Menggambar dengan Tepat (Eksak): Dua Busur dan Dua Lingkaran Saling Singgung

Barangkali Anda pernah menemukan soal dengan dilatari oleh konstruksi seperti tampak pada gambar di samping ini. 

$A$ dan $B$ adalah titik-titik pusat dari dua lingkaran yang identik. Berapakah perbandingan luas daerah kuning dan merah?

Nah, Anda harus melukisnya, bukan? Bagaimana Anda dapat melukis gambar itu dengan tepat?

Mula-mula Anda temukan bahwa $\triangle ABC$ sama sisi. Kemudian, dengan tanpa kesulitan, Anda melukis busur dari $B$ ke $C$ sejauh $60^\circ$ berpusat di $A$ dan busur dari $A$ ke $C$ sejauh $60^\circ$ berpusat di $B$, juga menghubungkan $A$ ke $B$. Kesulitan baru muncul ketika Anda akan melukis kedua lingkaran itu. Di manakah letak (koordinat) untuk kedua pusat lingkaran itu?

Anda bersiap untuk berhitung. Melalui $C$, Anda tarik garis sehingga memotong tegak lurus $\overline{AB}$ di titik (sebutlah) $D$. Misalkan lingkaran kuning menyinggung busur $\overparen{AC}$ di titik $K$ dan lingkaran merah menyinggung busur $\overparen{AC}$ di titik $L$. Hubungkan $B$ ke $K$ sehingga $\overline{BK}\cap\overline{CD}=O_1$, yang merupakan titik pusat lingkaran kuning. 

Berikutnya hubungkan $B$ ke $L$ sehingga $\overline{BL}\cap\overline{CD}=O_2$, yang merupakan titik pusat lingkaran merah.

Sekarang misalkan jari-jari busur adalah $R$, jari-jari lingkaran kuning adalah $r_1$, dan jari-jari lingkaran merah adalah $r_2$. Anda peroleh

\begin{align*}
BD &= \tfrac{1}{2}R\\
DO_1 &= r_1\\
O_1O_2 &= r_1+r_2\\
BO_1 &= R-r_1\\
BO_2 &= R-r_2
\end{align*}

Dengan demikian pada $\triangle DBO_1$ Anda peroleh

\begin{align*}
\left(R-r_1\right)^2 &= {r_1}^2+\left(\tfrac{1}{2}R\right)^2\\
R^2-2Rr_1+{r_1}^2 &= {r_1}^2+\tfrac{1}{4}R^2\\
2Rr_1 &= \tfrac{3}{4}R^2\\
r_1 &= \tfrac{3}{8}R
\end{align*}

dan pada $\triangle DBO_1$ Anda peroleh

\begin{align*}
\left(R-r_2\right)^2 &= \left(2r_1+r_2\right)^2+\left(\tfrac{1}{2}R\right)^2\\
\left(R-r_2\right)^2 &= \left(\tfrac{3}{4}R+r_2\right)^2+\left(\tfrac{1}{2}R\right)^2\\
R^2-2Rr_2+{r_2}^2 &= \tfrac{9}{16}R^2+\tfrac{3}{2}Rr_2+{r_2}^2+\tfrac{1}{4}R^2\\
\tfrac{7}{2}Rr_2 &= R^2-\tfrac{13}{16}R^2=\tfrac{3}{16}R^2\\
r_2 &= \tfrac{2}{7}\cdot\tfrac{3}{16}\cdot R\\
r_2 &=\tfrac{1}{7}r_1\\
r_1 &= 7r_2
\end{align*}

Jadi perbandingan luas daerah lingkaran kuning dan merah adalah

\[\frac{\pi{r_1}^2}{\pi{r_2}^2}=\frac{{r_1}^2}{{r_2}^2}=\frac{(7r_2)^2}{{r_2}^2}=\frac{49}{1}\]

Lukisan

Anda letakkan titik $A$ pada koordinat $(0,0)$ dan Anda ambil jari-jari busur (misalnya) $R=6$, maka Anda peroleh $r_1=\frac{3}{8}\times6=\frac{9}{4}$ dan $r_2=\frac{1}{7}\times\frac{9}{4}=\frac{9}{28}$. Dengan demikian (sebaiknya) dapat Anda tetapkan

\def\r{9/4} % ini nilai r1
\def\rr{9/28} % ini nilai r2

Karena $R=6$ dan $A(0,0)$ maka $D(3,0)$, sehingga koordinat titik pusat dari kedua lingkaran itu adalah

(3,\r) % pusat lingkaran kuning (O1)
(3,{2*\r+\rr}) % pusat lingkaran merah (O2)

Lebih dulu Anda lakukan pengisian warna pada daerah dari kedua lingkaran itu.

