Masalah Jari-jari dalam Persegi, Dua Busur, dan Lingkaran

Anda pernah menemukan soal berkenaan dengan gambar seperti tampak di samping ini, bukan?

Diketahui suatu persegi dengan panjang sisi $2$ satuan. Berpusat pada titik-titik tengahnya, dibentuk busur setengah lingkaran yang menghubungkan kedua titik ujung pada kedua sisinya. Suatu lingkaran menyinggung kedua sisi persegi dan kedua busur itu. Berapakah panjang jari-jari lingkaran itu?

Bagaimana Anda memulainya?

Anda akan menandai titik-titik pusat dari lingkaran dan busur itu, bukan? Kemudian Anda menarik garis yang menghubungkan kedua titik itu dan garis lainnya yang mendukung perhitungan dan berkat Dalil Pythagoras Anda segera menemukan jawabannya.

Jika ukuran jari-jari itu sudah ditemukan maka dengan mudah Anda dapat membuat gambar tersebut.

Perhitungan

Misalkan $O$ titik pusat lingkaran itu dan $P$ titik pusat busur setengah lingkaran dari sisi $\overline{CD}$.

$F$ dan $G$ berturut-turut adalah titik singgung lingkaran pada sisi $\overline{AD}$ dan $\overline{AB}$. Tarik garis $\overleftrightarrow{GO}$ sehingga memotong sisi $\overline{CD}$ di titik $E$. 

Anda peroleh

\begin{align*}
DE &= r = FO = AG = GO = AF\\
DF &= 2-r = EO\\
EP &= 1-r\\
OP &= 1+r
\end{align*}

Pada $\triangle OPE$ siku-siku di $E$ Anda peroleh

\begin{align*}
OP^2 &= EP^2+EO^2\\
(1+r)^2 &= (1-r)^2+(2-r)^2\\
(1+r)^2 - (1-r)^2 &= (2-r)^2\\
2r\cdot2 &= 4-4r+r^2\\
r^2-8r+4 &= 0\\
r &= \frac{8\pm\sqrt{64-16}}{2}\\
r &= \frac{8\pm\sqrt{48}}{2}\\
r &= \frac{8\pm4\sqrt{3}}{2}\\
r &= 4\pm2\sqrt{3}
\end{align*}

Karena panjang sisi persegi itu $2$ satuan maka yang memenuhi adalah $\boldsymbol{r=\displaystyle4-2\sqrt{3}}$.  Inilah jawaban dari soal di atas.

Lukisan

Siapkan gambar tikz Anda.

\begin{tikzpicture}[font=\scriptsize,scale=2,line join=round]
...
\end{tikzpicture}

Tetapkan ukuran jari-jari itu,

\pgfmathsetmacro{\r}{4-2*sqrt(3)}

Jika titik $A$ Anda letakkan pada koordinat $(0,0)$ maka Anda dapat menetapkan koordinat-koodinat

\coordinate[label=below:] (O) at (\r,\r);
\coordinate[label=below:] (A) at (0,0);
\coordinate[label=above:] (B) at (2,0);
\coordinate[label=above:] (C) at (2,2);
\coordinate[label=right:] (D) at (0,2);

Dengan mempertimbangkan aspek tumpang-tindih, lebih dulu Anda lakukan pengisian warna. Misalnya dimulai dengan mengisi daerah ``daun'' $CK$. Dalam contoh ini digunakan warna DarkOliveGreen1 dari x11names dalam paket xcolor.

\usepackage[x11names,dvipsnames]{xcolor}

Pandanglah titik $Q$ sebagai pusat. Pada titik $C$ Anda berada pada sudut $90^\circ$ kemudian Anda menjejaki busur seperempat lingkaran hingga menempati sudut $180^\circ$ di titik $K$. Dari situ dilanjutkan dengan mengambil titik $P$ sebagai pusat. Mengacu kepada $P$ Anda berada pada sudut $270^\circ$ kemudian menjejaki busur seperempat lingkaran hingga kembali ke titik $C$ pada sudut $360^\circ$. Lintasan busur Anda tentu berjari-jari $1$ satuan.

\fill[DarkOliveGreen1] (C) arc(90:180:1) arc(270:360:1);

Berikutnya Anda akan mengisi daerah pada sudut kiri-bawah persegi oleh warna ``kertas buram''. 

