Menggambar dengan Tepat (Eksak): Dua Busur dan Dua Lingkaran Saling Singgung

Barangkali Anda pernah menemukan soal dengan dilatari oleh konstruksi seperti tampak pada gambar di samping ini. 

$A$ dan $B$ adalah titik-titik pusat dari dua lingkaran yang identik. Berapakah perbandingan luas daerah kuning dan merah?

Nah, Anda harus melukisnya, bukan? Bagaimana Anda dapat melukis gambar itu dengan tepat?

Mula-mula Anda temukan bahwa $\triangle ABC$ sama sisi. Kemudian, dengan tanpa kesulitan, Anda melukis busur dari $B$ ke $C$ sejauh $60^\circ$ berpusat di $A$ dan busur dari $A$ ke $C$ sejauh $60^\circ$ berpusat di $B$, juga menghubungkan $A$ ke $B$. Kesulitan baru muncul ketika Anda akan melukis kedua lingkaran itu. Di manakah letak (koordinat) untuk kedua pusat lingkaran itu?

Anda bersiap untuk berhitung. Melalui $C$, Anda tarik garis sehingga memotong tegak lurus $\overline{AB}$ di titik (sebutlah) $D$. Misalkan lingkaran kuning menyinggung busur $\overparen{AC}$ di titik $K$ dan lingkaran merah menyinggung busur $\overparen{AC}$ di titik $L$. Hubungkan $B$ ke $K$ sehingga $\overline{BK}\cap\overline{CD}=O_1$, yang merupakan titik pusat lingkaran kuning. 

Berikutnya hubungkan $B$ ke $L$ sehingga $\overline{BL}\cap\overline{CD}=O_2$, yang merupakan titik pusat lingkaran merah.

Sekarang misalkan jari-jari busur adalah $R$, jari-jari lingkaran kuning adalah $r_1$, dan jari-jari lingkaran merah adalah $r_2$. Anda peroleh

\begin{align*}
BD &= \tfrac{1}{2}R\\
DO_1 &= r_1\\
O_1O_2 &= r_1+r_2\\
BO_1 &= R-r_1\\
BO_2 &= R-r_2
\end{align*}

Dengan demikian pada $\triangle DBO_1$ Anda peroleh

\begin{align*}
\left(R-r_1\right)^2 &= {r_1}^2+\left(\tfrac{1}{2}R\right)^2\\
R^2-2Rr_1+{r_1}^2 &= {r_1}^2+\tfrac{1}{4}R^2\\
2Rr_1 &= \tfrac{3}{4}R^2\\
r_1 &= \tfrac{3}{8}R
\end{align*}

dan pada $\triangle DBO_1$ Anda peroleh

\begin{align*}
\left(R-r_2\right)^2 &= \left(2r_1+r_2\right)^2+\left(\tfrac{1}{2}R\right)^2\\
\left(R-r_2\right)^2 &= \left(\tfrac{3}{4}R+r_2\right)^2+\left(\tfrac{1}{2}R\right)^2\\
R^2-2Rr_2+{r_2}^2 &= \tfrac{9}{16}R^2+\tfrac{3}{2}Rr_2+{r_2}^2+\tfrac{1}{4}R^2\\
\tfrac{7}{2}Rr_2 &= R^2-\tfrac{13}{16}R^2=\tfrac{3}{16}R^2\\
r_2 &= \tfrac{2}{7}\cdot\tfrac{3}{16}\cdot R\\
r_2 &=\tfrac{1}{7}r_1\\
r_1 &= 7r_2
\end{align*}

Jadi perbandingan luas daerah lingkaran kuning dan merah adalah

\[\frac{\pi{r_1}^2}{\pi{r_2}^2}=\frac{{r_1}^2}{{r_2}^2}=\frac{(7r_2)^2}{{r_2}^2}=\frac{49}{1}\]

Lukisan

Anda letakkan titik $A$ pada koordinat $(0,0)$ dan Anda ambil jari-jari busur (misalnya) $R=6$, maka Anda peroleh $r_1=\frac{3}{8}\times6=\frac{9}{4}$ dan $r_2=\frac{1}{7}\times\frac{9}{4}=\frac{9}{28}$. Dengan demikian (sebaiknya) dapat Anda tetapkan

\def\r{9/4} % ini nilai r1
\def\rr{9/28} % ini nilai r2

Karena $R=6$ dan $A(0,0)$ maka $D(3,0)$, sehingga koordinat titik pusat dari kedua lingkaran itu adalah

(3,\r) % pusat lingkaran kuning (O1)
(3,{2*\r+\rr}) % pusat lingkaran merah (O2)

Lebih dulu Anda lakukan pengisian warna pada daerah dari kedua lingkaran itu.

