Kali ini Anda akan menggambar berdasarkan soal berikut ini.
Perhatikan Gambar 1. Setengah lingkaran dan dua lingkaran yang saling singgung, dengan jari-jari berturut-turut 5, 4, dan 3 satuan, terletak di dalam segitiga ABC siku-siku di A. Tentukanlah luas daerah △ABC itu.
Sekarang lebih dulu mari kita berhitung. Jika Anda letakkan titik A pada koordinat (0,0) maka dengan mudah Anda peroleh pusat dari setengah lingkaran Q pada koordinat (0,5). Lalu bagaimana menemukan koordinat dari lingkaran O dan lingkaran P?
Perhatikan bahwa alas △ABC, yaitu ↔AC, berimpit dengan sumbu X dan garis tingginya, yaitu ↔AB, berimpit dengan sumbu Y. Proyeksikan titik O pada alasnya sehingga diperoleh titik R dan proyeksikan titik O pada garis tingginya sehingga diperoleh titik M. Anda peroleh △OMQ siku-siku di M, dengan OQ=9 dan MQ=1 sehingga MO=√80=4√5. Dengan demikian koordinat O adalah (4√5,4).
Sekarang proyeksikan titik P pada alas segitiga itu sehingga diperoleh titik S dan garis proyeksinya memotong ↔OM di titik T. Perhatikan bahwa garis ↔RO menyinggung lingkaran P (mengapa?), sehingga pada △OPT siku-siku di T Anda peroleh OP=7, OT=3, dan PT=√40=2√10. Dengan demikian koordinat titik P adalah (4√5−3,4+2√10).
Lalu bagaimana menemukan koordinat titik C?
Perhatikan layang-layang RCKO dengan ∡OCR=∡KCO=θ (mengapa?), sehingga ∡BAC=2θ.
Perhatikan bahwa ↔PN sejajar dengan ↔BC, sehingga jika titik O digeser pada garis ↔MO sedemikian sehingga terletak pada garis ↔PN maka ∡POM=∡BAC=2θ, bukan? Itu menunjukkan bahwa α+β−γ=2θ
Dari △OMQ, △OPQ (melalui Aturan Kosinus), dan △OPN Anda peroleh
tanα=14√5tanβ=8√511tanγ=14√3Kemudian dengan menggunakan rumus tangen untuk jumlah (atau selisih) dua sudut dan rumus tangen untuk sudut tengahan Anda peroleh
tan2θ=tan(α+β−γ)=76√5−36√371tanθ=6√3−2√511sehingga
RC=ORtanθ=3√3+√5AC=3√3+5√5AB=AC⋅tan2θ=1576+48√1571
Dengan demikian koordinat titik C adalah (3√3+5√5,0) dan koordinat titik B adalah (0,1576+48√1571).
Nah, sekarang Anda telah siap untuk menggambarnya dalam gambar tikz. Anda memerlukan dukungan paket dan kepustakaan tikz,
Bagaimana asyik, bukan?
Bagaimana pula dengan jawaban dari soal di atas? Anda dapat menemukannya, bukan?
Ya, karena AB=AC⋅tan2θ maka luas daerah △ABC itu adalah
[ABC]=12⋅AC2⋅tan2θ=4(741√3+1039√5)71Demikian semoga bermanfaat.
Sekarang proyeksikan titik P pada alas segitiga itu sehingga diperoleh titik S dan garis proyeksinya memotong ↔OM di titik T. Perhatikan bahwa garis ↔RO menyinggung lingkaran P (mengapa?), sehingga pada △OPT siku-siku di T Anda peroleh OP=7, OT=3, dan PT=√40=2√10. Dengan demikian koordinat titik P adalah (4√5−3,4+2√10).
Lalu bagaimana menemukan koordinat titik C?
Perhatikan layang-layang RCKO dengan ∡OCR=∡KCO=θ (mengapa?), sehingga ∡BAC=2θ.
