Masalah Jari-jari dalam Persegi, Dua Busur, dan Lingkaran

Anda pernah menemukan soal berkenaan dengan gambar seperti tampak di samping ini, bukan?

Diketahui suatu persegi dengan panjang sisi $2$ satuan. Berpusat pada titik-titik tengahnya, dibentuk busur setengah lingkaran yang menghubungkan kedua titik ujung pada kedua sisinya. Suatu lingkaran menyinggung kedua sisi persegi dan kedua busur itu. Berapakah panjang jari-jari lingkaran itu?

Bagaimana Anda memulainya?

Anda akan menandai titik-titik pusat dari lingkaran dan busur itu, bukan? Kemudian Anda menarik garis yang menghubungkan kedua titik itu dan garis lainnya yang mendukung perhitungan dan berkat Dalil Pythagoras Anda segera menemukan jawabannya.

Jika ukuran jari-jari itu sudah ditemukan maka dengan mudah Anda dapat membuat gambar tersebut.

Perhitungan

Misalkan $O$ titik pusat lingkaran itu dan $P$ titik pusat busur setengah lingkaran dari sisi $\overline{CD}$.

$F$ dan $G$ berturut-turut adalah titik singgung lingkaran pada sisi $\overline{AD}$ dan $\overline{AB}$. Tarik garis $\overleftrightarrow{GO}$ sehingga memotong sisi $\overline{CD}$ di titik $E$. 

Anda peroleh

\begin{align*}
DE &= r = FO = AG = GO = AF\\
DF &= 2-r = EO\\
EP &= 1-r\\
OP &= 1+r
\end{align*}

Pada $\triangle OPE$ siku-siku di $E$ Anda peroleh

\begin{align*}
OP^2 &= EP^2+EO^2\\
(1+r)^2 &= (1-r)^2+(2-r)^2\\
(1+r)^2 - (1-r)^2 &= (2-r)^2\\
2r\cdot2 &= 4-4r+r^2\\
r^2-8r+4 &= 0\\
r &= \frac{8\pm\sqrt{64-16}}{2}\\
r &= \frac{8\pm\sqrt{48}}{2}\\
r &= \frac{8\pm4\sqrt{3}}{2}\\
r &= 4\pm2\sqrt{3}
\end{align*}

Karena panjang sisi persegi itu $2$ satuan maka yang memenuhi adalah $\boldsymbol{r=\displaystyle4-2\sqrt{3}}$.  Inilah jawaban dari soal di atas.

Lukisan

Siapkan gambar tikz Anda.

\begin{tikzpicture}[font=\scriptsize,scale=2,line join=round]
...
\end{tikzpicture}

Tetapkan ukuran jari-jari itu,

\pgfmathsetmacro{\r}{4-2*sqrt(3)}

Jika titik $A$ Anda letakkan pada koordinat $(0,0)$ maka Anda dapat menetapkan koordinat-koodinat

\coordinate[label=below:] (O) at (\r,\r);
\coordinate[label=below:] (A) at (0,0);
\coordinate[label=above:] (B) at (2,0);
\coordinate[label=above:] (C) at (2,2);
\coordinate[label=right:] (D) at (0,2);

Dengan mempertimbangkan aspek tumpang-tindih, lebih dulu Anda lakukan pengisian warna. Misalnya dimulai dengan mengisi daerah ``daun'' $CK$. Dalam contoh ini digunakan warna DarkOliveGreen1 dari x11names dalam paket xcolor.

\usepackage[x11names,dvipsnames]{xcolor}

Pandanglah titik $Q$ sebagai pusat. Pada titik $C$ Anda berada pada sudut $90^\circ$ kemudian Anda menjejaki busur seperempat lingkaran hingga menempati sudut $180^\circ$ di titik $K$. Dari situ dilanjutkan dengan mengambil titik $P$ sebagai pusat. Mengacu kepada $P$ Anda berada pada sudut $270^\circ$ kemudian menjejaki busur seperempat lingkaran hingga kembali ke titik $C$ pada sudut $360^\circ$. Lintasan busur Anda tentu berjari-jari $1$ satuan.

\fill[DarkOliveGreen1] (C) arc(90:180:1) arc(270:360:1);

Berikutnya Anda akan mengisi daerah pada sudut kiri-bawah persegi oleh warna ``kertas buram''. 

\definecolor{buram}{RGB}{242,226,149}

Anda akan menjejaki daerah tertutup yang dibatasi oleh dua busur dan dua garis lurus. Misalkan Anda awali dari titik $D$. Mengacu kepada titik $P$ sebagai pusat, Anda berada pada sudut $180^\circ$ kemudian menjejaki busur seperempat lingkaran menuju sudut $270^\circ$ hingga menempati titik $K$. Kemudian Anda mengacu ke titik $Q$. Di $K$ Anda juga berada pada sudut $180^\circ$ kemudian menjejaki busur seperempat lingkaran menuju sudut $270^\circ$ hingga menempati titik $B$. Dari $B$ Anda menjejaki garis lurus menuju ke titik $A$ dan kembali titik $D$.

