Menggambar Tumpukan 6 Lingkaran

Mukadimah

Ini mungkin salah satu masalah yang sering Anda temukan dalam suatu naskah soal Matematika. Masalah kontekstual ini terkait dengan tumpukan enam buah pipa atau drum. Perhatikan contoh soalnya berikut ini.

Perhatikan Gambar di samping! Gambar tersebut adalah penampang enam buah drum yang berbentuk tabung dengan diameter $56\,\textrm{cm}$. Hitunglah panjang tali minimal untuk menyatukan keenam drum tersebut dengan susunan seperti pada gambar di samping.

Bagi sebagian orang, penyelesaian dari masalah tersebut tidaklah sulit dan bahkan sudah dihafal. Kali ini Anda akan menyertakan visualisasi dari penyelesaian tersebut dalam bentuk gambar, dengan menggunakan paket tikz. 

Menggambar Tumpukan 6 Lingkaran dan Ukurannya

Anda memerlukan paket-paket berikut ini.

1. \usepackage[x11names]{xcolor} % penggunaan warna
2. \usepackage{tikz}
3. \usetikzlibrary{angles} % menandai sudut
4. \usepackage{tikz-dimline} % menandai ukuran panjang
5. \pgfplotsset{compat=newest} % pendukung paket tikz-dimline

Perhatikan Gambar 1. Jika titik-titik pusat lingkaran segaris itu dihubungkan maka akan membentuk segitiga sama sisi. Anda dapat mulai menetapkan koordinat titik $A$ (dalam koordinat kutub) pada pusat koordinat.

\coordinate (A) at (0:0);

Anda akan menggambar lingkaran-lingkaran identik itu dalam jari-jari $1\,\textrm{cm}$. Oleh karena itu koordinat titik $B(4,0)$ ditetapkan sebagai

\coordinate (B) at (0:4);

Dari $A$, titik $C$ berjarak $4\,\textrm{cm}$ dalam arah $60^\circ$. Oleh karena itu koordinat titik $C$ ditetapkan sebagai

\coordinate (C) at (60:4);

Koordinat titik $D(2,0)$ ditetapkan sebagai

\coordinate (D) at (0:2);

Penetapan koordinat titik $E$ dapat mengacu ke titik $B$, $C$, atau $D$ selaku ``pusat koordinat''. Misalkan $D$ dianggap sebagai ``pusat koordinat'' maka $E$ berjarak $2\,\textrm{cm}$ dari $D$ dalam arah $60^\circ$. Oleh karena itu koordinat titik $E$ ditetapkan sebagai

\coordinate (E) at ([shift={(0:2)}]60:2);

Koordinat titik $F$ ditetapkan sebagai

\coordinate (F) at (60:2);

Karena keenam lingkaran itu identik (dengan jari-jari $1\,\textrm{cm}$) maka Anda dapat menggambar sekaligus keenamnya dalam perintah \foreach sebagai berikut.

\foreach \t in {A,B,C,D,E,F}{
\draw[thick] (\t) circle (1); % keenam lingkaran
\fill[red] (\t) node[below,black] {$\t$} circle (1.2pt); % pusat lingkaran
}% 

Di akhir nanti, Anda dapat menghapus penamaan pusat lingkaran oleh perintah node[below,black] {\$\t\$} itu.

Sekarang perhatikan Gambar 2. Anda akan menggambar ``tali pengikat'' keenam drum itu. Dimulai pada bagian bawah, selaku (ruas) garis singgung persekutuan luar dari tiga lingkaran. Pada koordinat ``pangkal'' (kiri) Anda mengacu ke titik $A$ selaku pusat koordinat (sebenarnya) dan pada koordinat ``ujung'' (kanan) Anda mengacu ke titik $B$ selaku ``pusat koordinat''. Ruas garis itu Anda tetapkan sebagai

\draw[thick] (270:1)--([shift={(0:4)}]270:1);

Berikutnya Anda menggambar busur merah $120^\circ$ dengan pusat $A$, dari sudut $270^\circ$ hingga $150^\circ$ dengan jari-jari $1\,\textrm{cm}$.

