Masalah Jari-jari dalam Persegi, Dua Busur, dan Lingkaran

Anda pernah menemukan soal berkenaan dengan gambar seperti tampak di samping ini, bukan?

Diketahui suatu persegi dengan panjang sisi $2$ satuan. Berpusat pada titik-titik tengahnya, dibentuk busur setengah lingkaran yang menghubungkan kedua titik ujung pada kedua sisinya. Suatu lingkaran menyinggung kedua sisi persegi dan kedua busur itu. Berapakah panjang jari-jari lingkaran itu?

Bagaimana Anda memulainya?

Anda akan menandai titik-titik pusat dari lingkaran dan busur itu, bukan? Kemudian Anda menarik garis yang menghubungkan kedua titik itu dan garis lainnya yang mendukung perhitungan dan berkat Dalil Pythagoras Anda segera menemukan jawabannya.

Jika ukuran jari-jari itu sudah ditemukan maka dengan mudah Anda dapat membuat gambar tersebut.

Perhitungan

Misalkan $O$ titik pusat lingkaran itu dan $P$ titik pusat busur setengah lingkaran dari sisi $\overline{CD}$.

$F$ dan $G$ berturut-turut adalah titik singgung lingkaran pada sisi $\overline{AD}$ dan $\overline{AB}$. Tarik garis $\overleftrightarrow{GO}$ sehingga memotong sisi $\overline{CD}$ di titik $E$. 

Anda peroleh

\begin{align*}
DE &= r = FO = AG = GO = AF\\
DF &= 2-r = EO\\
EP &= 1-r\\
OP &= 1+r
\end{align*}

Pada $\triangle OPE$ siku-siku di $E$ Anda peroleh

\begin{align*}
OP^2 &= EP^2+EO^2\\
(1+r)^2 &= (1-r)^2+(2-r)^2\\
(1+r)^2 - (1-r)^2 &= (2-r)^2\\
2r\cdot2 &= 4-4r+r^2\\
r^2-8r+4 &= 0\\
r &= \frac{8\pm\sqrt{64-16}}{2}\\
r &= \frac{8\pm\sqrt{48}}{2}\\
r &= \frac{8\pm4\sqrt{3}}{2}\\
r &= 4\pm2\sqrt{3}
\end{align*}

Karena panjang sisi persegi itu $2$ satuan maka yang memenuhi adalah $\boldsymbol{r=\displaystyle4-2\sqrt{3}}$.  Inilah jawaban dari soal di atas.

Lukisan

Siapkan gambar tikz Anda.

\begin{tikzpicture}[font=\scriptsize,scale=2,line join=round]
...
\end{tikzpicture}

Tetapkan ukuran jari-jari itu,

\pgfmathsetmacro{\r}{4-2*sqrt(3)}

Jika titik $A$ Anda letakkan pada koordinat $(0,0)$ maka Anda dapat menetapkan koordinat-koodinat

\coordinate[label=below:] (O) at (\r,\r);
\coordinate[label=below:] (A) at (0,0);
\coordinate[label=above:] (B) at (2,0);
\coordinate[label=above:] (C) at (2,2);
\coordinate[label=right:] (D) at (0,2);

Dengan mempertimbangkan aspek tumpang-tindih, lebih dulu Anda lakukan pengisian warna. Misalnya dimulai dengan mengisi daerah ``daun'' $CK$. Dalam contoh ini digunakan warna DarkOliveGreen1 dari x11names dalam paket xcolor.

\usepackage[x11names,dvipsnames]{xcolor}

Pandanglah titik $Q$ sebagai pusat. Pada titik $C$ Anda berada pada sudut $90^\circ$ kemudian Anda menjejaki busur seperempat lingkaran hingga menempati sudut $180^\circ$ di titik $K$. Dari situ dilanjutkan dengan mengambil titik $P$ sebagai pusat. Mengacu kepada $P$ Anda berada pada sudut $270^\circ$ kemudian menjejaki busur seperempat lingkaran hingga kembali ke titik $C$ pada sudut $360^\circ$. Lintasan busur Anda tentu berjari-jari $1$ satuan.

\fill[DarkOliveGreen1] (C) arc(90:180:1) arc(270:360:1);

Berikutnya Anda akan mengisi daerah pada sudut kiri-bawah persegi oleh warna ``kertas buram''. 

\definecolor{buram}{RGB}{242,226,149}

Anda akan menjejaki daerah tertutup yang dibatasi oleh dua busur dan dua garis lurus. Misalkan Anda awali dari titik $D$. Mengacu kepada titik $P$ sebagai pusat, Anda berada pada sudut $180^\circ$ kemudian menjejaki busur seperempat lingkaran menuju sudut $270^\circ$ hingga menempati titik $K$. Kemudian Anda mengacu ke titik $Q$. Di $K$ Anda juga berada pada sudut $180^\circ$ kemudian menjejaki busur seperempat lingkaran menuju sudut $270^\circ$ hingga menempati titik $B$. Dari $B$ Anda menjejaki garis lurus menuju ke titik $A$ dan kembali titik $D$.

\fill[buram] (D) arc(180:270:1) arc(180:270:1)--(A)--cycle;

Sekarang Anda dapat menggambar lingkaran itu sambil mengisi daerahnya oleh warna (misalnya) Goldenrod dari dvipsnames dalam paket xcolor.

\draw[semithick,fill=Goldenrod] (O) circle (\r);

Selanjutnya Anda menggambar kedua busur. Misalnya Anda awali dari titik $B$. Dengan pusat $Q$ Anda berada pada sudut $270^\circ$ kemudian menjejaki busur setengah lingkaran menuju sudut $90^\circ$ hingga tiba di titik $C$. Di $C$, dengan pusat $P$, Anda berada pada sudut $360^\circ$ kemudian menjejaki busur setengah lingkaran menuju sudut $180^\circ$ hingga tiba di titik $D$.

\draw[semithick] (B) arc(270:90:1) arc(360:180:1);

Terakhir Anda gambar persegi itu

\draw[semithick] (A) rectangle (C);

Nah, dengan demikian hasilnya Anda peroleh gambar (pertama) di atas. Mudah, bukan?

Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019