\fill[buram] (D) arc(180:270:1) arc(180:270:1)--(A)--cycle;

Sekarang Anda dapat menggambar lingkaran itu sambil mengisi daerahnya oleh warna (misalnya) Goldenrod dari dvipsnames dalam paket xcolor.

\draw[semithick,fill=Goldenrod] (O) circle (\r);

Selanjutnya Anda menggambar kedua busur. Misalnya Anda awali dari titik $B$. Dengan pusat $Q$ Anda berada pada sudut $270^\circ$ kemudian menjejaki busur setengah lingkaran menuju sudut $90^\circ$ hingga tiba di titik $C$. Di $C$, dengan pusat $P$, Anda berada pada sudut $360^\circ$ kemudian menjejaki busur setengah lingkaran menuju sudut $180^\circ$ hingga tiba di titik $D$.

\draw[semithick] (B) arc(270:90:1) arc(360:180:1);

Terakhir Anda gambar persegi itu

\draw[semithick] (A) rectangle (C);

Nah, dengan demikian hasilnya Anda peroleh gambar (pertama) di atas. Mudah, bukan?

Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019

Persegi, Busur, dan Pengarsiran

Pengantar

Pada beberapa naskah soal sering kita temui butir soal yang berkaitan dengan gambar seperti tampak di samping ini. Terasa bahwa kecakapan yang harus dimiliki sehubungan dengan menggambar persegi, menggambar busur, dan mengarsir daerah seperti yang ditunjukkan itu.

Untuk gambar tersebut saya gunakan paket TikZ sedangkan pewarnaan dengan menggunakan paket xcolor disertai oleh ketiga opsinya.

\usepackage[x11names,dvipsnames,svgnames]{xcolor}

Selain itu saya juga gunakan warna bistre yang ditetapkan lebih dulu pada mukadimah.

\definecolor{bistre}{RGB}{61,43,31}

Gambar juga didukung oleh kepustakaan TikZ intersections, patterns, dan angles.

Koordinat-koordinat dan Persegi

Koordinat $A$, $B$, $C$, dan $D$ saya tetapkan beserta penamaannya. Mula-mula saya tempatkan koordinat $A$ pada titik asal kemudian diikuti oleh tiga koordinat lainnya demikian sehingga membentuk suatu persegi dengan panjang sisi (saya tetapkan) $7\,\textrm{cm}$.

Hasilnya terlihat pada Gambar 1.

Menggambar Busur

Busur pertama kita buat dengan mengacu pada koordinat $A$ sebagai pusat, kemudian busur dibuat dari sudut awal $0^\circ$ dan berakhir pada sudut $90^\circ$ dengan jari-jari $7\,\textrm{cm}$. Busur kedua kita buat dengan mengacu pada koordinat $B$ sebagai pusat, kemudian busur dibuat dari sudut awal $180^\circ$ dan berakhir pada sudut $90^\circ$ dengan jari-jari $7\,\textrm{cm}$. Perhatikan kode pada baris 9 dan 10 berikut ini.

Hasilnya terlihat pada Gambar 2.

Mengarsir Daerah Busur

Pada kenyataannya kedua busur itu berpotongan pada sudut $60^\circ$ dari pusat $A$. Untuk itu pengarsiran dapat diawali pada lintasan (tanpa menggambarkan garisnya) dari koordinat $B$ dengan sudut awal $0^\circ$ dan berakhir pada sudut $60^\circ$ kemudian, dengan mengacu pada pusat $B$, dilanjutkan oleh sudut awal $120^\circ$ dan berakhir pada sudut $180^\circ$. Tentu saja, jari-jarinya $7\,\textrm{cm}$. (Pengarsiran memerlukan dukungan dari kepustakaan patterns dalam paket Tikz.)

Agar pengarsiran itu tidak menutupi/menindas/menimpa gambar ruas garis yang telah dilukis sebelumnya maka opsi pengarsiran (dalam perintah path) diletakkan sebelum perintah menggambar (draw) ruas garis untuk persegi dan busur. Perhatikan kode pada baris 7 berikut ini.

Hasilnya terlihat pada Gambar 3.

Melengkapi Gambar

Sekarang kita akan menetapkan titik potong dari kedua busur. Karena itulah pada saat memberikan perintah untuk menggambar busur kita namai tiap busur itu oleh opsi name path=.... Perhatikan baris 12 dan 13. (Penetapan perpotongan dari dua garis memerlukan dukungan dari kepustakaan intersections dalam paket Tikz.) Penetapan opsi pada baris 12 dan 13 itu terkait dengan penetapan perpotongan dari lintasan (path) kedua busur seperti ditunjukkan oleh kode pada baris 15.