\draw[thick,red] (270:1) arc(270:150:1);

Kembali Anda menggambar ruas garis singgung persekutuan luar dari tiga lingkaran pada bagian kiri. Pada koordinat ``pangkal'' (bawah) Anda mengacu ke titik $A$ selaku pusat koordinat (sebenarnya) dan pada koordinat ``ujung'' (atas) Anda mengacu ke titik $C$ selaku ``pusat koordinat''. Keduanya berada pada sudut $150^\circ$ dengan jari-jari $1\,\textrm{cm}$. Ruas garis itu Anda tetapkan sebagai

\draw[thick] (150:1)--([shift={(60:4)}]150:1);

Lanjutkan dengan menggambar busur merah pada bagian atas. Mengacu ke titik $C$, Anda buat busur dari sudut $150^\circ$ hingga $30^\circ$ dengan jari-jari $1\,\textrm{cm}$.

\draw[thick,red,shift={(60:4)}] (150:1) arc(150:30:1);

Kemudian sekali lagi Anda menggambar ruas garis singgung persekutuan luar dari tiga lingkaran pada bagian kanan. Pada koordinat ``pangkal'' (atas) Anda mengacu ke titik $C$ selaku ``pusat koordinat'' dan pada koordinat ``ujung'' (bawah) Anda mengacu ke titik $B$ selaku ``pusat koordinat''. Keduanya berada pada sudut $30^\circ$ dengan jari-jari $1\,\textrm{cm}$. Ruas garis itu Anda tetapkan sebagai

\draw[thick] ([shift={(60:4)}]30:1)--([shift={(0:4)}]30:1);

Terakhir Anda menggambar busur merah dengan mengacu ke titik $B$, dari sudut $30^\circ$ hingga $-90^\circ$ dengan jari-jari $1\,\textrm{cm}$.

\draw[thick,red,shift={(0:4)}] (30:1) arc(30:-90:1);

Nah, sekarang hapus saja perintah node untuk penamaan pusat lingkaran itu. Perhatikan Gambar 3. Anda akan menandai dan menamai sudut $120^\circ$ berpusat di $A$. Lebih dulu, tetapkan dua koordinat pada kaki sudutnya. Misalnya,

\coordinate[label={[shift={(.1,.15)}]left:$A$}] (P) at (150:1);
\coordinate[label={[shift={(-.15,0)}]below:$B$}] (Q) at (270:1);

Perhatikan bahwa meskipun Anda menetapkan kedua koordinat itu sebagai $P$ dan $Q$ tetapi nama yang tercetak adalah $A$ dan $B$. Ini sekadar pilihan selera saja, boleh saja dalam nama $P$ dan $Q$.

Untuk menandai dan menamai sudut itu, Anda berikan perintah \pic.

\pic[draw=OrangeRed1,angle radius=.2cm,pic text=$120^\circ$,pic text options={rotate=-60,yshift=.15cm},font=\scriptsize,angle eccentricity=2.3] {angle={P--A--Q}};

Perhatikan bahwa nama besar sudut itu diputar $60^\circ$ searah putar jarum jam dan juga digeser. Skali lagi, ini juga sekadar selera.

Sekarang perhatikan Gambar 4. Anda tinggal menunjukkan ukuran panjang ruas garis  singgung persekutuan luar dari tiga lingkaran pada bagian bawah. Berkat paket tikz-dimline, dalam koordinat Kartesius, Anda dapat menunjukkannya oleh

\dimline[%
    label style={below=0.1cm},
    extension start length=-0.5cm,
    extension end length=-0.5cm,
    extension start style={color=lightgray},
    extension end style={color=lightgray}
]{($(0,-1)+(0,-0.5)$)}{($(4,-1)+(0,-0.5)$)}{$4r$};

Kemudian untuk menunjukkan nama titik $C$ dapat Anda nyatakan

\node[below,shift={(.15,0)}] at ([shift={(0:4)}]270:1) {$C$};

Penutup

Seperti juga penekanan dalam tulisan sebelum ini, ``kerumitannya'' lebih kepada penetapan koordinat kutub. Sedangkan hal-hal lainnya relatif mudah. Bagaimana, Anda sudah berhasil dalam membuat gambar di atas?

Berikut ini bentuk umum dari masalah di atas.

Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019