Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Wednesday, June 19, 2019

PgfMathSetMacro: Menggambar dengan Perhitungan yang Tepat

Kali ini Anda akan menggambar berdasarkan soal berikut ini. 
Perhatikan Gambar 1. Setengah lingkaran dan dua lingkaran yang saling singgung, dengan jari-jari berturut-turut 5, 4, dan 3 satuan, terletak di dalam segitiga ABC siku-siku di A. Tentukanlah luas daerah ABC itu.
Sekarang lebih dulu mari kita berhitung. Jika Anda letakkan titik A pada koordinat (0,0) maka dengan mudah Anda peroleh pusat dari setengah lingkaran Q pada koordinat (0,5). Lalu bagaimana menemukan koordinat dari lingkaran O dan lingkaran P?
Perhatikan bahwa alas ABC, yaitu AC, berimpit dengan sumbu X dan garis tingginya, yaitu AB, berimpit dengan sumbu Y. Proyeksikan titik O pada alasnya sehingga diperoleh titik R dan proyeksikan titik O pada garis tingginya sehingga diperoleh titik M. Anda peroleh OMQ siku-siku di M, dengan OQ=9 dan MQ=1 sehingga MO=80=45. Dengan demikian koordinat O adalah (45,4)
Sekarang proyeksikan titik P pada alas segitiga itu sehingga diperoleh titik S dan garis proyeksinya memotong OM di titik T. Perhatikan bahwa garis RO menyinggung lingkaran P (mengapa?), sehingga pada OPT siku-siku di T Anda peroleh OP=7, OT=3, dan PT=40=210. Dengan demikian koordinat titik P adalah (453,4+210)

Lalu bagaimana menemukan koordinat titik C?
Perhatikan layang-layang RCKO dengan OCR=KCO=θ (mengapa?), sehingga BAC=2θ
Perhatikan bahwa PN sejajar dengan BC, sehingga jika titik O digeser pada garis MO sedemikian sehingga terletak pada garis PN maka POM=BAC=2θ, bukan? Itu menunjukkan bahwa α+βγ=2θ
Dari OMQ, OPQ (melalui Aturan Kosinus), dan OPN Anda peroleh 
tanα=145tanβ=8511tanγ=143Kemudian dengan menggunakan rumus tangen untuk jumlah (atau selisih) dua sudut dan rumus tangen untuk sudut tengahan Anda peroleh
tan2θ=tan(α+βγ)=76536371tanθ=632511sehingga
RC=ORtanθ=33+5AC=33+55AB=ACtan2θ=1576+481571
Dengan demikian koordinat titik C adalah (33+55,0) dan koordinat titik B adalah (0,1576+481571)


Lukisan


Nah, sekarang Anda telah siap untuk menggambarnya dalam gambar tikz. Anda memerlukan dukungan paket dan kepustakaan tikz,
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
Berikutnnya, ini dia, untuk memudahkan dan meringkas penulisan kode, nilai-nilai yang memuat operasi dari bentuk-bentuk akar itu ditetapkan lebih dulu oleh perintah \pgfmathsetmacro. Berikut ini perintah-perintah dalam penetapan nilai absis titik O, absis titik P, ordinat titik P, absis titik C, dan ordinat titik B.
\pgfmathsetmacro\xo{4*sqrt(5)}
\pgfmathsetmacro\xp{4*sqrt(5)-3}
\pgfmathsetmacro\yp{4+2*sqrt(10)}
\pgfmathsetmacro\xc{5*sqrt(5)+3*sqrt(3)}
\pgfmathsetmacro\yb{(1576+48*sqrt(15))/71}
Dengan demikian, dalam gambar tikz, dapat Anda tetapkan koordinat dari titik-titik itu sebagai berikut. 
\coordinate[label=left:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=below left:] (O) at (\xo,4);
\coordinate[label=above:] (P) at (\xp,\yp);
\coordinate[label=left:] (Q) at (0,5);
\coordinate[label=below:] (R) at (\xo,0);
\coordinate[label=right:$C$] (C) at (\xc,0);
\coordinate[label=above:$B$] (B) at (0,\yb);
Untuk menetapkan koordinat dari titik K, M, L, N, S sebagai proyeksi dari titik O dan P Anda nyatakan
\coordinate[label=above right:] (K) at ($(B)!(O)!(C)$);
\coordinate[label=left:] (M) at ($(B)!(O)!(A)$);
\coordinate[label=above right:] (L) at ($(B)!(P)!(C)$);
\coordinate[label=below right:] (N) at ($(O)!(P)!(K)$);
\coordinate[label=below:] (S) at ($(A)!(P)!(C)$);
Sedangkan untuk koordinat titik T Anda berjalan dari O ke arah M sejauh 3cm, maka Anda tetapkan
\coordinate[label=below right:] (T) at ($(O)!3cm!(M)$);
Sekarang Anda gambar setengan lingkaran Q oleh
\draw[thick] (0,10) arc(90:-90:5);
lingkaran O dan lingkaran P oleh 
\draw[thick] (O) circle (4) (P) circle (3);
dan, terakhir, ABC oleh
\draw[thick] (A)--(B)--(C)--cycle;

Bagaimana asyik, bukan?
Bagaimana pula dengan jawaban dari soal di atas? Anda dapat menemukannya, bukan?
Ya, karena AB=ACtan2θ maka luas daerah ABC itu adalah
[ABC]=12AC2tan2θ=4(7413+10395)71Demikian semoga bermanfaat.

 Adjie Gumarang Pujakelana 2019

No comments:

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...