Poligon Reuleaux Bersisi Empat: Empat Busur dan Empat Lingkaran dalam Persegi

Mari kita simak soal berikut ini. 

Perhatikan Gambar 1. Suatu persegi memuat 4 busur dan 4 lingkaran yang kongruen. Mereka saling singgung. Jika panjang jari-jari lingkaran itu 1 satuan, tentukan panjang sisi persegi itu.

Bagaimana jawabannya? Bagaimana pula cara menggambarnya?

Perhitungan

Perhatikan Gambar 2. Misalkan jari-jari pada busur-busur itu adalah $R$. Anda peroleh
\[LD=O_1K=1,\;DO_1=R-1=CL,\;CO_1=R+1\]
Kemudian dari $\triangle DOL$ Anda peroleh $O_1L^2=(R-1)^2-1$ dan dari $\triangle LO_1C$ Anda peroleh $O_1L^2=(R+1)^2-(R-1)^2$ sehingga
\begin{align*}
(R-1)^2-1 &= (R+1)^2-(R-1)^2\\
(R-2)R &= 2(2R)\\
R-2 &= 4\\
R &= 6
\end{align*}Jadi panjang sisi persegi itu adalah $6$ satuan panjang.

Lukisan

Misalkan Anda letakkan titik $B$ pada koordinat $(0,0)$ maka (ingat bahwa panjang sisi persegi adalah $6$ satuan) pusat persegi (sebutlah $O$) terletak pada koordinat $(3,3)$, sehingga dapat Anda tetapkan koordinat-koordinat berikut ini. 

\coordinate (A) at (0,6);
\coordinate (B) at (0,0);
\coordinate (C) at (6,0);
\coordinate (D) at (6,6);
\coordinate (O) at (3,3);

Bagaimana dengan koordinat untuk titik $O_1$?
Karena $R=6$ dan $O_1L=(R-1)^2-1=24$ maka $O_L=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ sehingga absis titik $O_1$ adalah $6-2\sqrt{6}$ dan ordinatnya adalah $CL=R-1=5$. Oleh karena itu dapat Anda tetapkan 

\pgfmathsetmacro\a{6-2*sqrt(6)}
\coordinate (O1) at (\a,5);

Perhatikan bahwa $O_1$ terletak pada diagonal $\overline{AC}$ dan pusat lingkaran di bawahnya terletak pada diagonal $\overline{BD}$. Sedangkan kedua diagonal itu berpotongan tegak lurus di titik $O$. Ini berarti bahwa jika Anda memutar lingkaran $O_1$ sejauh $90^\circ$ berlawanan arah putar jarum jam terhadap titik $O$ maka akan diperoleh lingkaran yang terletak di bawahnya. Nah, jika pemutaran itu dilakukan sejauh $180^\circ$ dan $270^\circ$ maka akan Anda peroleh lingkaran ketiga dan keempat.
Lingkaran $O_1$ Anda buat oleh

\draw[thick] (O1) circle (1);

Tetapi (ringkasnya dan dengan mengacu kepada titik $O$) Anda dapat membuat keempat lingkaran itu sekaligus dengan memutar lingkaran $O_1$ sejauh $0^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$, dan $270^\circ$. Anda dapat memutarnya searah atau berlawanan dengan arah putar jarum jam. Jika orientasinya searah putar jarum jam maka nilai sudut putarnya dalam tanda negatif. Anggaplah Anda akan memutar lingkaran $O_1$ itu berlawanan arah putar jarum jam maka keempat lingkaran itu Anda buat oleh

\foreach \n in {0,1,2,3}
\draw[thick,shift={(3,3)}] ([rotate=90*\n]O1) circle (1);

