Mari kita simak soal berikut ini.
Perhatikan Gambar 1. Suatu persegi memuat 4 busur dan 4 lingkaran yang kongruen. Mereka saling singgung. Jika panjang jari-jari lingkaran itu 1 satuan, tentukan panjang sisi persegi itu.
Perhitungan
Perhatikan Gambar 2. Misalkan jari-jari pada busur-busur itu adalah R. Anda peroleh
LD=O1K=1,DO1=R−1=CL,CO1=R+1
Kemudian dari △DOL Anda peroleh O1L2=(R−1)2−1 dan dari △LO1C Anda peroleh O1L2=(R+1)2−(R−1)2 sehingga
(R−1)2−1=(R+1)2−(R−1)2(R−2)R=2(2R)R−2=4R=6Jadi panjang sisi persegi itu adalah 6 satuan panjang.
Karena R=6 dan O1L=(R−1)2−1=24 maka OL=√24=2√6 sehingga absis titik O1 adalah 6−2√6 dan ordinatnya adalah CL=R−1=5. Oleh karena itu dapat Anda tetapkan
Lingkaran O1 Anda buat oleh
Perhatikan hal yang khas dari konstruksi ini. Bahwa ∡CBR=∡RBS=∡SBD=∡DBP=∡PBQ=∡QBA=15∘.
Anda akan membuat busur-busur itu satu demi satu. Untuk busur CP⏜ Anda berpusat di titik B dan busur Anda digambar dari 0^\circ ke 60^\circ (dengan jari-jari 6). Busur \overparen{DQ} berpusat di titik C dan digambar dari 90^\circ ke 150^\circ. Busur \overparen{AR} berpusat di titik D dan digambar dari 180^\circ ke 240^\circ. Busur \overparen{BS} berpusat di titik A dan digambar dari 270^\circ ke 330^\circ. Keempat busur itu Anda buat sekaligus oleh
Demikian semoga bermanfaat.
LD=O1K=1,DO1=R−1=CL,CO1=R+1
Kemudian dari △DOL Anda peroleh O1L2=(R−1)2−1 dan dari △LO1C Anda peroleh O1L2=(R+1)2−(R−1)2 sehingga
(R−1)2−1=(R+1)2−(R−1)2(R−2)R=2(2R)R−2=4R=6Jadi panjang sisi persegi itu adalah 6 satuan panjang.
Lukisan
Misalkan Anda letakkan titik B pada koordinat (0,0) maka (ingat bahwa panjang sisi persegi adalah 6 satuan) pusat persegi (sebutlah O) terletak pada koordinat (3,3), sehingga dapat Anda tetapkan koordinat-koordinat berikut ini.\coordinate (A) at (0,6);
\coordinate (B) at (0,0);
\coordinate (C) at (6,0);
\coordinate (D) at (6,6);
\coordinate (O) at (3,3);
Bagaimana dengan koordinat untuk titik O1?Karena R=6 dan O1L=(R−1)2−1=24 maka OL=√24=2√6 sehingga absis titik O1 adalah 6−2√6 dan ordinatnya adalah CL=R−1=5. Oleh karena itu dapat Anda tetapkan
\pgfmathsetmacro\a{6-2*sqrt(6)}
\coordinate (O1) at (\a,5);
Perhatikan bahwa O1 terletak pada diagonal ¯AC dan pusat lingkaran di bawahnya terletak pada diagonal ¯BD. Sedangkan kedua diagonal itu berpotongan tegak lurus di titik O. Ini berarti bahwa jika Anda memutar lingkaran O1 sejauh 90∘ berlawanan arah putar jarum jam terhadap titik O maka akan diperoleh lingkaran yang terletak di bawahnya. Nah, jika pemutaran itu dilakukan sejauh 180∘ dan 270∘ maka akan Anda peroleh lingkaran ketiga dan keempat.Lingkaran O1 Anda buat oleh
\draw[thick] (O1) circle (1);
Tetapi (ringkasnya dan dengan mengacu kepada titik O) Anda dapat membuat keempat lingkaran itu sekaligus dengan memutar lingkaran O1 sejauh 0∘, 90∘, 180∘, dan 270∘. Anda dapat memutarnya searah atau berlawanan dengan arah putar jarum jam. Jika orientasinya searah putar jarum jam maka nilai sudut putarnya dalam tanda negatif. Anggaplah Anda akan memutar lingkaran O1 itu berlawanan arah putar jarum jam maka keempat lingkaran itu Anda buat oleh\foreach \n in {0,1,2,3}
\draw[thick,shift={(3,3)}] ([rotate=90*\n]O1) circle (1);
Sekarang bagaimana Anda menggambar keempat busur itu?Perhatikan hal yang khas dari konstruksi ini. Bahwa ∡CBR=∡RBS=∡SBD=∡DBP=∡PBQ=∡QBA=15∘.
Anda akan membuat busur-busur itu satu demi satu. Untuk busur CP⏜ Anda berpusat di titik B dan busur Anda digambar dari 0^\circ ke 60^\circ (dengan jari-jari 6). Busur \overparen{DQ} berpusat di titik C dan digambar dari 90^\circ ke 150^\circ. Busur \overparen{AR} berpusat di titik D dan digambar dari 180^\circ ke 240^\circ. Busur \overparen{BS} berpusat di titik A dan digambar dari 270^\circ ke 330^\circ. Keempat busur itu Anda buat sekaligus oleh
\draw[thick] (C) arc(0:60:6) (D) arc(90:150:6) (A) arc(180:240:6) (B) arc(270:330:6);
Terakhir Anda gambar perseginya oleh\draw[thick] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle ;
Dengan demikian hasil gambar Anda akan tampak seperti pada Gambar 1 di atas. Bagaimana?Demikian semoga bermanfaat.
\square Adjie Gumarang Pujakelana 2019
No comments:
Post a Comment