Masalah Jari-jari dalam Persegi, Dua Busur, dan Lingkaran

Anda pernah menemukan soal berkenaan dengan gambar seperti tampak di samping ini, bukan?

Diketahui suatu persegi dengan panjang sisi $2$ satuan. Berpusat pada titik-titik tengahnya, dibentuk busur setengah lingkaran yang menghubungkan kedua titik ujung pada kedua sisinya. Suatu lingkaran menyinggung kedua sisi persegi dan kedua busur itu. Berapakah panjang jari-jari lingkaran itu?

Bagaimana Anda memulainya?

Anda akan menandai titik-titik pusat dari lingkaran dan busur itu, bukan? Kemudian Anda menarik garis yang menghubungkan kedua titik itu dan garis lainnya yang mendukung perhitungan dan berkat Dalil Pythagoras Anda segera menemukan jawabannya.

Jika ukuran jari-jari itu sudah ditemukan maka dengan mudah Anda dapat membuat gambar tersebut.

Perhitungan

Misalkan $O$ titik pusat lingkaran itu dan $P$ titik pusat busur setengah lingkaran dari sisi $\overline{CD}$.

$F$ dan $G$ berturut-turut adalah titik singgung lingkaran pada sisi $\overline{AD}$ dan $\overline{AB}$. Tarik garis $\overleftrightarrow{GO}$ sehingga memotong sisi $\overline{CD}$ di titik $E$. 

Anda peroleh

\begin{align*}
DE &= r = FO = AG = GO = AF\\
DF &= 2-r = EO\\
EP &= 1-r\\
OP &= 1+r
\end{align*}

Pada $\triangle OPE$ siku-siku di $E$ Anda peroleh

\begin{align*}
OP^2 &= EP^2+EO^2\\
(1+r)^2 &= (1-r)^2+(2-r)^2\\
(1+r)^2 - (1-r)^2 &= (2-r)^2\\
2r\cdot2 &= 4-4r+r^2\\
r^2-8r+4 &= 0\\
r &= \frac{8\pm\sqrt{64-16}}{2}\\
r &= \frac{8\pm\sqrt{48}}{2}\\
r &= \frac{8\pm4\sqrt{3}}{2}\\
r &= 4\pm2\sqrt{3}
\end{align*}

Karena panjang sisi persegi itu $2$ satuan maka yang memenuhi adalah $\boldsymbol{r=\displaystyle4-2\sqrt{3}}$.  Inilah jawaban dari soal di atas.

Lukisan

Siapkan gambar tikz Anda.

\begin{tikzpicture}[font=\scriptsize,scale=2,line join=round]
...
\end{tikzpicture}

Tetapkan ukuran jari-jari itu,

\pgfmathsetmacro{\r}{4-2*sqrt(3)}

Jika titik $A$ Anda letakkan pada koordinat $(0,0)$ maka Anda dapat menetapkan koordinat-koodinat

\coordinate[label=below:] (O) at (\r,\r);
\coordinate[label=below:] (A) at (0,0);
\coordinate[label=above:] (B) at (2,0);
\coordinate[label=above:] (C) at (2,2);
\coordinate[label=right:] (D) at (0,2);

Dengan mempertimbangkan aspek tumpang-tindih, lebih dulu Anda lakukan pengisian warna. Misalnya dimulai dengan mengisi daerah ``daun'' $CK$. Dalam contoh ini digunakan warna DarkOliveGreen1 dari x11names dalam paket xcolor.

\usepackage[x11names,dvipsnames]{xcolor}

Pandanglah titik $Q$ sebagai pusat. Pada titik $C$ Anda berada pada sudut $90^\circ$ kemudian Anda menjejaki busur seperempat lingkaran hingga menempati sudut $180^\circ$ di titik $K$. Dari situ dilanjutkan dengan mengambil titik $P$ sebagai pusat. Mengacu kepada $P$ Anda berada pada sudut $270^\circ$ kemudian menjejaki busur seperempat lingkaran hingga kembali ke titik $C$ pada sudut $360^\circ$. Lintasan busur Anda tentu berjari-jari $1$ satuan.

\fill[DarkOliveGreen1] (C) arc(90:180:1) arc(270:360:1);

Berikutnya Anda akan mengisi daerah pada sudut kiri-bawah persegi oleh warna ``kertas buram''. 

