Menggambar dengan Tepat (Eksak): Dua Busur dan Dua Lingkaran Saling Singgung

Barangkali Anda pernah menemukan soal dengan dilatari oleh konstruksi seperti tampak pada gambar di samping ini. 

$A$ dan $B$ adalah titik-titik pusat dari dua lingkaran yang identik. Berapakah perbandingan luas daerah kuning dan merah?

Nah, Anda harus melukisnya, bukan? Bagaimana Anda dapat melukis gambar itu dengan tepat?

Mula-mula Anda temukan bahwa $\triangle ABC$ sama sisi. Kemudian, dengan tanpa kesulitan, Anda melukis busur dari $B$ ke $C$ sejauh $60^\circ$ berpusat di $A$ dan busur dari $A$ ke $C$ sejauh $60^\circ$ berpusat di $B$, juga menghubungkan $A$ ke $B$. Kesulitan baru muncul ketika Anda akan melukis kedua lingkaran itu. Di manakah letak (koordinat) untuk kedua pusat lingkaran itu?

Anda bersiap untuk berhitung. Melalui $C$, Anda tarik garis sehingga memotong tegak lurus $\overline{AB}$ di titik (sebutlah) $D$. Misalkan lingkaran kuning menyinggung busur $\overparen{AC}$ di titik $K$ dan lingkaran merah menyinggung busur $\overparen{AC}$ di titik $L$. Hubungkan $B$ ke $K$ sehingga $\overline{BK}\cap\overline{CD}=O_1$, yang merupakan titik pusat lingkaran kuning. 

Berikutnya hubungkan $B$ ke $L$ sehingga $\overline{BL}\cap\overline{CD}=O_2$, yang merupakan titik pusat lingkaran merah.

Sekarang misalkan jari-jari busur adalah $R$, jari-jari lingkaran kuning adalah $r_1$, dan jari-jari lingkaran merah adalah $r_2$. Anda peroleh

$$\begin{align*} BD &= \tfrac{1}{2}R\\ DO_1 &= r_1\\ O_1O_2 &= r_1+r_2\\ BO_1 &= R-r_1\\ BO_2 &= R-r_2 \end{align*}$$

Dengan demikian pada $\triangle DBO_1$ Anda peroleh

$$\begin{align*} \left(R-r_1\right)^2 &= {r_1}^2+\left(\tfrac{1}{2}R\right)^2\\ R^2-2Rr_1+{r_1}^2 &= {r_1}^2+\tfrac{1}{4}R^2\\ 2Rr_1 &= \tfrac{3}{4}R^2\\ r_1 &= \tfrac{3}{8}R \end{align*}$$

dan pada $\triangle DBO_1$ Anda peroleh

$$\begin{align*} \left(R-r_2\right)^2 &= \left(2r_1+r_2\right)^2+\left(\tfrac{1}{2}R\right)^2\\ \left(R-r_2\right)^2 &= \left(\tfrac{3}{4}R+r_2\right)^2+\left(\tfrac{1}{2}R\right)^2\\ R^2-2Rr_2+{r_2}^2 &= \tfrac{9}{16}R^2+\tfrac{3}{2}Rr_2+{r_2}^2+\tfrac{1}{4}R^2\\ \tfrac{7}{2}Rr_2 &= R^2-\tfrac{13}{16}R^2=\tfrac{3}{16}R^2\\ r_2 &= \tfrac{2}{7}\cdot\tfrac{3}{16}\cdot R\\ r_2 &=\tfrac{1}{7}r_1\\ r_1 &= 7r_2 \end{align*}$$

Jadi perbandingan luas daerah lingkaran kuning dan merah adalah

$$\frac{\pi{r_1}^2}{\pi{r_2}^2}=\frac{{r_1}^2}{{r_2}^2}=\frac{(7r_2)^2}{{r_2}^2}=\frac{49}{1}$$

Lukisan

Anda letakkan titik $A$ pada koordinat $(0,0)$ dan Anda ambil jari-jari busur (misalnya) $R=6$, maka Anda peroleh $r_1=\frac{3}{8}\times6=\frac{9}{4}$ dan $r_2=\frac{1}{7}\times\frac{9}{4}=\frac{9}{28}$. Dengan demikian (sebaiknya) dapat Anda tetapkan

\def\r{9/4} % ini nilai r1
\def\rr{9/28} % ini nilai r2

Karena $R=6$ dan $A(0,0)$ maka $D(3,0)$, sehingga koordinat titik pusat dari kedua lingkaran itu adalah

(3,\r) % pusat lingkaran kuning (O1)
(3,{2*\r+\rr}) % pusat lingkaran merah (O2)

Lebih dulu Anda lakukan pengisian warna pada daerah dari kedua lingkaran itu.

\fill[electricyellow] (3,\r) circle (\r);
\fill[electriccrimson] (3,{2*\r+\rr}) circle (\rr);

(Warna electricyellow dan electriccrimson dipinjam dari sana.)
Berikutnya Anda gambar kedua busur dan ruas gari $\overline{AB}$ sebagai path tertutup, sekaligus menamai titik pusatnya dan titik potongnya.

\draw (0,0) node[left]{$A$} arc (180:120:6) node[above]{$C$} arc (60:0:6) node[right]{$B$}--cycle;

(Anda masih ingat cara menggambar busur? Bila lupa, silakan buka kembali tulisan ini.)
Terakhir Anda gambar kedua lingkaran itu (sekaligus dalam satu baris perintah agar lebih ringkas).

\draw[semithick] (3,\r) circle (\r) (3,{2*\r+\rr}) circle (\rr);

Berkat rangkai langkah (perintah) tersebut maka Anda peroleh hasilnya sebagai berikut.

Penutup

Agar memudahkan Anda, berikut ini pengkodean selengkapnya untuk gambar tikz tersebut.

\begin{tikzpicture}[font=\footnotesize,scale=1,thick]
\def\r{9/4}
\def\rr{9/28}
\fill[electricyellow] (3,\r) circle (\r);
\fill[electriccrimson] (3,{2*\r+\rr}) circle (\rr);
\draw (0,0) node[left]{$A$} arc (180:120:6) node[above]{$C$} arc (60:0:6) node[right]{$B$}--cycle;
\draw[semithick] (3,\r) circle (\r) (3,{2*\r+\rr}) circle (\rr);
\end{tikzpicture}

Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019