Lingkaran Menciumi Dua Busur dalam Persegi

Mukadimah

Perhatikan gambar di samping ini. Anda akan menggambarnya secara tepat. Perjalanan Anda dalam menggambarnya semakin mudah karena kelima titik yang Anda perlukan itu ternyata segaris (colinear). Anda dapat membuat gambar itu hanya dalam 16 baris. Anda akan menggunakan paket utama dan kepustakaannya berikut ini.

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,intersections}

Hal yang patut diperhatikan adalah kecakapan Anda dalam menggambar busur dan menetapkan titik pusat lingkaran itu. 

Gambar Anda

Seperti Anda lihat di samping, Anda tahu, panjang jari-jari lingkaran itu adalah $\displaystyle\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ satuan. Oleh karena itu lebih dulu Anda tetapkan penghitungannya oleh

\pgfmathsetmacro\r{(3-sqrt(5))/2} % jari-jari

Anda mulai dengan menggambar persegi dengan menetapkan $(0,0)$ sebagai salah satu koordinat titik sudutnya. Karena panjang sisi persegi itu $2$ satuan maka dapat Anda nyatakan

\draw[thick] (0,0) rectangle (2,2); % persegi

Berikutnya Anda gambar busur besar. Anda dapat berjalan dari koordinat $(0,0)$ ke $(2,2)$. Pusat untuk busur Anda adalah $(0,2)$, maka (dengan pusat itu) busur Anda berawal dari sudut $-90^\circ$ dan berakhir pada sudut $0^\circ$ (boleh juga dari $270^\circ$ ke $360^\circ$) dengan jari-jari $2$ satuan (cm). Anda nyatakan

\draw[thick,name path=bsr1] (0,0) arc(-90:0:2); % busur besar

Anda tambahkan (opsi) nama path, bsr1, karena akan Anda gunakan untuk menetapkan titik potongnya dengan garis bantu. 

Selanjutnya Anda gambar busur kecil. Pusat untuk busur ini berada di $(2,1)$. Jika busur Anda dimulai pada koordinat $(2,2)$ maka busur itu (untuk pusat tersebut) berjalan dari sudut $90^\circ$ ke $270^\circ$. Busur ini juga diperlukan untuk menetapkan titik potongnya dengan garis bantu, maka sertakan pula nama path untuk busur ini. 

\draw[thick,name path=bsr2] (2,2) arc(90:270:1);% busur kecil

Seperti disebutkan dalam penyelesaian soal tersebut, ``kebetulan'' bahwa kelima titik yang bersangkutan itu terletak pada suatu garis yang sama, yaitu garis yang melalui titik $(0,2)$ dan titik tengah sisi kanan persegi, pusat busur kecil, yaitu $(2,1)$. Nyatakan path untuk garis bantu ini dan namai, misalnya, sebagai grs. 

\path[thick,name path=grs] (0,2)--(2,1); % garis bantu

Kedua titik potong dari garis bantu dan kedua busur itu merupakan titik singgung lingkaran terhadap kedua busur itu. Dengan mengetahui kedua titik singgungnya, Anda dapat menetapkan titik pusat dari lingkaran itu sebagai titik tengahnya, bukan? Nah, sekarang Anda tetapkan titik potong dari garis bantu terhadap kedua busur itu.

\path[name intersections={of = grs and bsr1, by={B}}];
\path[name intersections={of = grs and bsr2, by={C}}];

Perpotongan macam ini didukung oleh kepusatakaan intersections.

Sekarang Anda peroleh titik pusat lingkaran itu sebagai titik tengah dari kedua titik singgung itu. Anda tetapkan

\coordinate (O) at ($(C)!.5!(B)$); % pusat lingkaran

Penetapan titik tengah semacam itu didukung oleh kepustakaan calc. 

Akhirnya Anda dapat menggambar lingkaran itu, berpusat di titik $O$ dan berjari-jari $r$ sebagaimana telah ditetapkan lebih dulu di atas, dan selesailah gambar yang Anda buat.

\draw[thick] (O) circle (\r);

Penutup

Dengan memahami ke mana ``arah'' gambar Anda maka tampak bahwa cara menggambarnya cukup sederhana, bukan?

Demikian semoga bermanfaat. Bila Anda berminat untuk mempelajari $\LaTeX$ secara khusyuk, silakan bergabung ke Indonesia Digital Teacher atau hubungi @Kalakay via Telegram. 

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2020

Poligon Reuleaux Bersisi Empat: Empat Busur dan Empat Lingkaran dalam Persegi

Mari kita simak soal berikut ini. 

Perhatikan Gambar 1. Suatu persegi memuat 4 busur dan 4 lingkaran yang kongruen. Mereka saling singgung. Jika panjang jari-jari lingkaran itu 1 satuan, tentukan panjang sisi persegi itu.