\definecolor{buram}{RGB}{242,226,149}

Anda akan menjejaki daerah tertutup yang dibatasi oleh dua busur dan dua garis lurus. Misalkan Anda awali dari titik $D$. Mengacu kepada titik $P$ sebagai pusat, Anda berada pada sudut $180^\circ$ kemudian menjejaki busur seperempat lingkaran menuju sudut $270^\circ$ hingga menempati titik $K$. Kemudian Anda mengacu ke titik $Q$. Di $K$ Anda juga berada pada sudut $180^\circ$ kemudian menjejaki busur seperempat lingkaran menuju sudut $270^\circ$ hingga menempati titik $B$. Dari $B$ Anda menjejaki garis lurus menuju ke titik $A$ dan kembali titik $D$.

\fill[buram] (D) arc(180:270:1) arc(180:270:1)--(A)--cycle;

Sekarang Anda dapat menggambar lingkaran itu sambil mengisi daerahnya oleh warna (misalnya) Goldenrod dari dvipsnames dalam paket xcolor.

\draw[semithick,fill=Goldenrod] (O) circle (\r);

Selanjutnya Anda menggambar kedua busur. Misalnya Anda awali dari titik $B$. Dengan pusat $Q$ Anda berada pada sudut $270^\circ$ kemudian menjejaki busur setengah lingkaran menuju sudut $90^\circ$ hingga tiba di titik $C$. Di $C$, dengan pusat $P$, Anda berada pada sudut $360^\circ$ kemudian menjejaki busur setengah lingkaran menuju sudut $180^\circ$ hingga tiba di titik $D$.

\draw[semithick] (B) arc(270:90:1) arc(360:180:1);

Terakhir Anda gambar persegi itu

\draw[semithick] (A) rectangle (C);

Nah, dengan demikian hasilnya Anda peroleh gambar (pertama) di atas. Mudah, bukan?

Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019

``Logo Mitsubishi'' dalam ``Daun-daun'' Busur pada Segitiga Sama Sisi

Anda tahu, pada setiap objek geometris yang istimewa selalu memunculkan keistimewaan lainnya. Begitu pun pada segitiga istimewa, yaitu segitiga sama sisi. Dalam lukisannya nanti akan Anda ketahui dan rasakan. Gambar di samping merupakan lintasan-lintasan (paths) dari busur-busur pada segitiga sama sisi. Sekilas mengingatkan Anda pada logo Mitsubishi, bukan?

Pada dasarnya Anda hanya perlu menemukan keistimewaan dari garis-garis tinggi pada segitiga itu kemudian dipadukan dengan kecakapan Anda dalam menggambar busur-busur itu. Unsur-unsur yang perlu Anda perhatikan dalam menggambar busur adalah pusat, koordinat awal, sudut awal, sudut akhir, dan jari-jari.

(koordinat awal) arc(sudut awal:sudut akhir:jari-jari)

Perhitungan

Misalkan segitiga sama sisi Anda adalah $\triangle ABC$ dengan panjang sisi $a$ satuan.

Misalkan pula bahwa $D$, $E$, $F$ berturut-turut adalah titik-titik tengah dari sisi-sisi $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, dan $\overline{AC}$, maka 

\[AD=DB=BE=EC=CF=FA=\frac{a}{2}\] 

Kemudian misalkan $O$ sebagai titik berat atau pusat dari $\triangle ABC$. Dapat Anda gunakan Dalil Pythagoras untuk menemukan bahwa panjang garis tinggi
\[t=CD=BF=AE=\frac{a}{2}\sqrt{3}\]

