Busur dan Lingkaran dalam Segienam

Kali ini Anda melihat suatu segienam beraturan $ABCDEF$. Berpusat di titik $A$, titik $B$ dan $F$ dihubungkan oleh suatu busur. Kemudian ada suatu lingkaran yang menyinggung busur itu dan menyinggung pula pada kedua diagonal $\overline{BD}$ dan $\overline{FD}$. Misalkan luas daerah juring $ABF$ adalah $a$ dan luas daerah lingkaran itu adalah $B$, tentukan nilai perbandingan $a:b$.

Perlihatkan diagonal-diagonal $\overline{AD}$, $\overline{BE}$, $\overline{CF}$, $\overline{BF}$, dan $\overline{CE}$. Dengan mengingat keistimewaan bangun segienam beraturan dengan bagian-bagiannya yang berbentuk segitiga sama sisi, mudah untuk mengetahui bahwa $\measuredangle DBA=90^\circ$, bukan? Kemudian misalkan pusat dari lingkaran itu adalah titik $O$ dan pusat dari segienam itu adalah titik $P$. Jelas bahwa diagonal $\overline{AD}$ melalui $O$ dan $P$ dan $\overline{AD}\cap\overparen{BF}\equiv P$. Misalkan titik singgung lingkaran $O$ pada $\overline{BD}$ adalah $G$ maka $\overline{OG}\perp\overline{BD}$. Dengan demikian Anda menemukan dua segitiga yang sebangun, yaitu $\triangle ABD$ dan $\triangle OGD$. 
Sekarang misalkan panjang jari-jari juring itu adalah $R$ dan panjang jari-jari lingkaran itu adalah $r$. 

Anda tahu bahwa
\begin{align*}
AB &= R = AP = DP\\
AD &= 2R\\
OG &= r\\
OD &= R-r
\end{align*}

sehingga (karena $\triangle ABD\sim\triangle OGD$)

\begin{align*}
\frac{OD}{AD} &= \frac{OG}{AB}\\
\frac{R-r}{2R} &= \frac{r}{R}\\
R-r &= 2r\\
R &= 3r
\end{align*}

Mengingat $\measuredangle BAF=120^\circ$ maka perbandingan luas daerah juring $ABF$ dan luas daerah lingkaran $O$ adalah

\begin{align*}
a:b &= \tfrac{1}{3}\pi R^2:\pi r^2\\
&= \tfrac{1}{3}\pi(3r)^2:\pi r^2\\
&= 3\pi r^2:\pi r^2\\
&= 3:1
\end{align*}

Lukisan

Akan lebih mudah untuk Anda jika Anda menetapkan koordinat-koordinat untuk gambar Anda dalam bentuk koordinat kutub. Letakkan saja pusat segienam itu, yaitu titik $P$, pada koordinat $(0,0)$. Kemudian, misalnya, Anda ambil panjang sisi segienam itu $4\,\rm{cm}$. Sekarang dapat Anda siapkan lingkup perintah gambar tikz-nya. Mula-mula tetapkan ukuran kedua jari-jarinya,

\def\R{4} % nilainya tanpa memuat operasi aljabar
\pgfmathsetmacro{\r}{\R/3} % nilainya memuat operasi aljabar

Kemudian Anda tetapkan koordinat-koordinat untuk pusat lingkaran, pusat segienam, dan titik-titik sudut pada segienam itu, (perhatikan cara menetapkannya dalam koordinat kutub)

\coordinate (O) at (180:\r);
\coordinate (P) at (0:0);
\coordinate[label=right:$A$] (A) at (0:\R);
\coordinate[label=above:$B$] (B) at (60:\R);
\coordinate[label=above:$C$] (C) at (120:\R);
\coordinate[label=left:$D$] (D) at (180:\R);
\coordinate[label=below:$E$] (E) at (240:\R);
\coordinate[label=below:$F$] (F) at (300:\R);

Nah, sekarang perhatikan hal penting berkenaan dengan koordinat titik singgung antardua kurva. Anda dapat saja menetapkan koordinat $G$ sebagai proyeksi $O$ pada $\overline{BD}$ oleh

