Lingkaran dan Dua Busur Setengah Lingkaran Saling Singgung di dalam Juring Seperempat Lingkaran

Pernahkah Anda menemukan soal yang berkaitan dengan gambar di samping ini? Hal apa yang diketahui dan ditanyakan?

Kemudian bagaimana cara Anda menggambar itu secara tepat?

Tulisan ini akan mengulas tentang hal terakhir itu.  Lebih dulu mari kita berhitung. Misalkan panjang $OA=R$ maka $AB=AC=2R$. Misalkan pula panjang $PB=r$ maka panjang $AP=2R-r$. Dengan demikian pada $\triangle APO$ siku-siku di titik $A$ diperoleh

\begin{align*}
OP^2 &= OA^2+AP^2\\
(R+r)^2 &= R^2+(2R-r)^2\\
R^2+2Rr+r^2 &= R^2+4R^2-4Rr+r^2\\
4R^2 &= 6Rr\\
2R &= 3r\\
R &= \tfrac{3}{2}r
\end{align*}sedangkan 
\begin{align*}
QN &= PQ-PN\\
QN &= R-r
\end{align*}

Lukisan

Sekarang tampak mudah untuk membuat gambar itu secara tepat, bukan?
Ambillah $r=2$ maka 
\begin{align*}
R &= 3\\
QN &= 1\\
AP &= 4\\
AB &= 6 = AC
\end{align*}

Dengan demikian jika titik $A$ diletakkan pada koordinat $(0,0)$ maka koordinat $P(4,0)$, $B(6,0)$, $C(0,6)$, $O(0,3)$, dan $Q(4,3)$.

\coordinate (A) at (0,0) coordinate (B) at (6,0)
 coordinate (C) at (0,6) coordinate (O) at (0,3)
 coordinate (P) at (4,0) coordinate (Q) at (4,3);

Menggambar lingkaran lebih mudah, bukan? Lingkaran $Q$ Anda buat oleh

\draw[thick] (Q) circle (1);

Bagaimana menggambar busur setengah lingkaran $P$? Anda sudah memiliki koordinat $B$. Mengacu kepada pusat $P$, titik $B$ terletak pada sudut $0^\circ$. Dari $B$ Anda menjejaki kurva setengah lingkaran hingga berakhir pada sudut $180^\circ$. Dengan jari-jari $2$ satuan, setengah lingkaran $P$ itu Anda buat oleh 

\draw[thick] (B) arc(0:180:2);

Sekarang perhatikan setengah lingkaran $O$. Mengacu kepada titik $O$ (pandang $\overleftrightarrow{OQ}$ selaku sumbu $X$), titik $A$ terletak pada sudut $-90^\circ$. Dari $A$ Anda menjejaki kurva setengah lingkaran hingga berakhir pada sudut $90^\circ$ (di titik $C$). Dengan jari-jari $3$ satuan, setengah lingkaran $O$ itu Anda buat oleh 

\draw[thick] (A) arc(-90:90:3);

Sekarang Anda tinggal membuat juring seperempat lingkaran. Anda dapat berangkat dari titik $A$ ke titik $B$ kemudian menjejaki busur (berpusat di $A$) dari $0^\circ$ hingga $90^circ$ dengan jari-jari $6$ satuan lalu kembali ke $A$. 

\draw[thick] (A)--(B) arc(0:90:6)--cycle;

Mudah, bukan?
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019

TkZ-Euclide: Menggambar Lingkaran-Singgung di dalam Juring

Untuk memperkaya koleksi soal dan mempelajari berbagai jenis soal Matematika dengan beragam tingkat kesulitannya, saya sarankan para guru Matematika untuk bergabung (baik secara gratis maupun berbayar) dengan situs brilliant.org. Saya sudah berada di dalamnya. Pada sebuah soal saya menemukan pertanyaan:

Sebuah juring lingkaran berjari-jari $\small 10$ dan sudut pusat (subtended angle) $\small 60^\circ$ memiliki lingkaran-singgung (circle inscribed) di dalamnya - diameternya dapat ditulis sebagai $\displaystyle\frac{a}{b}$, di mana $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat koprima. Carilah nilai dari $\displaystyle\left \lceil\frac{a^2b^2}{a+b}\right \rceil$.

Sekarang perhatikan gambar berikut ini.

Untuk menggambarkannya saya gunakan paket tkz-euclide.

1. \usepackage{tkz-euclide}
2. \usetkzobj{all}

Gambar 1 adalah gambar yang dilampirkan dalam soal tersebut. Pengkodeannya sebagai berikut:

1. \begin{tikzpicture}[scale=.6]
2. \tkzInit[xmin=-.5,xmax=11,ymin=-5.5,ymax=5]
3. \tkzClip
4. \tkzDefPoint(0,4){A}
5.    \tkzDefPoint(4.04,-5.15){B}
6.    \tkzDefPoint(9.94,2.93){C}
7.    \tkzDefPoint(8.07,-1.9){D}
8.    \tkzDefPoint(2.33,-1.28){E}
9.    \tkzDefPoint(5.74,3.38){F}
10.    \tkzDefPoint(5.38,0.07){G}
11.    \tkzDefPoint(6.91,0.74){H}
12.    \tkzDefPoint(3.42,-2.62){J}
13.    \tkzDefPoint(7.35,2.76){K}
14.    \tkzDrawSegments(A,B A,C)
15.    \tkzDrawArc[rotate,color=black,thick](A,B)(60)
16. \tkzDrawSegments[color=gray](J,K)
17. \tkzMarkAngle[size=1cm,color=gray](B,A,C)
18. \tkzLabelAngle[pos=1.5](B,A,C){$60^\circ$}
19. \tkzDrawCircle[R,color=black](G,3.33cm)
20. \tkzLabelSegments(A,C){10}
21. \tkzLabelSegments[midway,below,sloped](A,B){10}
22. \tkzLabelSegments[midway,above,sloped](J,K){diameter}
23. \end{tikzpicture}

Bagaimana cara membuat lingkaran-singgung di dalam juring tersebut?

1. Tarik garis bagi $\small\angle A$, yaitu $\small\overline{AD}$.
2. Tarik garis $\small\overline{DE}$, sedemikian sehingga $\small\angle ADE=30^\circ$.
3. Tarik garis $\small\overline{DF}$, sedemikian sehingga $\small\angle ADF=30^\circ$.
4. Hubungkan $\small\overline{EF}$, maka $\small\triangle DEF$ adalah segitiga sama sisi.
5. Tetapkan titik tengah $\small\overline{DF}$, misalkan $\small H$.
6. Tarik garis berat $\small\overline{EH}$.
7. Tetapkan perpotongan $\small\overline{EH}$ dan $\small\overline{AD}$, misalkan $\small G$.
8. Buatlah lingkaran berpusat di $\small G$ dan berjari-jari $\small\overline{GD}$.

Pengkodean selengkapnya untuk ini tercantum dalam dokumen di bawah ini. Dokumen tersebut saya susun melalui Online LaTeX Editor ShareLaTeX. 
Bila Anda ingin menguasai berbagai penggunaan paket tkz-euclide, silakan pelajari dokumentasi paket ini (meskipun, sayangnya, masih dalam bahasa Prancis).

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2015