dan pada tiap garis berat $\overline{AE}$, $\overline{BF}$, $\overline{CD}$ memenuhi perbandingan
\[AO:OE=BO:OF=CO:OD=2:1\]
Anda juga tahu bahwa $\overleftrightarrow{AL}$, $\overleftrightarrow{BM}$, dan $\overleftrightarrow{CK}$ sekaligus merupakan garis berat, garis tinggi, dan garis bagi sudut pada $\triangle ABC$ itu. Ruas-ruas gari $\overline{AL}$, $\overline{BM}$, $\overline{CK}$ masing-masing terbagi menjadi empat bagian sama panjang sejarak sepertiga dari tinggi $\triangle ABC$, yaitu $\frac{1}{3}t$. Perhatikan bahwa, dalam konstruksi ini, titik-titik $K$, $L$, dan $M$ merupakan pusat-pusat dari busur lingkaran besar sedangkan titik-titik $X$, $Y$, dan $Z$ merupakan pusat-pusat dari busur lingkaran kecil. Dengan demikian jari-jari busur lingkaran besar adalah $R=\frac{2}{3}t$ dan jari-jari busur lingkaran kecil adalah $r=\frac{1}{3}t$. Anda juga melihat dua segienam beraturan besar dan kecil, bukan? Jelaslah bahwa jarak dari kedua titik ujung pada setiap busur itu adalah $120^\circ$.

Lukisan

Mula-mula Anda tetapkan dulu panjang sisi segitiga sama sisi itu, misalnya $3\,\textrm{cm}$ kemudian tetapkanlah panjang garis tinggi dan panjang jari-jari lingkaran besar dan kecilnya.

\def\a{3} % panjang sisi segitiga (terserah Anda)
\pgfmathsetmacro{\t}{\a/2*sqrt(3)} % ketinggian segitiga
\pgfmathsetmacro{\r}{1/3*\t} % jari-jari kecil
\pgfmathsetmacro{\R}{2/3*\t} % jari-jari besar

Sekarang Anda akan menggambar ``tiga daun kecil''. Dalam contoh ini digunakan warna Tan dari dvipsnames dalam paket xcolor. Oleh karena itu lebih dulu cantumkan (sebelum pencantuman paket tikz) pada mukadimah paket xcolor beserta opsinya sebagai berikut.

\usepackage[dvipsnames]{xcolor}

Karena berkaitan dengan dengan penggunaan besar sudut, penulis ajak Anda untuk menyatakan koordinat dari tiap titik dalam koordinat kutub. Misalkan Anda akan memulainya dari titik $D$. Jika titik $A$ Anda tetapkan terletak pada koordinat $(0:0)$ maka koordinat untuk titik $D$ adalah $(0:\{\backslash a/2\})$ (karena panjang sisi segitiga ditetapkan oleh $\backslash a$). 

\draw[Tan] (0:{\a/2}) arc(-30:90:\r) arc(210:330:\r) arc(90:210:\r);

Dari $D$, dengan pusat $X$, Anda berangkat dari sudut $-30^\circ$ menuju ($+120^\circ$) sudut $90^\circ$ hingga Anda menempati titik $F$. Sebelum melanjutkan perjalanan perhatikan bahwa, terhadap pusat $Z$, titik $F$ terletak pada sudut $210^\circ$. Dari $F$ ($+120^\circ$) Anda menuju sudut $330^\circ$ hingga Anda menempati titik $E$. Berpusat di $Y$, titik $E$ terletak pada sudut $90^\circ$. Dari $E$ ($+120^\circ$) Anda menuju sudut $210^\circ$ hingga Anda kembali ke titik $D$.

Nah, sekarang Anda akan menggambar ``tiga daun besar'' dengan mengisi daerahnya oleh warna merah dan menggambar garisnya oleh warna merah juga. 

\draw[thick,Red,fill=Red] (0:0) arc (150:30:\R) arc(270:150:\R) arc (30:-90:\R)--cycle;

Misalkan Anda akan memulainya dari titik $A(0:0)$. Berpusat di $K$, titik $A$ terletak pada sudut $150^\circ$. Dari $A$ ($-120^\circ$, karena searah putar jarum jam) Anda menuju sudut $30^\circ$ hingga Anda menempati titik $B$. Anda melanjutkan perjalanan dengan berpusat di $L$ dan titik $B$ terletak pada sudut $270^\circ$, maka Anda menuju ($-120^\circ$) sudut $150^\circ$ hingga Anda menempati titik $C$. Berpusat di $Y$, titik $E$ terletak pada sudut $90^\circ$. Dari $E$, dengan berpusat di $M$, Anda akan mengakhiri perjalanan hingga kembali ke titik $A$. Titik $C$ kini terletak pada sudut $30^\circ$ maka ($-120^\circ$) perjalanan terakhir Anda menuju sudut $-90^\circ$.

Ringkas, bukan? Dengan demikian Anda akan memperoleh gambar (pertama) di atas.
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019