Lingkaran Menciumi Dua Busur dalam Persegi

Mukadimah

Perhatikan gambar di samping ini. Anda akan menggambarnya secara tepat. Perjalanan Anda dalam menggambarnya semakin mudah karena kelima titik yang Anda perlukan itu ternyata segaris (colinear). Anda dapat membuat gambar itu hanya dalam 16 baris. Anda akan menggunakan paket utama dan kepustakaannya berikut ini.

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,intersections}

Hal yang patut diperhatikan adalah kecakapan Anda dalam menggambar busur dan menetapkan titik pusat lingkaran itu. 

Gambar Anda

Seperti Anda lihat di samping, Anda tahu, panjang jari-jari lingkaran itu adalah $\displaystyle\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ satuan. Oleh karena itu lebih dulu Anda tetapkan penghitungannya oleh

\pgfmathsetmacro\r{(3-sqrt(5))/2} % jari-jari

Anda mulai dengan menggambar persegi dengan menetapkan $(0,0)$ sebagai salah satu koordinat titik sudutnya. Karena panjang sisi persegi itu $2$ satuan maka dapat Anda nyatakan

\draw[thick] (0,0) rectangle (2,2); % persegi

Berikutnya Anda gambar busur besar. Anda dapat berjalan dari koordinat $(0,0)$ ke $(2,2)$. Pusat untuk busur Anda adalah $(0,2)$, maka (dengan pusat itu) busur Anda berawal dari sudut $-90^\circ$ dan berakhir pada sudut $0^\circ$ (boleh juga dari $270^\circ$ ke $360^\circ$) dengan jari-jari $2$ satuan (cm). Anda nyatakan

\draw[thick,name path=bsr1] (0,0) arc(-90:0:2); % busur besar

Anda tambahkan (opsi) nama path, bsr1, karena akan Anda gunakan untuk menetapkan titik potongnya dengan garis bantu. 

Selanjutnya Anda gambar busur kecil. Pusat untuk busur ini berada di $(2,1)$. Jika busur Anda dimulai pada koordinat $(2,2)$ maka busur itu (untuk pusat tersebut) berjalan dari sudut $90^\circ$ ke $270^\circ$. Busur ini juga diperlukan untuk menetapkan titik potongnya dengan garis bantu, maka sertakan pula nama path untuk busur ini. 

\draw[thick,name path=bsr2] (2,2) arc(90:270:1);% busur kecil

Seperti disebutkan dalam penyelesaian soal tersebut, ``kebetulan'' bahwa kelima titik yang bersangkutan itu terletak pada suatu garis yang sama, yaitu garis yang melalui titik $(0,2)$ dan titik tengah sisi kanan persegi, pusat busur kecil, yaitu $(2,1)$. Nyatakan path untuk garis bantu ini dan namai, misalnya, sebagai grs. 

\path[thick,name path=grs] (0,2)--(2,1); % garis bantu

Kedua titik potong dari garis bantu dan kedua busur itu merupakan titik singgung lingkaran terhadap kedua busur itu. Dengan mengetahui kedua titik singgungnya, Anda dapat menetapkan titik pusat dari lingkaran itu sebagai titik tengahnya, bukan? Nah, sekarang Anda tetapkan titik potong dari garis bantu terhadap kedua busur itu.

\path[name intersections={of = grs and bsr1, by={B}}];
\path[name intersections={of = grs and bsr2, by={C}}];

Perpotongan macam ini didukung oleh kepusatakaan intersections.

Sekarang Anda peroleh titik pusat lingkaran itu sebagai titik tengah dari kedua titik singgung itu. Anda tetapkan

\coordinate (O) at ($(C)!.5!(B)$); % pusat lingkaran

Penetapan titik tengah semacam itu didukung oleh kepustakaan calc. 

Akhirnya Anda dapat menggambar lingkaran itu, berpusat di titik $O$ dan berjari-jari $r$ sebagaimana telah ditetapkan lebih dulu di atas, dan selesailah gambar yang Anda buat.

\draw[thick] (O) circle (\r);

Penutup

Dengan memahami ke mana ``arah'' gambar Anda maka tampak bahwa cara menggambarnya cukup sederhana, bukan?

Demikian semoga bermanfaat. Bila Anda berminat untuk mempelajari $\LaTeX$ secara khusyuk, silakan bergabung ke Indonesia Digital Teacher atau hubungi @Kalakay via Telegram. 

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2020

Garis Singgung Lingkaran dari Suatu Titik

Pengantar

Kali ini kita akan melukis garis singgung terhadap suatu lingkaran dari suatu titik yang terletak di luar lingkaran itu. Dalam tulisan ini penulis akan lakukan suatu trik yang belum pernah dilakukan sebelumnya. Ini menjadi pilihan atas dasar "pengalaman buruk" sebelumnya, ketika mendapati dua titik singgung yang berimpit.