\coordinate (G) at ($(B)!(O)!(D)$);

tetapi ketika Anda gambar ruas garis $\overline{CE}$ maka ruas garis itu tidak tepat melalui titik $G$. Oleh karena itu, dalam hal titik singgung, gambar Anda akan tepat bila Anda menetapkannya oleh perintah \node. Ingat bahwa ketika Anda membuat garis singgung terhadap suatu lingkaran dari suatu titik di luar lingkaran itu maka Anda selalu dapat membuat dua garis singgung (yang berarti bahwa Anda memperoleh dua titik singgung). Dalam lukisan ini Anda hanya (yang diperlukan) menetapkan satu koordinat titik singgung saja. 
Tetapkan lingkaran itu, sebutlah $L$, selebar $2r$ pada node di $O$.

\node[circle,minimum width=2cm*\r] (L) at (O) {};

Tetapkan koordinat titik singgungnya, sebutlah $G$, pada lingkaran $L$ oleh suatu garis singgung yang ditarik dari titik $B$ (dalam hal ini sebagai titik singgung 1), 

\coordinate (G) at (tangent cs:node=L,point={(B)},solution=1);

Selanjutnya Anda akan memulai untuk menampilkan bagian-bagian dari gambar. Lebih dulu isikan warna pada daerah juring dan lingkaran itu,

\fill[purple!50!green,opacity=.4] (B) arc(120:240:\R)--(A) --cycle (O) circle (\r);

lalu gambar juring dan lingkaran itu,

\draw[semithick] (B) arc(120:240:\R) (O) circle (\r);

dan, terakhir, Anda gambar sisi-sisi segienam itu beserta kedua diagonalnya itu,

\draw[semithick] (A)--(B) edge(D) --(C)--(D) edge(F) --(E)--(F)--cycle;

Edge itu semacam percabangan ruas garis dari suatu koordinat (ke koordinat lainnya) pada rangkaian utama koordinat-koordinat pembentuk suatu path. 
Akhirnya Anda peroleh gambar seperti tampak pada gambar (pertama) di atas. Nah, silakan dinikmati dan semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019

Masalah Jari-jari dalam Persegi, Dua Busur, dan Lingkaran

Anda pernah menemukan soal berkenaan dengan gambar seperti tampak di samping ini, bukan?

Diketahui suatu persegi dengan panjang sisi $2$ satuan. Berpusat pada titik-titik tengahnya, dibentuk busur setengah lingkaran yang menghubungkan kedua titik ujung pada kedua sisinya. Suatu lingkaran menyinggung kedua sisi persegi dan kedua busur itu. Berapakah panjang jari-jari lingkaran itu?

Bagaimana Anda memulainya?

Anda akan menandai titik-titik pusat dari lingkaran dan busur itu, bukan? Kemudian Anda menarik garis yang menghubungkan kedua titik itu dan garis lainnya yang mendukung perhitungan dan berkat Dalil Pythagoras Anda segera menemukan jawabannya.

Jika ukuran jari-jari itu sudah ditemukan maka dengan mudah Anda dapat membuat gambar tersebut.

Perhitungan

Misalkan $O$ titik pusat lingkaran itu dan $P$ titik pusat busur setengah lingkaran dari sisi $\overline{CD}$.

$F$ dan $G$ berturut-turut adalah titik singgung lingkaran pada sisi $\overline{AD}$ dan $\overline{AB}$. Tarik garis $\overleftrightarrow{GO}$ sehingga memotong sisi $\overline{CD}$ di titik $E$. 

Anda peroleh

\begin{align*}
DE &= r = FO = AG = GO = AF\\
DF &= 2-r = EO\\
EP &= 1-r\\
OP &= 1+r
\end{align*}

Pada $\triangle OPE$ siku-siku di $E$ Anda peroleh

\begin{align*}
OP^2 &= EP^2+EO^2\\
(1+r)^2 &= (1-r)^2+(2-r)^2\\
(1+r)^2 - (1-r)^2 &= (2-r)^2\\
2r\cdot2 &= 4-4r+r^2\\
r^2-8r+4 &= 0\\
r &= \frac{8\pm\sqrt{64-16}}{2}\\
r &= \frac{8\pm\sqrt{48}}{2}\\
r &= \frac{8\pm4\sqrt{3}}{2}\\
r &= 4\pm2\sqrt{3}
\end{align*}

Karena panjang sisi persegi itu $2$ satuan maka yang memenuhi adalah $\boldsymbol{r=\displaystyle4-2\sqrt{3}}$.  Inilah jawaban dari soal di atas.