Bagaimana jawabannya? Bagaimana pula cara menggambarnya?

Perhitungan

Perhatikan Gambar 2. Misalkan jari-jari pada busur-busur itu adalah $R$. Anda peroleh
\[LD=O_1K=1,\;DO_1=R-1=CL,\;CO_1=R+1\]
Kemudian dari $\triangle DOL$ Anda peroleh $O_1L^2=(R-1)^2-1$ dan dari $\triangle LO_1C$ Anda peroleh $O_1L^2=(R+1)^2-(R-1)^2$ sehingga
\begin{align*}
(R-1)^2-1 &= (R+1)^2-(R-1)^2\\
(R-2)R &= 2(2R)\\
R-2 &= 4\\
R &= 6
\end{align*}Jadi panjang sisi persegi itu adalah $6$ satuan panjang.

Lukisan

Misalkan Anda letakkan titik $B$ pada koordinat $(0,0)$ maka (ingat bahwa panjang sisi persegi adalah $6$ satuan) pusat persegi (sebutlah $O$) terletak pada koordinat $(3,3)$, sehingga dapat Anda tetapkan koordinat-koordinat berikut ini. 

\coordinate (A) at (0,6);
\coordinate (B) at (0,0);
\coordinate (C) at (6,0);
\coordinate (D) at (6,6);
\coordinate (O) at (3,3);

Bagaimana dengan koordinat untuk titik $O_1$?
Karena $R=6$ dan $O_1L=(R-1)^2-1=24$ maka $O_L=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ sehingga absis titik $O_1$ adalah $6-2\sqrt{6}$ dan ordinatnya adalah $CL=R-1=5$. Oleh karena itu dapat Anda tetapkan 

\pgfmathsetmacro\a{6-2*sqrt(6)}
\coordinate (O1) at (\a,5);

Perhatikan bahwa $O_1$ terletak pada diagonal $\overline{AC}$ dan pusat lingkaran di bawahnya terletak pada diagonal $\overline{BD}$. Sedangkan kedua diagonal itu berpotongan tegak lurus di titik $O$. Ini berarti bahwa jika Anda memutar lingkaran $O_1$ sejauh $90^\circ$ berlawanan arah putar jarum jam terhadap titik $O$ maka akan diperoleh lingkaran yang terletak di bawahnya. Nah, jika pemutaran itu dilakukan sejauh $180^\circ$ dan $270^\circ$ maka akan Anda peroleh lingkaran ketiga dan keempat.
Lingkaran $O_1$ Anda buat oleh

\draw[thick] (O1) circle (1);

Tetapi (ringkasnya dan dengan mengacu kepada titik $O$) Anda dapat membuat keempat lingkaran itu sekaligus dengan memutar lingkaran $O_1$ sejauh $0^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$, dan $270^\circ$. Anda dapat memutarnya searah atau berlawanan dengan arah putar jarum jam. Jika orientasinya searah putar jarum jam maka nilai sudut putarnya dalam tanda negatif. Anggaplah Anda akan memutar lingkaran $O_1$ itu berlawanan arah putar jarum jam maka keempat lingkaran itu Anda buat oleh

\foreach \n in {0,1,2,3}
\draw[thick,shift={(3,3)}] ([rotate=90*\n]O1) circle (1);

Sekarang bagaimana Anda menggambar keempat busur itu?
Perhatikan hal yang khas dari konstruksi ini. Bahwa $\measuredangle CBR=\measuredangle RBS=\measuredangle SBD=\measuredangle DBP=\measuredangle PBQ=\measuredangle QBA=15^\circ$. 
Anda akan membuat busur-busur itu satu demi satu. Untuk busur $\overparen{CP}$ Anda berpusat di titik $B$ dan busur Anda digambar dari $0^\circ$ ke $60^\circ$ (dengan jari-jari $6$). Busur $\overparen{DQ}$ berpusat di titik $C$ dan digambar dari $90^\circ$ ke $150^\circ$. Busur $\overparen{AR}$ berpusat di titik $D$ dan digambar dari $180^\circ$ ke $240^\circ$. Busur $\overparen{BS}$ berpusat di titik $A$ dan digambar dari $270^\circ$ ke $330^\circ$. Keempat busur itu Anda buat sekaligus oleh

\draw[thick] (C) arc(0:60:6) (D) arc(90:150:6) (A) arc(180:240:6) (B) arc(270:330:6);

Terakhir Anda gambar perseginya oleh

\draw[thick] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle ;

Dengan demikian hasil gambar Anda akan tampak seperti pada Gambar 1 di atas. Bagaimana?
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019