Sekarang bagaimana Anda menggambar keempat busur itu?
Perhatikan hal yang khas dari konstruksi ini. Bahwa $\measuredangle CBR=\measuredangle RBS=\measuredangle SBD=\measuredangle DBP=\measuredangle PBQ=\measuredangle QBA=15^\circ$. 
Anda akan membuat busur-busur itu satu demi satu. Untuk busur $\overparen{CP}$ Anda berpusat di titik $B$ dan busur Anda digambar dari $0^\circ$ ke $60^\circ$ (dengan jari-jari $6$). Busur $\overparen{DQ}$ berpusat di titik $C$ dan digambar dari $90^\circ$ ke $150^\circ$. Busur $\overparen{AR}$ berpusat di titik $D$ dan digambar dari $180^\circ$ ke $240^\circ$. Busur $\overparen{BS}$ berpusat di titik $A$ dan digambar dari $270^\circ$ ke $330^\circ$. Keempat busur itu Anda buat sekaligus oleh

\draw[thick] (C) arc(0:60:6) (D) arc(90:150:6) (A) arc(180:240:6) (B) arc(270:330:6);

Terakhir Anda gambar perseginya oleh

\draw[thick] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle ;

Dengan demikian hasil gambar Anda akan tampak seperti pada Gambar 1 di atas. Bagaimana?
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019

Belajar dari Kesalahan

Pada tulisan "khusus" ini akan saya tunjukkan dua buah soal. Yang pertama dari Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2014/2015 SMK Kelompok Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian.

Bukankah soal semacam ini mempertanyakan hal yang berkaitan dengan maksimum atau minimum suatu fungsi?

Yangkedua dari Ujian Masuk Program D-IV Tahun Akademik 2014/2015 Sekolah Tinggi Ilmu Statistik (STIS).

Ini tentang orientasi dalam penamaan poligon yang bertalian pula dengan konsep konveks dan tidak konveks.

Kalau sebutan $\small ABCD$ diarahkan pada gambar yang ditunjukkan, maka akan diperoleh rangkaian path terbuka (bukan persegi). Kalau acuannya pada gambar (yang dianggap persegi), maka nama bangun itu $\small ABDC$ (bukan $\small ABCD$).

Kemudian, silakan bandingkan kedua soal di atas dengan perbaikannya dalam dokumen pada bagian bawah tulisan ini.

Baiklah, sekarang tinjauan kita alihkan kepada teknis penulisan butir soal yang memuat gambar. Untuk hal ini saya gunakan environment minipage yang dipadukan oleh paket adjustbox agar tulisan yang termuat di dalamnya merapat ke tepi atas. Dalam preamble dimuat

\usepackage{adjustbox}

penggunaannya dalam body dokumen

\adjustbox{valign=t}{\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
...tulisan pada bilah kiri...
\end{minipage}}\hfill
%
\adjustbox{valign=t}{\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
...tulisan pada bilah kanan...
\end{minipage}}\hfill

Lebar tiap bilah dapat disesuaikan dengan keperluannya dengan mengatur nilai pada {...\textwidth}.

Tentang gambar, untuk soal pertama saya gunakan paket tikz dengan library patterns. Dalam preamble dimuat

\usepackage{amssymb,amsmath}
\usepackage{tikz}

Dalam tikz, suatu poligon (dalam hal ini persegi panjang) digambar dengan cara mengurutkan koordinat-koordinat titik sudutnya dan diakhiri dengan cycle.

\draw[...opsi...] (0,0)--(9,0)--(9,6)--(0,6)--cycle;

Opsi dapat diisi dengan pewarnaan garis, pengisian pola arsiran (pattern), dll.

Saya menggambar arsiran itu dengan pola arsiran miring ke kiri dan dengan warna abu-abu. Saya gunakan koordinat seukuran gambar yang diberikan tetapi kemudian pada skala gambar yang saya buat diperkecil menjadi 50%.

\begin{tikzpicture}[scale=.5]
\draw[pattern=north west lines,pattern color=gray] (0,0)--(9,0)--(9,6)--(0,6)--cycle;
.... ;
\end{tikzpicture}

Kemudian saya tetapkan satu satuan untuk mewakili $x$ sebagai panjang sisi persegi pada bagian pojok itu dan menimpa arsiran dengan warna putih.