Lukisan

Siapkan gambar tikz Anda.

\begin{tikzpicture}[font=\scriptsize,scale=2,line join=round]
...
\end{tikzpicture}

Tetapkan ukuran jari-jari itu,

\pgfmathsetmacro{\r}{4-2*sqrt(3)}

Jika titik $A$ Anda letakkan pada koordinat $(0,0)$ maka Anda dapat menetapkan koordinat-koodinat

\coordinate[label=below:] (O) at (\r,\r);
\coordinate[label=below:] (A) at (0,0);
\coordinate[label=above:] (B) at (2,0);
\coordinate[label=above:] (C) at (2,2);
\coordinate[label=right:] (D) at (0,2);

Dengan mempertimbangkan aspek tumpang-tindih, lebih dulu Anda lakukan pengisian warna. Misalnya dimulai dengan mengisi daerah ``daun'' $CK$. Dalam contoh ini digunakan warna DarkOliveGreen1 dari x11names dalam paket xcolor.

\usepackage[x11names,dvipsnames]{xcolor}

Pandanglah titik $Q$ sebagai pusat. Pada titik $C$ Anda berada pada sudut $90^\circ$ kemudian Anda menjejaki busur seperempat lingkaran hingga menempati sudut $180^\circ$ di titik $K$. Dari situ dilanjutkan dengan mengambil titik $P$ sebagai pusat. Mengacu kepada $P$ Anda berada pada sudut $270^\circ$ kemudian menjejaki busur seperempat lingkaran hingga kembali ke titik $C$ pada sudut $360^\circ$. Lintasan busur Anda tentu berjari-jari $1$ satuan.

\fill[DarkOliveGreen1] (C) arc(90:180:1) arc(270:360:1);

Berikutnya Anda akan mengisi daerah pada sudut kiri-bawah persegi oleh warna ``kertas buram''. 

\definecolor{buram}{RGB}{242,226,149}

Anda akan menjejaki daerah tertutup yang dibatasi oleh dua busur dan dua garis lurus. Misalkan Anda awali dari titik $D$. Mengacu kepada titik $P$ sebagai pusat, Anda berada pada sudut $180^\circ$ kemudian menjejaki busur seperempat lingkaran menuju sudut $270^\circ$ hingga menempati titik $K$. Kemudian Anda mengacu ke titik $Q$. Di $K$ Anda juga berada pada sudut $180^\circ$ kemudian menjejaki busur seperempat lingkaran menuju sudut $270^\circ$ hingga menempati titik $B$. Dari $B$ Anda menjejaki garis lurus menuju ke titik $A$ dan kembali titik $D$.

\fill[buram] (D) arc(180:270:1) arc(180:270:1)--(A)--cycle;

Sekarang Anda dapat menggambar lingkaran itu sambil mengisi daerahnya oleh warna (misalnya) Goldenrod dari dvipsnames dalam paket xcolor.

\draw[semithick,fill=Goldenrod] (O) circle (\r);

Selanjutnya Anda menggambar kedua busur. Misalnya Anda awali dari titik $B$. Dengan pusat $Q$ Anda berada pada sudut $270^\circ$ kemudian menjejaki busur setengah lingkaran menuju sudut $90^\circ$ hingga tiba di titik $C$. Di $C$, dengan pusat $P$, Anda berada pada sudut $360^\circ$ kemudian menjejaki busur setengah lingkaran menuju sudut $180^\circ$ hingga tiba di titik $D$.

\draw[semithick] (B) arc(270:90:1) arc(360:180:1);

Terakhir Anda gambar persegi itu

\draw[semithick] (A) rectangle (C);

Nah, dengan demikian hasilnya Anda peroleh gambar (pertama) di atas. Mudah, bukan?

Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019