Lingkaran dan Dua Busur Setengah Lingkaran Saling Singgung di dalam Juring Seperempat Lingkaran

Pernahkah Anda menemukan soal yang berkaitan dengan gambar di samping ini? Hal apa yang diketahui dan ditanyakan?

Kemudian bagaimana cara Anda menggambar itu secara tepat?

Tulisan ini akan mengulas tentang hal terakhir itu.  Lebih dulu mari kita berhitung. Misalkan panjang $OA=R$ maka $AB=AC=2R$. Misalkan pula panjang $PB=r$ maka panjang $AP=2R-r$. Dengan demikian pada $\triangle APO$ siku-siku di titik $A$ diperoleh

\begin{align*}
OP^2 &= OA^2+AP^2\\
(R+r)^2 &= R^2+(2R-r)^2\\
R^2+2Rr+r^2 &= R^2+4R^2-4Rr+r^2\\
4R^2 &= 6Rr\\
2R &= 3r\\
R &= \tfrac{3}{2}r
\end{align*}sedangkan 
\begin{align*}
QN &= PQ-PN\\
QN &= R-r
\end{align*}

Lukisan

Sekarang tampak mudah untuk membuat gambar itu secara tepat, bukan?
Ambillah $r=2$ maka 
\begin{align*}
R &= 3\\
QN &= 1\\
AP &= 4\\
AB &= 6 = AC
\end{align*}

Dengan demikian jika titik $A$ diletakkan pada koordinat $(0,0)$ maka koordinat $P(4,0)$, $B(6,0)$, $C(0,6)$, $O(0,3)$, dan $Q(4,3)$.

\coordinate (A) at (0,0) coordinate (B) at (6,0)
 coordinate (C) at (0,6) coordinate (O) at (0,3)
 coordinate (P) at (4,0) coordinate (Q) at (4,3);

Menggambar lingkaran lebih mudah, bukan? Lingkaran $Q$ Anda buat oleh

\draw[thick] (Q) circle (1);

Bagaimana menggambar busur setengah lingkaran $P$? Anda sudah memiliki koordinat $B$. Mengacu kepada pusat $P$, titik $B$ terletak pada sudut $0^\circ$. Dari $B$ Anda menjejaki kurva setengah lingkaran hingga berakhir pada sudut $180^\circ$. Dengan jari-jari $2$ satuan, setengah lingkaran $P$ itu Anda buat oleh 

\draw[thick] (B) arc(0:180:2);

Sekarang perhatikan setengah lingkaran $O$. Mengacu kepada titik $O$ (pandang $\overleftrightarrow{OQ}$ selaku sumbu $X$), titik $A$ terletak pada sudut $-90^\circ$. Dari $A$ Anda menjejaki kurva setengah lingkaran hingga berakhir pada sudut $90^\circ$ (di titik $C$). Dengan jari-jari $3$ satuan, setengah lingkaran $O$ itu Anda buat oleh 

\draw[thick] (A) arc(-90:90:3);

Sekarang Anda tinggal membuat juring seperempat lingkaran. Anda dapat berangkat dari titik $A$ ke titik $B$ kemudian menjejaki busur (berpusat di $A$) dari $0^\circ$ hingga $90^circ$ dengan jari-jari $6$ satuan lalu kembali ke $A$. 

\draw[thick] (A)--(B) arc(0:90:6)--cycle;

Mudah, bukan?
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019

Menggunakan Panjang Ruas Garis sebagai Jari-jari

Pendahuluan

Kali ini kita akan meninjau masalah berikut ini.

Gambar 1 adalah konsep sebuah masjid yang akan dibangun. Penampang kubah berupa setengah lingkaran dan menyinggung segitiga siku-siku $ABC$ dengan $\measuredangle A=90^\circ$. Jika diketahui $PC=5$ meter, maka radius kubah adalah ... meter.

Menggambar busur tersebut memerlukan suatu trik karena kita harus memanfaatkan panjang ruas garis sebagai jari-jari dari suatu lingkaran. Dalam hal ini masalah tersebut akan diulas dengan mengacu pada penggunaan paket TikZ.

Koordinat-koordinat dan Gambar Dasar

Kita tetapkan dulu koordinat $A$ pada titik asal.

\coordinate[label=above:$A$](A) at (0,0);

Karena sudut $A$ itu siku-siku dan (dalam hal ini) kedua kaki dari $\angle A$ itu sama panjang, maka kita tetapkan koordinat $B$ pada sudut $225^\circ$ dan koordinat $C$ pada sudut $315^\circ$ dan panjang kakinya masing-masing saya tetapkan sebagai $3\,\textrm{cm}$ dari pusat acuan $A$.