\fill[electricyellow] (3,\r) circle (\r);
\fill[electriccrimson] (3,{2*\r+\rr}) circle (\rr);

(Warna electricyellow dan electriccrimson dipinjam dari sana.)
Berikutnya Anda gambar kedua busur dan ruas gari $\overline{AB}$ sebagai path tertutup, sekaligus menamai titik pusatnya dan titik potongnya.

\draw (0,0) node[left]{$A$} arc (180:120:6) node[above]{$C$} arc (60:0:6) node[right]{$B$}--cycle;

(Anda masih ingat cara menggambar busur? Bila lupa, silakan buka kembali tulisan ini.)
Terakhir Anda gambar kedua lingkaran itu (sekaligus dalam satu baris perintah agar lebih ringkas).

\draw[semithick] (3,\r) circle (\r) (3,{2*\r+\rr}) circle (\rr);

Berkat rangkai langkah (perintah) tersebut maka Anda peroleh hasilnya sebagai berikut.

Penutup

Agar memudahkan Anda, berikut ini pengkodean selengkapnya untuk gambar tikz tersebut.

\begin{tikzpicture}[font=\footnotesize,scale=1,thick]
\def\r{9/4}
\def\rr{9/28}
\fill[electricyellow] (3,\r) circle (\r);
\fill[electriccrimson] (3,{2*\r+\rr}) circle (\rr);
\draw (0,0) node[left]{$A$} arc (180:120:6) node[above]{$C$} arc (60:0:6) node[right]{$B$}--cycle;
\draw[semithick] (3,\r) circle (\r) (3,{2*\r+\rr}) circle (\rr);
\end{tikzpicture}

Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019

Lingkaran dan Dua Busur Setengah Lingkaran Saling Singgung di dalam Juring Seperempat Lingkaran

Pernahkah Anda menemukan soal yang berkaitan dengan gambar di samping ini? Hal apa yang diketahui dan ditanyakan?

Kemudian bagaimana cara Anda menggambar itu secara tepat?

Tulisan ini akan mengulas tentang hal terakhir itu.  Lebih dulu mari kita berhitung. Misalkan panjang $OA=R$ maka $AB=AC=2R$. Misalkan pula panjang $PB=r$ maka panjang $AP=2R-r$. Dengan demikian pada $\triangle APO$ siku-siku di titik $A$ diperoleh

\begin{align*}
OP^2 &= OA^2+AP^2\\
(R+r)^2 &= R^2+(2R-r)^2\\
R^2+2Rr+r^2 &= R^2+4R^2-4Rr+r^2\\
4R^2 &= 6Rr\\
2R &= 3r\\
R &= \tfrac{3}{2}r
\end{align*}sedangkan 
\begin{align*}
QN &= PQ-PN\\
QN &= R-r
\end{align*}

Lukisan

Sekarang tampak mudah untuk membuat gambar itu secara tepat, bukan?
Ambillah $r=2$ maka 
\begin{align*}
R &= 3\\
QN &= 1\\
AP &= 4\\
AB &= 6 = AC
\end{align*}

Dengan demikian jika titik $A$ diletakkan pada koordinat $(0,0)$ maka koordinat $P(4,0)$, $B(6,0)$, $C(0,6)$, $O(0,3)$, dan $Q(4,3)$.

\coordinate (A) at (0,0) coordinate (B) at (6,0)
 coordinate (C) at (0,6) coordinate (O) at (0,3)
 coordinate (P) at (4,0) coordinate (Q) at (4,3);

Menggambar lingkaran lebih mudah, bukan? Lingkaran $Q$ Anda buat oleh

\draw[thick] (Q) circle (1);

Bagaimana menggambar busur setengah lingkaran $P$? Anda sudah memiliki koordinat $B$. Mengacu kepada pusat $P$, titik $B$ terletak pada sudut $0^\circ$. Dari $B$ Anda menjejaki kurva setengah lingkaran hingga berakhir pada sudut $180^\circ$. Dengan jari-jari $2$ satuan, setengah lingkaran $P$ itu Anda buat oleh 

\draw[thick] (B) arc(0:180:2);

Sekarang perhatikan setengah lingkaran $O$. Mengacu kepada titik $O$ (pandang $\overleftrightarrow{OQ}$ selaku sumbu $X$), titik $A$ terletak pada sudut $-90^\circ$. Dari $A$ Anda menjejaki kurva setengah lingkaran hingga berakhir pada sudut $90^\circ$ (di titik $C$). Dengan jari-jari $3$ satuan, setengah lingkaran $O$ itu Anda buat oleh 

\draw[thick] (A) arc(-90:90:3);

Sekarang Anda tinggal membuat juring seperempat lingkaran. Anda dapat berangkat dari titik $A$ ke titik $B$ kemudian menjejaki busur (berpusat di $A$) dari $0^\circ$ hingga $90^circ$ dengan jari-jari $6$ satuan lalu kembali ke $A$. 

\draw[thick] (A)--(B) arc(0:90:6)--cycle;

Mudah, bukan?
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019