match head path/.style={
        insert path={(8.375,0) ellipse [x radius=0.625, y radius=1.25]}
    },
    match shadow color/.code=\colorlet{match shadow}{#1},
    match shadow color=gray,
    match shadow/.style={
        transform canvas={shift=(330:1pt)},
        opacity=0.5,
    },
    match stick/.style={
        fill=yellow
    },
    match head/.style={
        fill=red
    }
}

Makro tersebut menetapkan perintah match, sebagai opsi dalam perintah \draw, untuk setiap batang korek api yang kita buat/susun. 

Sekarang Anda telah siap untuk menggambar batang-batang korek api itu dan menyusunnya dalam bentuk segitiga. Perhatikan Gambar 1. Mula-mula Anda berada pada koordinat $(0,0)$ sebagai pangkal dari batang korek api. Kemudian (Anda gunakan koordinat kutub) Anda letakkan ``kepala'' batang korek api itu dalam arah $60^\circ$ dengan panjang $1\,\textrm{cm}$. Sambungkan/hubungkan batang korek api kedua dengan pangkal di titik itu dan berujung pada koordinat $(1,0)$. Batang korek api ketiga berpangkal di $(0,0)$ dan berujung di $(1,0)$. Anda tuliskan itu sebagai berikut.

\begin{tikzpicture}
\path[match] (0:0)--(60:1)--(0:1) (0:0)--(0:1);
\end{tikzpicture}

Sekarang perhatikan Gambar 2. Pandanglah ``segitiga besar'' (bagian luar) yang sisi-sisinya tersusun oleh dua batang korek api. 

1. \begin{tikzpicture}
2. \path[match] (0,0)--(60:1)--(60:2)%sisi kiri
3. (0:0)--(0:1)--(0:2) %sisi bawah
4. (60:2)--([shift={(60:2)}]-60:1)--([shift={(60:2)}]-60:2) %sisi kanan
5. (60:1)--([shift={(60:1)}]0:1) %tengah atas
6. (60:1)--([shift={(60:1)}]-60:1)%tengah kiri
7. (0:1)--([shift={(0:1)}]60:1);%tengah kanan
8. \end{tikzpicture}

Sisi kiri (dalam arah $60^\circ$) Anda buat dengan menghubungkan tiga koordinat tersebut. Sisi bawahnya juga demikian (lihat baris 3).

Untuk menggambar sisi kanan (perhatikan baris 4), pusat koordinat Anda berada pada koordinat $\left(60^\circ:2\right)$, oleh opsi shift. Anda rangkaikan ketiga koordinat tersebut.

Sekarang Anda akan menggambar ``segitiga kecil'' (bagian tengah). Mula-mula sisi atasnya (perhatikan baris 5), pusat koordinat Anda berada pada koordinat $\left(60^\circ:1\right)$. Anda hubungkan kedua koordinat itu. Demikian seterusnya (baris 6 dan 7) untuk kedua sisi lainnya. 

Bagaimana untuk Gambar 3 dan 4? Anda dapat mencoba untuk menggambarnya, bukan?

Dalam penyelesaian masalah tersebut, banyak batang korek api dalam setiap pola itu dinyatakan oleh bilangan (perhatikan Gambar 5). 

1. \begin{tikzpicture}[scale=.8]
2. \draw[thick,Red3] (0,0) circle (.4) node[black] {$3$};
3. \draw[thick] (1.5,0) circle (.4) node[] {$9$};
4. \draw[thick] (3,0) circle (.4) node[] {$18$};
5. \draw[thick] (4.5,0) circle (.4) node[] {$30$};
6. \end{tikzpicture}

Dalam jarak tertentu (misalnya $1.5\,\textrm{cm}$), Anda buat lingkaran berjari-jari $0.4\,\textrm{cm}$ kemudian pada pusatnya Anda isi oleh node berupa teks, yaitu banyak batang korek api itu. 

Untuk menandai perubahan nilai/banyak batang korek api (mencari beda), Anda membuat ``garis lengkung'' antara dua koordinat dengan menetapkan satu koordinat tempat melengkungkannya. Hal itu (dengan mudah) dapat dibuat berkat perintah parabola bend.

\draw[thick,-stealth] (0,-.5) parabola bend (.7,-.75) (1.5,-.5) ;

Lingkaran pertama berpusat di $(0,0)$ dan lingkaran kedua berpusat di $(1.5,0)$ sedangkan tiap jari-jarinya $0.4\,\textrm{cm}$. Oleh karena itu pangkal dan ujung garis lengkung itu dapat ditetapkan ``turun'' $0.5\textrm{cm}$ dari pusat kedua lingkaran itu dan melengkung pada koordinat $(0.7,-0.75)$. Sedangkan tanda panahnya ditetapkan oleh opsi -stealth. Kedua garis lengkung bertanda panah berikutnya ditetapkan oleh

\draw[thick,-stealth] (1.5,-.5) parabola bend (2.22,-.75) (3,-.5) ;
\draw[thick,-stealth] (3,-.5) parabola bend (3.72,-.75) (4.5,-.5) ;

Selanjutnya penamaan $a$ (lihat Gambar7) dengan garis penanda dapat dibuat berkat opsi pin oleh perintah node. 

\node[pin={[pin edge={PineGreen},pin distance=.3cm]200:{$a$}}] at (-.18,-.18) {};

Berawal dari suatu koordinat, misalnya, $(-0.18,-0.18)$ Anda tetapkan letak ke arah $200^\circ$ yang dihubungkan oleh ruas garis sepanjang $0.3\,\textrm{cm}$ dan pada letak itu diisi oleh teks $a$. 

Nah, dengan demikian, Anda sudah dapat membayangkan dan membuat gambar seperti tampak pada Gambar 8, bukan?

Penutup

Saya rasa yang perlu dikukuhkan adalah pemahaman tentang penggunaan koordinat kutub dan ``imajinasi'' tentang ``pusat koordinat'' dalam penggunaan koordinat kutub itu. Terakhir, penulis tunjukkan kepada Anda masalah beserta penyelesaiannya terkait barisan bilangan bertingkat tersebut.

Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019