\fill[electricyellow] (3,\r) circle (\r);
\fill[electriccrimson] (3,{2*\r+\rr}) circle (\rr);

(Warna electricyellow dan electriccrimson dipinjam dari sana.)
Berikutnya Anda gambar kedua busur dan ruas gari $\overline{AB}$ sebagai path tertutup, sekaligus menamai titik pusatnya dan titik potongnya.

\draw (0,0) node[left]{$A$} arc (180:120:6) node[above]{$C$} arc (60:0:6) node[right]{$B$}--cycle;

(Anda masih ingat cara menggambar busur? Bila lupa, silakan buka kembali tulisan ini.)
Terakhir Anda gambar kedua lingkaran itu (sekaligus dalam satu baris perintah agar lebih ringkas).

\draw[semithick] (3,\r) circle (\r) (3,{2*\r+\rr}) circle (\rr);

Berkat rangkai langkah (perintah) tersebut maka Anda peroleh hasilnya sebagai berikut.

Penutup

Agar memudahkan Anda, berikut ini pengkodean selengkapnya untuk gambar tikz tersebut.

\begin{tikzpicture}[font=\footnotesize,scale=1,thick]
\def\r{9/4}
\def\rr{9/28}
\fill[electricyellow] (3,\r) circle (\r);
\fill[electriccrimson] (3,{2*\r+\rr}) circle (\rr);
\draw (0,0) node[left]{$A$} arc (180:120:6) node[above]{$C$} arc (60:0:6) node[right]{$B$}--cycle;
\draw[semithick] (3,\r) circle (\r) (3,{2*\r+\rr}) circle (\rr);
\end{tikzpicture}

Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019

Masalah dalam Tujuh Lingkaran

Ada satu grup Facebook yang saya sukai. Grup itu (katanya) dirancang untuk siswa sekolah menengah yang berminat dalam belajar matematika melalui pemecahan masalah dan eksplorasi. Satu pesan dari grup itu menyajikan soal sebagai berikut.

Ada satu jawaban dari anggota grup itu yang didukung oleh gambar seperti tampak pada gambar pertama di atas.

Konstruksi Gambar

Apa yang Anda pikirkan? 😁

Akan lebih memudahkan bila Anda tetapkan koordinat pusat lingkaran bawah paling kiri pada $(0,0)$ dan ditetapkan sebagai $A$.

Tetapkan dulu bahwa jari-jari lingkaran itu adalah $1$ satuan. Perhatikan bahwa bila pusat-pusat dari tiga lingkaran yang saling singgung itu dihubungkan maka diperoleh segitiga sama sisi, sehingga besar tiap sudutnya adalah $60^\circ$. Dengan demikian koordinat-koordinat pusat lingkaran itu dapat ditetapkan sebagai

\coordinate[label=left:] (A) at (0,0);
\coordinate[label=below:$D$] (B) at (2,0);
\coordinate[label=below:] (C) at (4,0);
\coordinate[label=below:] (D) at (6,0);
\coordinate[label=above:] (E) at (60:2); % dengan A titik asal
\coordinate[label=above:] (F) at ([shift={(2,0)}]60:2); % dengan B sebagai titik asal
\coordinate[label=above:$C$] (G) at ([shift={(4,0)}]60:2); % dengan C sebagai titik asal

dan tentu saja

\coordinate[label=left:$A$] (S) at (-1,0);
\coordinate[label=left:] (R) at (7,0);

Perhatikan gambar pertama di atas. Untuk keperluan perhitungan Anda namai koordinat $S$ sebagai $A$, $G$ sebagai $C$, dan $B$ sebagai $D$ sedangkan penamaan koordinat-koordinat lainnya ditiadakan. 
Jelas koordinat yang dinamai $B$, misalkan ditetapkan sebagai $Q$, adalah $(5,0)$. Koordinat $P$ ditetapkan dengan merujuk kepada $G$ terhadap $F$ sejarak $1\,\textrm{cm}$ ke arah yang berlawanan,

\coordinate[label=right:$P$] (P) at ($(G)!-1cm!(F)$);

Untuk hal itu Anda memerlukan dukungan dari kepustakaan calc.
Anda dapat menampakkan gambar ketujuh lingkaran itu oleh

\foreach \k in {A,B,C,D,E,F,G}
\draw[semithick] (\k) circle (1);

Anda tarik ruas garis dari $B$ (yang dinamai $D$) tegak lurus $\overline{SG}$ (dinamai $\overline{AC}$) di titik yang dinamai $E$ (tetapkan, misalnya, sebagai $X$). Koordinat $X$ itu Anda tetapkan sebagai

\coordinate[label={[shift={(.45mm,.5mm)},font=\fontsize{4.5}{4.5}\selectfont,rotate=30]below:$E$}] (X) at ($(S)!(B)!(G)$);

Sekarang Anda dapat menampakkan gambar ruas-ruas garisnya.

