Masalah dalam Tujuh Lingkaran

Ada satu grup Facebook yang saya sukai. Grup itu (katanya) dirancang untuk siswa sekolah menengah yang berminat dalam belajar matematika melalui pemecahan masalah dan eksplorasi. Satu pesan dari grup itu menyajikan soal sebagai berikut.

Ada satu jawaban dari anggota grup itu yang didukung oleh gambar seperti tampak pada gambar pertama di atas.

Konstruksi Gambar

Apa yang Anda pikirkan? 😁

Akan lebih memudahkan bila Anda tetapkan koordinat pusat lingkaran bawah paling kiri pada $(0,0)$ dan ditetapkan sebagai $A$.

Tetapkan dulu bahwa jari-jari lingkaran itu adalah $1$ satuan. Perhatikan bahwa bila pusat-pusat dari tiga lingkaran yang saling singgung itu dihubungkan maka diperoleh segitiga sama sisi, sehingga besar tiap sudutnya adalah $60^\circ$. Dengan demikian koordinat-koordinat pusat lingkaran itu dapat ditetapkan sebagai

\coordinate[label=left:] (A) at (0,0);
\coordinate[label=below:$D$] (B) at (2,0);
\coordinate[label=below:] (C) at (4,0);
\coordinate[label=below:] (D) at (6,0);
\coordinate[label=above:] (E) at (60:2); % dengan A titik asal
\coordinate[label=above:] (F) at ([shift={(2,0)}]60:2); % dengan B sebagai titik asal
\coordinate[label=above:$C$] (G) at ([shift={(4,0)}]60:2); % dengan C sebagai titik asal

dan tentu saja

\coordinate[label=left:$A$] (S) at (-1,0);
\coordinate[label=left:] (R) at (7,0);

Perhatikan gambar pertama di atas. Untuk keperluan perhitungan Anda namai koordinat $S$ sebagai $A$, $G$ sebagai $C$, dan $B$ sebagai $D$ sedangkan penamaan koordinat-koordinat lainnya ditiadakan. 
Jelas koordinat yang dinamai $B$, misalkan ditetapkan sebagai $Q$, adalah $(5,0)$. Koordinat $P$ ditetapkan dengan merujuk kepada $G$ terhadap $F$ sejarak $1\,\textrm{cm}$ ke arah yang berlawanan,

\coordinate[label=right:$P$] (P) at ($(G)!-1cm!(F)$);

Untuk hal itu Anda memerlukan dukungan dari kepustakaan calc.
Anda dapat menampakkan gambar ketujuh lingkaran itu oleh

\foreach \k in {A,B,C,D,E,F,G}
\draw[semithick] (\k) circle (1);

Anda tarik ruas garis dari $B$ (yang dinamai $D$) tegak lurus $\overline{SG}$ (dinamai $\overline{AC}$) di titik yang dinamai $E$ (tetapkan, misalnya, sebagai $X$). Koordinat $X$ itu Anda tetapkan sebagai

\coordinate[label={[shift={(.45mm,.5mm)},font=\fontsize{4.5}{4.5}\selectfont,rotate=30]below:$E$}] (X) at ($(S)!(B)!(G)$);

Sekarang Anda dapat menampakkan gambar ruas-ruas garisnya.

\draw (R)--(S)--(G) edge (P)--(Q) (B)--(X);
\draw[red] (A)--(P);

Perhatikan bahwa $\overline{AP}$ (merah) sejajar dengan $\overline{SG}$. Untuk menandai kesejajarannya (oleh mata panah), dapat Anda gunakan makro berikut ini (yang Anda letakkan pada mukadimah).

\tikzset{
panah/.style={postaction={decorate,decoration={
        markings,
        mark=at position .5 with {\arrow[scale=1]{stealth}}
      }}}
}

\tikzset{
panah2/.style={postaction={decorate,decoration={
        markings,
        mark=at position .65 with {\arrow[scale=1]{stealth}}
      }}}
}

Makro tersebut harus didukung oleh kepustakaan decorations.markings. Mata panah itu Anda gambar oleh

\path[panah] (A)--(P);   
\path[panah2] (S)--(G);

Saatnya Anda menetapkan titik yang dinamai $F$ (misalnya Anda tetapkan sebagai $Z$). Titik ini merupakan titik potong $\overline{BX}$ tegak lurus $\overline{AP}$. 

\coordinate[label={[shift={(.45mm,.5mm)},font=\fontsize{4.5}{4.5}\selectfont,rotate=30]below:$F$}] (Z) at ($(A)!(B)!(P)$);

Sekarang Anda akan menetapkan koordinat-koordinat $K$, $L$, $M$, $N$, $M'$, dan $N'$. Hal ini harus didukung oleh kepustakaan intersections. 

\path[name path=L1] (B) circle (1);
\path[name path=L2] (F) circle (1);
\path[name path=grs] (S)--(G);
\path[name path=grs2] (A)--(P);
\path [name intersections={of = L1 and grs, by={L,K}}];
\path [name intersections={of = L2 and grs, by={M,N}}];
\path [name intersections={of = L1 and grs2, by={N1,M1}}];

Anda tahu mengapa penetapannya demikian, bukan?
Agar nama dari keenam titik itu dapat ditempatkan pada ruang yang sempit itu maka ukuran huruf Anda tetapkan secara khusus. Untuk itu penamaannya Anda letakkan dalam lingkup perintah scope.

\begin{scope}[font=\fontsize{4.5}{4.5}\selectfont]
\node[below,shift={(-.5mm,.25mm)},rotate=30] at (K) {$K$};
\node[below,shift={(-.5mm,.25mm)},rotate=30] at (L) {$L$};
\node[above,shift={(1mm,.5mm)},rotate=30] at (M) {$M$};
\node[above,shift={(-.25mm,-.09mm)},rotate=30] at (N) {$N$};
\node[below,shift={(0mm,.5mm)},rotate=30] at (M1) {$M'$};
\node[below,shift={(-1.5mm,0mm)},rotate=30] at (N1) {$N'$};
\end{scope}

Untuk menunjukkan noktah dari titik-titik yang diperlukan, Anda nyatakan

\foreach \t in {A,B,C,D,E,F,G,K,L,M,N,R,S,P,Q,M1,N1,X,Z}
\fill (\t)  circle (1pt);

Bila perlu, Anda dapat mewarnai kedua tembereng itu demi memperjelas tentang kesejajaran dari kedua ruas garis itu. Lalu, bagaimana Anda menjejaki busur itu? Anda dapat menggunakan makro tentang Menggambar Busur Melalui Tiga Titik dan Mewarnai Daerah yang Dibatasinya. Selanjutnya Anda warnai kedua daerah tembereng itu sebagai berikut.

\fill[OliveDrab1,opacity=.65] (M1) to[arc through cw=(K)] (N1)--cycle;
\fill[SeaGreen2,opacity=.5] (M) to[arc through ccw=($(C)!.5!(F)$)] (N)--cycle;

Untuk pewarnaan didukung oleh paket xcolor dengan opsi x11names. 
Terakhir, Anda letakkan tanda siku-siku. Anda dapat menggunakan makro dari tulisan ini. Kemudian Anda nyatakan 

\siku{G}{Q}{A}   \siku{S}{X}{B}   \siku{A}{Z}{B}

Tentu Anda masih harus mengatur peletakkan baris-baris perintah di atas agar tumpang tindih gambar yang Anda buat tampak baik. Hasilnya akan tampak seperti pada gambar pertama di atas.

Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019