\draw[fill=white] (0,0)--(1,0)--(1,1)--(0,1)--cycle;
\draw[fill=white] (8,0)--(9,0)--(9,1)--(8,1)--cycle;
\draw[fill=white] (8,5)--(9,5)--(9,6)--(8,6)--cycle;
\draw[fill=white] (0,5)--(1,5)--(1,6)--(0,6)--cycle;

Untuk menunjukkan ukuran panjang persegi panjang, saya gunakan koordinat pembentuk sisi atas persegi panjang itu tetapi saya "mengangkatnya" sejarak $\small 0,25$ cm. Seperti sudah diulas dalam tulisan sebelum ini, ada 3 pilihan untuk gambar mata panah: -stealth, -latex, -> dan saya gunakan yang pertama. Kemudian letak teks 9 dm diatur oleh perintah node. Saya tempatkan di tengah ruas garis itu pada bagian atasnya.

\draw[stealth-stealth,yshift=.25cm] (0,6)--(9,6) node[above,midway] {9 dm};

Sedangkan untuk menunjukkan ukuran lebar persegi panjang, saya gunakan koordinat pembentuk sisi kanan persegi panjang itu dan saya "renggangkan" sejarak $\small 0,25$ cm. Agar tampak seperti ditunjukkan pada gambar dalam dokumen di bawah, saya tulis lebih dulu koordinat atas dan dalam perintah node saya tambahkan opsi sloped. 

\draw[stealth-stealth,xshift=.25cm] (9,6)--(9,0) node[above,midway,sloped] {6 dm};

Terakhir, saya menempatkan ukuran kedua sisi persegi pada masing-masing pojok persegi panjang. Peletakkan ini menggunakan koordinat pembentuk ruas garis tetapi tanpa menggambar ruas garisnya. Untuk hal ini kita gunakan perintah path.

\path (0,1)--(1,1) node[midway,above] {$x$};
\path (1,0)--(1,1) node[midway,right] {$x$};

\path (8,1)--(9,1) node[midway,above] {$x$};
\path (8,0)--(8,1) node[midway,left] {$x$};

\path (8,5)--(9,5) node[midway,below] {$x$};
\path (8,5)--(8,6) node[midway,left] {$x$};

\path (0,5)--(1,5) node[midway,below] {$x$};
\path (1,5)--(1,6) node[midway,right] {$x$};

Gambar kedua saya buat dengan paket tkz-euclide. Karena beberapa tulisan terakhir sudah mengulasnya, maka saya tidak lagi mengulangnya pada tulisan ini.

Nah, dokumen di bawah ini saya susun (compile) dalam jaringan melalui Online LaTeX Editor ShareLaTeX. 

Demikian semoga bermanfaat. 

Adjie Gumarang Pujakelana 2015

Poligon Reuleaux: Logo Tut Wuri Handayani

Kita tentu sudah sangat akrab dengan logo di samping kiri ini, tetapi sudahkah Anda tahu cara menggambarkan "segilima" yang melingkupinya?

Bermula dari Franz Reuleaux yang memperkenalkan Segitiga Reuleaux. Ini adalah kurva dengan lebar konstan. Akhirnya digeneralisasi sebagai poligon Realeaux, yang berupa poligon beraturan dengan jumlah sisi ganjil. Berarti, gambar di samping kiri ini adalah poligon Realeaux bersisi lima.

Nah, sekarang kita akan mulai mengarahkan perhatian pada logo Tut Wuri Handayani di atas. Untuk menggambar poligon Realeaux bersisi lima, kita memerlukan paket tikz dan perintah baru. Untuk hal ini saya mengacu pada pendapat dalam diskusi di forum berikut ini.