Untuk lukisan pada gambar di samping ini penulis masih menggunakan paket TikZ dan didukung oleh dua kepustakaan, yaitu calc dan intersections.

Hal utama dalam masalah ini adalah penggunaan perintah node untuk melukis lingkaran dan penetapan koordinat titik singgungnya oleh tangent cs, olehnya kedua koordinat titik singgung itu ditetapkan secara khas.

Apa itu node?

Node itu letak/posisi/lokasi. Kita dapat "mengisi" suatu node oleh bangun geometris, teks, atau gambar yang diimpor. (Penjelasan selengkapnya dapat Anda peroleh dari dokumentasi paket PGF/TikZ pada halaman 48.)

Lukisan

Sebagai contoh, akan kita gambar suatu lingkaran berpusat di $O(0,0)$ dengan jari-jari $2\,\textrm{cm}$. Untuk masalah ini, kita pilih perintah node sebagai berikut. 

\node[draw=bistre,circle,thick] (O) at (0,0) [minimum size=4cm] {};

Perintah node di atas menyatakan bahwa kita menetapkan letak (node) pada koordinat $(0,0)$ yang dinamai $O$ dan padanya dilukis suatu lingkaran dengan ukuran minimum (dalam hal ini diameter) senilai $4\,\textrm{cm}$.

Kenapa ukuran minimum (minimum size)?

Itu aturan baku dalam pengkodeannya, karena dalam hal tertentu (misalnya ketika node itu diisi oleh teks) ukuran node dapat meluas dengan mengikuti lebar teks yang dituliskan.

Sekarang kita tetapkan suatu koordinat (sebutlah $A$) di luar lingkaran, misalnya

\coordinate (A) at (-1.5,4.5);

Kemudian, dari $A$, akan kita tarik suatu garis yang menyinggung lingkaran $O$ di suatu titik singgung (sebutlah $P$). Karena kita perlu memperpanjang garis singgung ini, maka lebih dulu kita tetapkan koordinat titik singgung $P$ itu sebagai berikut.

\coordinate (P) at  (tangent cs:node=O,point={(A)}, solution=1) ;

Perintah itu menyatakan bahwa kita menetapkan koordinat $P$ sebagai titik singgung pada suatu node berupa lingkaran $O$ yang ditarik dari suatu titik $A$ dan koordinat $P$ itu diperlakukan sebagai titik singgung pertama.

Dengan cara yang sama kita tetapkan titik singgung kedua sebagai berikut. (Sebutlah titik singgung itu sebagai $Q$.)

\coordinate (Q) at (tangent cs:node=O,point={(A)}, solution=2) ;

Sekarang berdirilah di $P$ dan tataplah $A$. Garis singgung pertama yang berpangkal di $A$ itu akan kita tetapkan berujung di belakang $P$ sejarak $2\,\textrm{cm}$ dari $P$. Oleh karena itu, garis singgung pertama kita lukis oleh perintah

\draw[thick,bistre] (A)--($(P)!-2cm!(A)$);

Dengan cara serupa, kita lukis garis singgung kedua sebagai berikut.

\draw[thick,bistre] (A)--($(Q)!-2cm!(A)$);

Membuat Noktah Sekaligus untuk Beberapa Titik

Ini merupakan cara praktis (ringkas) ketika kita ingin menempatkan noktah pada beberapa koordinat secara sekaligus. Untuk lukisan di atas, kita melakukannya dengan menggunakan perintah foreach sebagai berikut.

\foreach \p in {A,O,P,Q}
\draw[fill] (\p) circle(1pt);

Menempatkan Nama Titik Sekaligus untuk Beberapa Titik

Dengan cara seperti di atas, dapat pula kita lakukan penamaan titik dan meletakkannya secara sekaligus untuk beberapa titik.

\foreach \p in {A,O,Q}
\node[above] at (\p) {$\p$};

Meskipun demikian, sehubungan dengan aspek estetis, kita juga perlu menempatkan nama titik itu secara tersendiri. Misalnya untuk titik $P$, lebih baik kita menempatkannya di kiri.

\node[left] at (P) {$P$};

Dengan semua pengkodean yang telah diuraikan di atas, sekarang Anda akan memperoleh gambar seperti terlihat pada awal tulisan ini.

Penutup

Seperti kita lihat, perintah node dapat digunakan untuk menempatkan suatu gambar bangun geometris (seperti lingkaran sebagai contoh pada tulisan ini) atau untuk menempatkan teks (seperti nama-nama titik itu).

Hal penting yang harus diperhatikan adalah cara menetapkan node untuk suatu lingkaran (berlaku umum untuk bangun geometris lainnya), cara menetapkan koordinat titik singgung pada lingkaran, dan cara menetapkan koordinat ujung pada perpanjangan suatu ruas garis.

Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2017