\coordinate[label=left:$B$] (B) at (225:3cm);
\coordinate[label=right:$C$] (C) at (315:3cm);

Kemudian dari $C$ kita tetapkan koordinat $D$, saya pilih, sejarak $1,8\,\textrm{cm}$ dari titik $C$ dengan $\overline{CD}\perp\overline{CB}$.

\coordinate (D) at ($(C)!1.8cm!90:(B)$);

Dalam cara yang sama, kita tetapkan koordinat $E$ sejarak $1,8\,\textrm{cm}$ dari titik $B$ dengan $\overline{BE}\perp\overline{BC}$.

\coordinate (E) at ($(B)!1.8cm!-90:(C)$);

Sekarang dapat kita buat Gambar 3 sebagai berikut.

\draw[densely dashed,bistref!50] (B)--(A)--(C);
\draw[thick] (B)--(C)--(D)--(E)--cycle;

Panjang Ruas Garis sebagai Jari-jari

Perhatikan Gambar 1 pada soal di atas. Kubah tersebut berupa busur dari suatu lingkaran yang berpusat di tengah-tengan $\overline{BC}$. Kita misalkan titik pusat lingkaran ini sebagai $O$ dan kita tetapkan

\coordinate (O) at ($(B)!.5!(C)$);

Bagaimanakah kita dapat menggambarkan busur tersebut?

Pertama, kita pikirkan jar-jarinya. Karena $\overline{AB}$ merupakan garis singgung pada lingkaran itu maka jari-jarinya kita tetapkan sebagai ruas garis yang menghubungkan $O$ terhadap proyeksinya pada $\overline{AB}$. Jari-jari demikian kita nyatakan sebagai

( $ ( $ (A)!(O)!(B) $ )-(O) $ )

Kita tidak akan menggambarkan lingkarannya, tetapi untuk menggambar suatu busur kita memerlukan titik pusat, koordinat awal, koordinat akhir, dan panjang jari-jarinya. Untuk gambar busur tersebut, kedua koordinat awal dan akhir itu merupakan titik potong dari lingkaran berpusat di $O$ itu dan ruas garis $\overline{BC}$. Oleh karena itu, tanpa menggambar, kita tetapkan lintasan (path) untuk $\overline{BC}$

\path[name path=g1] (B)--(C);

dan lintasan untuk lingkaran itu

\path[name path=L]
  let 
  \p1=( $ ( $ (A)!(O)!(B) $ )-(O) $ )% jari-jari
  in
  (O) circle ({veclen(\x1,\y1)});% panjang jari-jari

Kemudian kita tetapkan perpotongannya (salah satunya, kita memerlukan nama $P$)

\path [name intersections={of = L and g1, by={P,Q}}];

dan menunjukkan nama koordinat $P$

\node[below] at (P) {$P$};

Nah, sekarang kita dapat melukis suatu busur yang berawal dari $Q$ dan berakhir di $P$ dengan jari-jari sepanjang $OP$. Ini berarti, dengan pusat $O$, kita berjalan dari sudut $180^\circ$ ke sudut $0^\circ$. Hal itu kita nyatakan sebagai

\draw[thick] 
let 
\p1=($(O)-(P)$),% jari-jari
\n1={veclen(\x1,\y1)}% panjang jari-jari
      in (Q) arc (180:0:\n1);

dan hasilnya tampak sebagai berikut.

Terakhir akan kita buat "tonggak" dari puncak kubah dan berujung di $A$. Untuk hal ini saya buat lintasan (path) busur, dalam jari-jari $OP$, dari $P$ hingga mencapai sudut $90^\circ$. Koordinat dari titik ujung busur ini saya tetapkan sebagai $F$.

\path 
let \p1=($(O)-(P)$),
\n1={veclen(\x1,\y1)}
      in (P) arc (0:90:\n1) coordinate (F);

dan menggambar "tonggak" $\overline{AF}$ itu

\draw[thick] (A)--(F);

Hasil akhirnya terlihat sebagai berikut.

Penutup

Untuk menyelesaikan masalah semacam ini, ada hal pokok yang harus kita ingat, yaitu dalam penetapan panjang ruas garis sebagai jari-jari beserta cara menggambarkan busur atau lingkarannya.
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2017