Perhatikan baris 16. Perintah utamanya sebenarnya adalah menggambar ruas garis terputus-putus dari $B$ ke $E$ kemudian ke $A$ oleh

\draw[bistre,densely dashed] (B)--(E)--(A) ;

tetapi, setelah koordinat $E$, sekalian saja disisipkan peletakkan nama untuk $E$ oleh

node[above,black]{$E$}

dan peletakkan nama untuk panjang ruas garis $\overline{BE}$ oleh

node[above,midway,sloped,black] {$7$\,cm}

juga, setelah koordinat $A$, disisipkan peletakkan nama untuk panjang ruas garis $\overline{EA}$ oleh

node[above,midway,sloped,black] {$7$\,cm}

Baris 17 menyatakan penandaan dan peletakkan nama ukuran sudut sebagai

\pic[draw=..., angle eccentricity=..., angle radius=...,pic text=...]{angle=...};

Untuk penandaan dan peletakkan nama ukuran sudut kita memerlukan dukungan dari kepustakaan angles dalam paket Tikz.
Nah, hasil akhirnya terlihat pada Gambar 4.

Penutup

Dalam hal ini, barangkali, ukuran tingkat kerumitannya terletak pada saat kita akan menggambar busur dan ketika kita akan menetapkan daerah pengarsiran yang diapit oleh kedua busur itu. Untuk hal itu kita perlu berimajinasi.
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2017

Gambar "Sederhana"

Mukadimah

Kemarin saya disodori gambar seperti tampak di samping ini. Menarik, bukan?

Kita diajak untuk menandai (dengan warna atau arsiran) suatu daerah yang dibatasi oleh dua ruas garis lurus dan satu busur seperempat lingkaran (kenapa?)

Kita dapat membuat gambar tersebut dengan menggunakan paket TikZ.

Sebagai pembanding, dapat pula Anda baca beberapa tulisan yang bertalian dengan hal ini, yaitu:

• Koordinat Kutub
• Mengarsir Daerah di Antara Busur-busur
• TikZ: "Bintang-Busur"
• Mengarsir Daerah yang Dibatasi oleh Busur dan Ruas Garis

Menggambar Segitiga ABC

Kita ikuti "coretan" pada gambar di atas bahwa panjang $AB=2=BC$, sehingga kita dapat menempatkan titik $B$ pada koordinat $(0,0)$, titik $C$ pada $(2,0)$, dan titik $A$ pada $(0,2)$. Dengan demikian, secara ringkas, segitiga $ABC$ kita gambar oleh 

\draw[thick] 
(0,0) coordinate (B) node[below] {B} --
(2,0) coordinate (C) node[right] {C} --
(0,2) coordinate (A) node[above] {A} --cycle;

Hasilnya tampak pada Gambar 1 dalam dokumen terlampir di bawah ini. Jelas bahwa $\triangle{ABC}$ siku-siku dan sama kaki itu mengakibatkan besar sudut $\measuredangle{ACB}=\measuredangle{BAC}=45^\circ$.

Menggambar Busur BD

Pada suatu arah putar, kita akan menggambar busur $BD$, yang berjalan dari titik $B$ ke titik $D$ sejauh $\angle{DCB}$ dengan pusat di titik $C$. Mengacu pada sumbu $\overrightarrow{CX_+}$, titik $B$ diperoleh dari suatu titik pada $\overrightarrow{CX_+}$ dengan memutarnya sejauh $180^\circ$ dan titik $D$ diperoleh dari suatu titik pada $\overrightarrow{CX_+}$ dengan memutarnya sejauh $135^\circ$ (karena $\measuredangle{DCB}=\measuredangle{ACB}=45^\circ$). Dalam koordinat kutub dengan jari-jari $2\,\textrm{cm}$, kita gambar busur $BD$ oleh

\draw[thick] (B) arc(180:135:2cm) node[black,above,xshift=.1cm] {D};

dan sekaligus menamai titik ujungnya sebagai $D$. Hasilnya dapat dilihat pada Gambar 2 dalam dokumen terlampir.

Menggambar Busur BE

Dengan pemahaman seperti tadi, kita akan menggambar busur $BE$, yang berjalan dari titik $B$ ke titik $E$ sejauh $\angle{BAC}$ dengan pusat di titik $A$. Mengacu pada sumbu $\overrightarrow{AX_+}$, titik $B$ diperoleh dari suatu titik pada $\overrightarrow{AX_+}$ dengan memutarnya sejauh $270^\circ$ dan titik $E$ diperoleh dari suatu titik pada $\overrightarrow{AX_+}$ dengan memutarnya sejauh $315^\circ$ (karena $\measuredangle{BAE}=\measuredangle{BAC}=45^\circ$). Dalam koordinat kutub dengan jari-jari $2\,\textrm{cm}$, kita gambar busur $BE$ oleh

\draw[Crimson,thick] (B) arc(270:315:2cm) node[black,above,xshift=.1cm] {E};

dan sekaligus menamai titik ujungnya sebagai $E$. Hasilnya dapat dilihat pada Gambar 3 dalam dokumen terlampir.

