Poligon Reuleaux Bersisi Empat: Empat Busur dan Empat Lingkaran dalam Persegi

Mari kita simak soal berikut ini. 

Perhatikan Gambar 1. Suatu persegi memuat 4 busur dan 4 lingkaran yang kongruen. Mereka saling singgung. Jika panjang jari-jari lingkaran itu 1 satuan, tentukan panjang sisi persegi itu.

Bagaimana jawabannya? Bagaimana pula cara menggambarnya?

Perhitungan

Perhatikan Gambar 2. Misalkan jari-jari pada busur-busur itu adalah $R$. Anda peroleh
\[LD=O_1K=1,\;DO_1=R-1=CL,\;CO_1=R+1\]
Kemudian dari $\triangle DOL$ Anda peroleh $O_1L^2=(R-1)^2-1$ dan dari $\triangle LO_1C$ Anda peroleh $O_1L^2=(R+1)^2-(R-1)^2$ sehingga
\begin{align*}
(R-1)^2-1 &= (R+1)^2-(R-1)^2\\
(R-2)R &= 2(2R)\\
R-2 &= 4\\
R &= 6
\end{align*}Jadi panjang sisi persegi itu adalah $6$ satuan panjang.

Lukisan

Misalkan Anda letakkan titik $B$ pada koordinat $(0,0)$ maka (ingat bahwa panjang sisi persegi adalah $6$ satuan) pusat persegi (sebutlah $O$) terletak pada koordinat $(3,3)$, sehingga dapat Anda tetapkan koordinat-koordinat berikut ini. 

\coordinate (A) at (0,6);
\coordinate (B) at (0,0);
\coordinate (C) at (6,0);
\coordinate (D) at (6,6);
\coordinate (O) at (3,3);

Bagaimana dengan koordinat untuk titik $O_1$?
Karena $R=6$ dan $O_1L=(R-1)^2-1=24$ maka $O_L=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ sehingga absis titik $O_1$ adalah $6-2\sqrt{6}$ dan ordinatnya adalah $CL=R-1=5$. Oleh karena itu dapat Anda tetapkan 

\pgfmathsetmacro\a{6-2*sqrt(6)}
\coordinate (O1) at (\a,5);

Perhatikan bahwa $O_1$ terletak pada diagonal $\overline{AC}$ dan pusat lingkaran di bawahnya terletak pada diagonal $\overline{BD}$. Sedangkan kedua diagonal itu berpotongan tegak lurus di titik $O$. Ini berarti bahwa jika Anda memutar lingkaran $O_1$ sejauh $90^\circ$ berlawanan arah putar jarum jam terhadap titik $O$ maka akan diperoleh lingkaran yang terletak di bawahnya. Nah, jika pemutaran itu dilakukan sejauh $180^\circ$ dan $270^\circ$ maka akan Anda peroleh lingkaran ketiga dan keempat.
Lingkaran $O_1$ Anda buat oleh

\draw[thick] (O1) circle (1);

Tetapi (ringkasnya dan dengan mengacu kepada titik $O$) Anda dapat membuat keempat lingkaran itu sekaligus dengan memutar lingkaran $O_1$ sejauh $0^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$, dan $270^\circ$. Anda dapat memutarnya searah atau berlawanan dengan arah putar jarum jam. Jika orientasinya searah putar jarum jam maka nilai sudut putarnya dalam tanda negatif. Anggaplah Anda akan memutar lingkaran $O_1$ itu berlawanan arah putar jarum jam maka keempat lingkaran itu Anda buat oleh

\foreach \n in {0,1,2,3}
\draw[thick,shift={(3,3)}] ([rotate=90*\n]O1) circle (1);

Sekarang bagaimana Anda menggambar keempat busur itu?
Perhatikan hal yang khas dari konstruksi ini. Bahwa $\measuredangle CBR=\measuredangle RBS=\measuredangle SBD=\measuredangle DBP=\measuredangle PBQ=\measuredangle QBA=15^\circ$. 
Anda akan membuat busur-busur itu satu demi satu. Untuk busur $\overparen{CP}$ Anda berpusat di titik $B$ dan busur Anda digambar dari $0^\circ$ ke $60^\circ$ (dengan jari-jari $6$). Busur $\overparen{DQ}$ berpusat di titik $C$ dan digambar dari $90^\circ$ ke $150^\circ$. Busur $\overparen{AR}$ berpusat di titik $D$ dan digambar dari $180^\circ$ ke $240^\circ$. Busur $\overparen{BS}$ berpusat di titik $A$ dan digambar dari $270^\circ$ ke $330^\circ$. Keempat busur itu Anda buat sekaligus oleh

\draw[thick] (C) arc(0:60:6) (D) arc(90:150:6) (A) arc(180:240:6) (B) arc(270:330:6);

Terakhir Anda gambar perseginya oleh

\draw[thick] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle ;

Dengan demikian hasil gambar Anda akan tampak seperti pada Gambar 1 di atas. Bagaimana?
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019