\definecolor{buram}{RGB}{242,226,149}

Anda akan menjejaki daerah tertutup yang dibatasi oleh dua busur dan dua garis lurus. Misalkan Anda awali dari titik $D$. Mengacu kepada titik $P$ sebagai pusat, Anda berada pada sudut $180^\circ$ kemudian menjejaki busur seperempat lingkaran menuju sudut $270^\circ$ hingga menempati titik $K$. Kemudian Anda mengacu ke titik $Q$. Di $K$ Anda juga berada pada sudut $180^\circ$ kemudian menjejaki busur seperempat lingkaran menuju sudut $270^\circ$ hingga menempati titik $B$. Dari $B$ Anda menjejaki garis lurus menuju ke titik $A$ dan kembali titik $D$.

\fill[buram] (D) arc(180:270:1) arc(180:270:1)--(A)--cycle;

Sekarang Anda dapat menggambar lingkaran itu sambil mengisi daerahnya oleh warna (misalnya) Goldenrod dari dvipsnames dalam paket xcolor.

\draw[semithick,fill=Goldenrod] (O) circle (\r);

Selanjutnya Anda menggambar kedua busur. Misalnya Anda awali dari titik $B$. Dengan pusat $Q$ Anda berada pada sudut $270^\circ$ kemudian menjejaki busur setengah lingkaran menuju sudut $90^\circ$ hingga tiba di titik $C$. Di $C$, dengan pusat $P$, Anda berada pada sudut $360^\circ$ kemudian menjejaki busur setengah lingkaran menuju sudut $180^\circ$ hingga tiba di titik $D$.

\draw[semithick] (B) arc(270:90:1) arc(360:180:1);

Terakhir Anda gambar persegi itu

\draw[semithick] (A) rectangle (C);

Nah, dengan demikian hasilnya Anda peroleh gambar (pertama) di atas. Mudah, bukan?

Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019

Menggambar Busur-busur Melalui Tiga Titik dan Mewarnai Daerah yang Dibatasinya

Anda tahu, untuk melintasi suatu lintasan berupa busur, Anda memerlukan tiga unsur, yaitu sudut awal, sudut akhir, dan jari-jari dengan mengacu kepada titik pusatnya. Anda dapat menemukan keterangan tentang hal itu dalam beberapa tulisan di blog ini. Misalnya di situ. Yang lainnya silakan jelajahi saja tautannya dari sana.

Untuk melingkupi daerah yang dibatasi oleh busur-busur itu, Anda hanya perlu ``merangkaikannya'' saja dalam perintah atau opsi fill.

Mungkin Anda tahu koordinat titik pusat dan panjang jari-jarinya tetapi bagaimana bila besar sudut awal dan sudut akhirnya ``tidak pasti''? Menjadi kesulitan tersendiri, bukan? Bayangkanlah, bagaimana Anda mengisi warna untuk ``daerah apel'' di samping ini.

Untuk mengatasi hal itu Anda akan merangkai beberapa busur dengan melalui tiga buah koordinat dalam suatu perintah path (atau fill), kemudian mengisinya oleh suatu warna. Anda cukup mengetahui pusatnya dan menetapkan tiga buah koordinat yang dilintasi oleh tiap busur itu. Perhatikan juga orientasinya, apakah searah putar jarum jam (clockwise/cw)  atau berlawanan arah putar jarum jam (counterclockwise/ccw). Teknis ini penulis pinjam dari Qrrbrbirlbel (seorang pakar di forum) yang memberikan makro berikut ini.

Mari kita gunakan makro tersebut melalui contoh sederhana berikut ini.

Persegi ABCD seluas 1 satuan luas memuat busur seperempat lingkaran dan dua busur setengah lingkaran yang kongruen. Berapakah luas daerah (berwarna) yang dibatasi oleh ketiga busur itu?

Pada mukadimah Anda memerlukan dukungan dari paket tikz dan kepustakaannya sebagai berikut.

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{intersections,calc}

Sebelum membuat gambar tikz (tikzpicture), silakan Anda hitung, jari-jari busur setengah lingkaran haruslah $r=\displaystyle\sqrt{2}-1$ dan jari-jari busur seperempat lingkaran haruslah $R=\displaystyle1-\sqrt{2}+\sqrt{4-2\sqrt{2}}$ sehingga (sebaiknya) dapat Anda tetapkan

\pgfmathsetmacro\r{sqrt(2)-1}
\pgfmathsetmacro\R{1-sqrt(2)+sqrt(4-2*sqrt(2))}

Anda akan menggambar persegi berukuran $1$ satuan luas dengan faktor perbesaran $4$. Dapat Anda siapkan lingkup perintah gambar tikz sebagai berikut. 

\begin{tikzpicture}[scale=4,font=\footnotesize,line join=round]
...
\end{tikzpicture}