Perhatikan bahwa ↔PN sejajar dengan ↔BC, sehingga jika titik O digeser pada garis ↔MO sedemikian sehingga terletak pada garis ↔PN maka ∡POM=∡BAC=2θ, bukan? Itu menunjukkan bahwa α+β−γ=2θ
Dari △OMQ, △OPQ (melalui Aturan Kosinus), dan △OPN Anda peroleh
tanα=14√5tanβ=8√511tanγ=14√3Kemudian dengan menggunakan rumus tangen untuk jumlah (atau selisih) dua sudut dan rumus tangen untuk sudut tengahan Anda peroleh
tan2θ=tan(α+β−γ)=76√5−36√371tanθ=6√3−2√511sehingga
RC=ORtanθ=3√3+√5AC=3√3+5√5AB=AC⋅tan2θ=1576+48√1571
Dengan demikian koordinat titik C adalah (3√3+5√5,0) dan koordinat titik B adalah (0,1576+48√1571).
Lukisan
Nah, sekarang Anda telah siap untuk menggambarnya dalam gambar tikz. Anda memerlukan dukungan paket dan kepustakaan tikz,
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
Berikutnnya, ini dia, untuk memudahkan dan meringkas penulisan kode, nilai-nilai yang memuat operasi dari bentuk-bentuk akar itu ditetapkan lebih dulu oleh perintah \pgfmathsetmacro. Berikut ini perintah-perintah dalam penetapan nilai absis titik O, absis titik P, ordinat titik P, absis titik C, dan ordinat titik B.\pgfmathsetmacro\xo{4*sqrt(5)}
\pgfmathsetmacro\xp{4*sqrt(5)-3}
\pgfmathsetmacro\yp{4+2*sqrt(10)}
\pgfmathsetmacro\xc{5*sqrt(5)+3*sqrt(3)}
\pgfmathsetmacro\yb{(1576+48*sqrt(15))/71}
Dengan demikian, dalam gambar tikz, dapat Anda tetapkan koordinat dari titik-titik itu sebagai berikut. \coordinate[label=left:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=below left:] (O) at (\xo,4);
\coordinate[label=above:] (P) at (\xp,\yp);
\coordinate[label=left:] (Q) at (0,5);
\coordinate[label=below:] (R) at (\xo,0);
\coordinate[label=right:$C$] (C) at (\xc,0);
\coordinate[label=above:$B$] (B) at (0,\yb);
Untuk menetapkan koordinat dari titik K, M, L, N, S sebagai proyeksi dari titik O dan P Anda nyatakan\coordinate[label=above right:] (K) at ($(B)!(O)!(C)$);
\coordinate[label=left:] (M) at ($(B)!(O)!(A)$);
\coordinate[label=above right:] (L) at ($(B)!(P)!(C)$);
\coordinate[label=below right:] (N) at ($(O)!(P)!(K)$);
\coordinate[label=below:] (S) at ($(A)!(P)!(C)$);
Sedangkan untuk koordinat titik T Anda berjalan dari O ke arah M sejauh 3cm, maka Anda tetapkan\coordinate[label=below right:] (T) at ($(O)!3cm!(M)$);
Sekarang Anda gambar setengan lingkaran Q oleh\draw[thick] (0,10) arc(90:-90:5);
lingkaran O dan lingkaran P oleh \draw[thick] (O) circle (4) (P) circle (3);
dan, terakhir, △ABC oleh\draw[thick] (A)--(B)--(C)--cycle;
Bagaimana asyik, bukan?
Bagaimana pula dengan jawaban dari soal di atas? Anda dapat menemukannya, bukan?
Ya, karena AB=AC⋅tan2θ maka luas daerah △ABC itu adalah
[ABC]=12⋅AC2⋅tan2θ=4(741√3+1039√5)71Demikian semoga bermanfaat.
◻ Adjie Gumarang Pujakelana 2019
No comments:
Post a Comment