\usepackage{tikz}
\newcommand\tutwuri[3]{% initial direction, radius, num vertex
  \pgfextra{
    \pgfmathsetmacro\ang{360/(#3)}
    \pgfmathsetmacro\semiang{\ang/2}
    \pgfmathsetmacro\semisemiang{\ang/4}
    \pgfmathsetmacro\radius{(1+cos(\semiang))/cos(\semisemiang)*(#2)}
  } ++({(#1)}:{#2}) \foreach \num in {1,...,#3}{
        arc [start angle={(#1)+(\num-1)*\ang+\semisemiang},
             delta angle=\semiang,radius=\radius pt]
  } -- cycle
}

Logo Tut Wuri Handayani itu saya rujuk dari Relly Komaruzaman di Wikipedia. Logo aslinya berbentuk Scalable Vector Graphics (SVG), yaitu format gambar vektor berbasis XML untuk grafik dua dimensi yang mendukung interaktivitas dan animasi. Sejatinya logo asli itu berukuran 606 x 625 piksel, dengan ukuran file sebesar 52 KB. Untuk mendekati ukuran aslinya, saya ubah dulu ukuran piksel ke cm di sini, sehingga gambar poligon Realeaux bersisi lima dibuat dengan environment berikut ini.

\begin{tikzpicture}[x=16.03375cm, y=16.536458333cm,scale=0.4]
\draw[draw=Black,line width=1.5pt,fill=DarkSlateBlue!50!DarkBlue] (0,2.5) \tutwuri{90}{16.536458333cm}{5};
\draw[draw=Black,line width=5pt] (0,2.5) \tutwuri{90}{17cm}{5};
\end{tikzpicture}

Untuk gambar "burung", "api", dan "buku" cukup rumit untuk saya gambarkan dalam $\small\LaTeX$. Oleh karena itu saya memilih untuk menyunting logo aslinya dan mengubahnya menjadi Portable Network Graphics (PNG), yaitu format file grafik dengan raster yang mendukung kompresi data (yang memungkinkan data asli akan sempurna ketika direkonstruksi dari data terkompresi). Untuk hal ini saya lakukan di sini. Hasilnya (saya namai tut.png) saya muat ke dalam dokumen dengan environment

\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]
    \node[inner sep=0pt] at (0.045,7.25) {\includegraphics[page=1,width=12.5cm]{tut}};
  \end{tikzpicture}

Berikut ini pengkodean selengkapnya beserta dokumen yang dihasilkannya. Dokumen ini saya susun melalui Online LaTeX Editor ShareLaTeX. Silakan bandingkan hasil dokumen ini dengan sumber aslinya. 
Demikian semoga bermanfaat. 

Adjie Gumarang Pujakelana 2014

\documentclass[svgnames,dvipsnames]{article}
%http://tex.stackexchange.com/questions/160539/drawing-a-reuleaux-triangle/160546#160546
%http://en.wikipedia.org/wiki/Reuleaux_triangle
\usepackage[margin=2cm]{geometry}
\usepackage{tikz}

\newcommand\tutwuri[3]{% initial direction, radius, num vertex
  \pgfextra{
    \pgfmathsetmacro\ang{360/(#3)}
    \pgfmathsetmacro\semiang{\ang/2}
    \pgfmathsetmacro\semisemiang{\ang/4}
    \pgfmathsetmacro\radius{(1+cos(\semiang))/cos(\semisemiang)*(#2)}
  } ++({(#1)}:{#2}) \foreach \num in {1,...,#3}{
        arc [start angle={(#1)+(\num-1)*\ang+\semisemiang},
             delta angle=\semiang,radius=\radius pt]
  } -- cycle
}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\begin{figure}[!ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[x=16.03375cm, y=16.536458333cm,scale=0.4]
\draw[draw=Black,line width=1.5pt,fill=DarkSlateBlue!50!DarkBlue] (0,2.5) \tutwuri{90}{16.536458333cm}{5};
\draw[draw=Black,line width=5pt] (0,2.5) \tutwuri{90}{17cm}{5};
\end{tikzpicture}

\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]
    \node[inner sep=0pt] at (0.045,7.25) {\includegraphics[page=1,width=12.5cm]{tut}};
  \end{tikzpicture}
\end{figure}

\end{document}