Kemudian, di dalam lingkup perintah gambar tikz, Anda tetapkan keempat koordinat titik sudut persegi itu sebagai

\coordinate[label=above:$A$] (A) at (0,1);
\coordinate[label=below:$B$] (B) at (0,0);
\coordinate[label=below:$C$] (C) at (1,0);
\coordinate[label=above:$D$] (D) at (1,1);

dan persegi itu Anda gambar oleh

\draw[thick] (B) rectangle (D);

Sekarang Anda akan menggambar busur setengah lingkaran. Anda berangkat dari titik $B$ ke arah kanannya dengan jari-jari $r$ seperti yang telah ditetapkan. Dengan demikian (mengacu kepada titik pusatnya) Anda berangkat dari sudut $180^\circ$ ke sudut $0^\circ$. Jika Anda berjalan membentuk busur setengah lingkaran dari titik $D$ ke arah bawahnya maka (mengacu kepada titik pusatnya) Anda berangkat dari sudut $90^\circ$ ke sudut $270^\circ$. Kemudian Anda akan menggambar busur seperempat lingkaran dengan berangkat dari koordinat di atas titik $B$. Koordinat itu haruslah $(0,\{1-R\})$. Dari titik itu (mengacu kepada titik pusatnya) Anda berangkat dari sudut $-90^\circ$ ke sudut $0^\circ$ (atau dari sudut $270^\circ$ ke sudut $360^\circ$) dengan jari-jari $R$. Ketiga busur itu dapat Anda gambar oleh satu perintah berikut ini.

\draw[thick] (B) arc(180:0:\r) (D) arc(90:270:\r) (0,{1-\R}) arc(-90:0:\R);

Sekarang Anda sediakan baris-baris kosong di antara perintah \coordinate dan kedua perintah \draw barusan. Anda akan menetapkan titik-titik potong dan mewarnai daerah. Perhatikan ilustrasinya pada Gambar 2. Untuk memperoleh tiga titik ``pembentuk busur'' Anda harus menetapkan titik potong dari dua busur dan titik potong dari busur dan diagonal persegi itu.  Mula-mula Anda tetapkan busur dari $B$ sebagai bsr1, busur dari $D$ sebagai bsr2, dan busur berpusat di $A$ sebagai bsr3. 

\path[name path=bsr1] (B) arc(180:0:\r) ;
\path[name path=bsr2] (D) arc(90:270:\r) ;
\path[name path=bsr3] (0,{1-\R}) arc(-90:0:\R);

Kemudian tetapkan titik potong dari tiap dua busur itu sebagai titik $K$, $L$, dan $M$.

\path [name intersections={of = bsr1 and bsr2, by={K}}];
\path [name intersections={of = bsr2 and bsr3, by={L}}];
\path [name intersections={of = bsr1 and bsr3, by={M}}];

Sekarang Anda memerlukan titik ketiga untuk tiap busur itu, sebagai $P$, $Q$, dan $R$, yang merupakan titik potong dari tiap busur itu dengan diagonal persegi. Anda tetapkan kedua diagonal persegi itu sebagai g1 dan g2. 

\path[name path=g1] (B)--(D) ;
\path[name path=g2] (A)--(C) ;

Perhatikan bahwa terdapat dua titik potong antara bsr1 dan g1, demikian juga bsr2 dan g1, tetapi hanya satu titik potong antara bsr3 dan g2.

\path [name intersections={of = bsr1 and g1, by={S,P}}];
\path [name intersections={of = bsr2 and g1, by={T,Q}}];
\path [name intersections={of = g2 and bsr3, by={R}}];

Nah, sekarang Anda sudah cukup syarat untuk mengisi warna daerah yang yang dibatasi oleh ketiga busur itu. Berkat makro di atas, Anda dapat membentuk (tanpa menggambarkan garisnya) lintasan ketiga busur itu dan mengisinya oleh suatu warna. (Penulis gunakan warna Plum dari dvipsnames dalam paket xcolor.) Anda dapat mengawali berangkat dari titik $M$ ke arah $K$ dengan melewati titik $P$ dalam arah searah putar jarum jam, dilanjutkan ke arah $L$ dengan melewati titik $Q$ dalam arah searah putar jarum jam, dan berakhir kembali ke $M$ dengan melewati titik $R$ dalam arah searah putar jarum jam.

\path[fill=Plum,opacity=.7] (M) to[arc through cw=(P)] (K) to[arc through cw=(Q)] (L) to[arc through cw=(R)] (M);

Dengan demikian Anda sudah memperoleh gambar seperti tampak pada Gambar 1. Bagaimana?

Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019