\draw (R)--(S)--(G) edge (P)--(Q) (B)--(X);
\draw[red] (A)--(P);

Perhatikan bahwa $\overline{AP}$ (merah) sejajar dengan $\overline{SG}$. Untuk menandai kesejajarannya (oleh mata panah), dapat Anda gunakan makro berikut ini (yang Anda letakkan pada mukadimah).

\tikzset{
panah/.style={postaction={decorate,decoration={
        markings,
        mark=at position .5 with {\arrow[scale=1]{stealth}}
      }}}
}

\tikzset{
panah2/.style={postaction={decorate,decoration={
        markings,
        mark=at position .65 with {\arrow[scale=1]{stealth}}
      }}}
}

Makro tersebut harus didukung oleh kepustakaan decorations.markings. Mata panah itu Anda gambar oleh

\path[panah] (A)--(P);   
\path[panah2] (S)--(G);

Saatnya Anda menetapkan titik yang dinamai $F$ (misalnya Anda tetapkan sebagai $Z$). Titik ini merupakan titik potong $\overline{BX}$ tegak lurus $\overline{AP}$. 

\coordinate[label={[shift={(.45mm,.5mm)},font=\fontsize{4.5}{4.5}\selectfont,rotate=30]below:$F$}] (Z) at ($(A)!(B)!(P)$);

Sekarang Anda akan menetapkan koordinat-koordinat $K$, $L$, $M$, $N$, $M'$, dan $N'$. Hal ini harus didukung oleh kepustakaan intersections. 

\path[name path=L1] (B) circle (1);
\path[name path=L2] (F) circle (1);
\path[name path=grs] (S)--(G);
\path[name path=grs2] (A)--(P);
\path [name intersections={of = L1 and grs, by={L,K}}];
\path [name intersections={of = L2 and grs, by={M,N}}];
\path [name intersections={of = L1 and grs2, by={N1,M1}}];

Anda tahu mengapa penetapannya demikian, bukan?
Agar nama dari keenam titik itu dapat ditempatkan pada ruang yang sempit itu maka ukuran huruf Anda tetapkan secara khusus. Untuk itu penamaannya Anda letakkan dalam lingkup perintah scope.

\begin{scope}[font=\fontsize{4.5}{4.5}\selectfont]
\node[below,shift={(-.5mm,.25mm)},rotate=30] at (K) {$K$};
\node[below,shift={(-.5mm,.25mm)},rotate=30] at (L) {$L$};
\node[above,shift={(1mm,.5mm)},rotate=30] at (M) {$M$};
\node[above,shift={(-.25mm,-.09mm)},rotate=30] at (N) {$N$};
\node[below,shift={(0mm,.5mm)},rotate=30] at (M1) {$M'$};
\node[below,shift={(-1.5mm,0mm)},rotate=30] at (N1) {$N'$};
\end{scope}

Untuk menunjukkan noktah dari titik-titik yang diperlukan, Anda nyatakan

\foreach \t in {A,B,C,D,E,F,G,K,L,M,N,R,S,P,Q,M1,N1,X,Z}
\fill (\t)  circle (1pt);

Bila perlu, Anda dapat mewarnai kedua tembereng itu demi memperjelas tentang kesejajaran dari kedua ruas garis itu. Lalu, bagaimana Anda menjejaki busur itu? Anda dapat menggunakan makro tentang Menggambar Busur Melalui Tiga Titik dan Mewarnai Daerah yang Dibatasinya. Selanjutnya Anda warnai kedua daerah tembereng itu sebagai berikut.

\fill[OliveDrab1,opacity=.65] (M1) to[arc through cw=(K)] (N1)--cycle;
\fill[SeaGreen2,opacity=.5] (M) to[arc through ccw=($(C)!.5!(F)$)] (N)--cycle;

Untuk pewarnaan didukung oleh paket xcolor dengan opsi x11names. 
Terakhir, Anda letakkan tanda siku-siku. Anda dapat menggunakan makro dari tulisan ini. Kemudian Anda nyatakan 

\siku{G}{Q}{A}   \siku{S}{X}{B}   \siku{A}{Z}{B}

Tentu Anda masih harus mengatur peletakkan baris-baris perintah di atas agar tumpang tindih gambar yang Anda buat tampak baik. Hasilnya akan tampak seperti pada gambar pertama di atas.

Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019