Arsiran

Perhatikan daerah $ABD$ pada gambar di atas. Daerah itu dilingkupi oleh ruas garis $\overline{AB}$, busur $BD$, dan ruas garis $\overline{DA}$. Oleh karena itu perintah untuk menggambar busur $BD$ kita gunakan kembali tetapi dalam hal ini dalam perintah path, agar ruas garisnya tidak tercetak dua kali. (Untuk mengarsir kita harus memuat kepustakaan TikZ, patterns, di dalam mukadimah.) Perintah untuk mengarsir daerah $ABD$ adalah

\path[pattern=north east lines] (A)--(B) arc(180:135:2cm)--cycle;

Hasilnya tampak pada pada Gambar 4 dalam dokumen terlampir.

Daerah $CBE$ dilingkupi oleh ruas garis $\overline{CB}$, busur $BE$, dan ruas garis $\overline{EC}$. Oleh karena itu perintah untuk menggambar busur $BE$ kita gunakan kembali tetapi dalam perintah path. Perintah untuk mengarsir daerah $CBE$ adalah

\path[pattern=north east lines] (C)--(B) arc(270:315:2cm)--cycle;

Hasilnya tampak pada pada Gambar 5 dalam dokumen terlampir.

Tanda Sudut Siku-siku

Untuk menandai sudut siku-siku kita harus memuat kepustakaan TikZ, calc, angles, dan quotes di dalam mukadimah (preamble). Untuk hal ini saya gunakan makro (yang dicantumkan di dalam mukadimah) sebagai berikut.

\newcommand{\siku}[4][.15cm]% #1=size (optional), #2-#4 three points: \angle #2#3#4
{\coordinate (tempa) at ($(#3)!#1!(#2)$);
 \coordinate (tempb) at ($(#3)!#1!(#4)$);
 \coordinate (tempc) at ($(tempa)!0.5!(tempb)$);%midpoint
 \draw[darkgray] (tempa) -- ($(#3)!2!(tempc)$) -- (tempb);
}

Kemudian dalam penggunaanya (dalam arah berlawanan dengan arah putar jarum jam) dinyatakan oleh

\siku{C}{B}{A}

Penutup

Berikut ini pengkodean selengkapnya untuk membuat gambar tersebut dan hasilnya seperti tampak pada Gambar 6.
Demikian semoga tulisan ini bermanfaat.

\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry}
\usepackage[svgnames,dvipsnames]{xcolor}
\usepackage[indonesian]{babel}
\usepackage{charter}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{patterns}
%-------------------------------------------
\usetikzlibrary{calc,angles,quotes}
\newcommand{\siku}[4][.15cm]% #1=size (optional), #2-#4 three points: \angle #2#3#4
{\coordinate (tempa) at ($(#3)!#1!(#2)$);
 \coordinate (tempb) at ($(#3)!#1!(#4)$);
 \coordinate (tempc) at ($(tempa)!0.5!(tempb)$);%midpoint
 \draw[darkgray] (tempa) -- ($(#3)!2!(tempc)$) -- (tempb);
}
%-------------------------------------------
\pagestyle{empty}

\begin{document}

\centering
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\draw[thick] 
(0,0) coordinate (B) node[below] {B} --
(2,0) coordinate (C) node[right] {C} --
(0,2) coordinate (A) node[above] {A} --cycle;
\draw[thick] (B) arc(270:315:2cm) node[black,above,xshift=.1cm] {E};
\path[pattern=north east lines] (C)--(B) arc(270:315:2cm)--cycle;
\end{tikzpicture}
\captionof{figure}{}
\end{minipage}}%
    \hfill
\adjustbox{valign=t}{\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\draw[thick] 
(0,0) coordinate (B) node[below] {B} --
(2,0) coordinate (C) node[right] {C} --
(0,2) coordinate (A) node[above] {A} --cycle;
\draw[thick] (B) arc(180:135:2cm) node[black,above,xshift=.1cm] {D};
\path[pattern=north east lines] (A)--(B) arc(180:135:2cm)--cycle;
\draw[thick] (B) arc(270:315:2cm) node[black,above,xshift=.1cm] {E};
\path[pattern=north east lines] (C)--(B) arc(270:315:2cm)--cycle;
\siku{C}{B}{A}
\end{tikzpicture}

\end{document}

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2016