Busur dan Lingkaran dalam Segienam

Kali ini Anda melihat suatu segienam beraturan $ABCDEF$. Berpusat di titik $A$, titik $B$ dan $F$ dihubungkan oleh suatu busur. Kemudian ada suatu lingkaran yang menyinggung busur itu dan menyinggung pula pada kedua diagonal $\overline{BD}$ dan $\overline{FD}$. Misalkan luas daerah juring $ABF$ adalah $a$ dan luas daerah lingkaran itu adalah $B$, tentukan nilai perbandingan $a:b$.

Perlihatkan diagonal-diagonal $\overline{AD}$, $\overline{BE}$, $\overline{CF}$, $\overline{BF}$, dan $\overline{CE}$. Dengan mengingat keistimewaan bangun segienam beraturan dengan bagian-bagiannya yang berbentuk segitiga sama sisi, mudah untuk mengetahui bahwa $\measuredangle DBA=90^\circ$, bukan? Kemudian misalkan pusat dari lingkaran itu adalah titik $O$ dan pusat dari segienam itu adalah titik $P$. Jelas bahwa diagonal $\overline{AD}$ melalui $O$ dan $P$ dan $\overline{AD}\cap\overparen{BF}\equiv P$. Misalkan titik singgung lingkaran $O$ pada $\overline{BD}$ adalah $G$ maka $\overline{OG}\perp\overline{BD}$. Dengan demikian Anda menemukan dua segitiga yang sebangun, yaitu $\triangle ABD$ dan $\triangle OGD$. 
Sekarang misalkan panjang jari-jari juring itu adalah $R$ dan panjang jari-jari lingkaran itu adalah $r$. 

Anda tahu bahwa
\begin{align*}
AB &= R = AP = DP\\
AD &= 2R\\
OG &= r\\
OD &= R-r
\end{align*}

sehingga (karena $\triangle ABD\sim\triangle OGD$)

\begin{align*}
\frac{OD}{AD} &= \frac{OG}{AB}\\
\frac{R-r}{2R} &= \frac{r}{R}\\
R-r &= 2r\\
R &= 3r
\end{align*}

Mengingat $\measuredangle BAF=120^\circ$ maka perbandingan luas daerah juring $ABF$ dan luas daerah lingkaran $O$ adalah

\begin{align*}
a:b &= \tfrac{1}{3}\pi R^2:\pi r^2\\
&= \tfrac{1}{3}\pi(3r)^2:\pi r^2\\
&= 3\pi r^2:\pi r^2\\
&= 3:1
\end{align*}

Lukisan

Akan lebih mudah untuk Anda jika Anda menetapkan koordinat-koordinat untuk gambar Anda dalam bentuk koordinat kutub. Letakkan saja pusat segienam itu, yaitu titik $P$, pada koordinat $(0,0)$. Kemudian, misalnya, Anda ambil panjang sisi segienam itu $4\,\rm{cm}$. Sekarang dapat Anda siapkan lingkup perintah gambar tikz-nya. Mula-mula tetapkan ukuran kedua jari-jarinya,

\def\R{4} % nilainya tanpa memuat operasi aljabar
\pgfmathsetmacro{\r}{\R/3} % nilainya memuat operasi aljabar

Kemudian Anda tetapkan koordinat-koordinat untuk pusat lingkaran, pusat segienam, dan titik-titik sudut pada segienam itu, (perhatikan cara menetapkannya dalam koordinat kutub)

\coordinate (O) at (180:\r);
\coordinate (P) at (0:0);
\coordinate[label=right:$A$] (A) at (0:\R);
\coordinate[label=above:$B$] (B) at (60:\R);
\coordinate[label=above:$C$] (C) at (120:\R);
\coordinate[label=left:$D$] (D) at (180:\R);
\coordinate[label=below:$E$] (E) at (240:\R);
\coordinate[label=below:$F$] (F) at (300:\R);

Nah, sekarang perhatikan hal penting berkenaan dengan koordinat titik singgung antardua kurva. Anda dapat saja menetapkan koordinat $G$ sebagai proyeksi $O$ pada $\overline{BD}$ oleh

\coordinate (G) at ($(B)!(O)!(D)$);

tetapi ketika Anda gambar ruas garis $\overline{CE}$ maka ruas garis itu tidak tepat melalui titik $G$. Oleh karena itu, dalam hal titik singgung, gambar Anda akan tepat bila Anda menetapkannya oleh perintah \node. Ingat bahwa ketika Anda membuat garis singgung terhadap suatu lingkaran dari suatu titik di luar lingkaran itu maka Anda selalu dapat membuat dua garis singgung (yang berarti bahwa Anda memperoleh dua titik singgung). Dalam lukisan ini Anda hanya (yang diperlukan) menetapkan satu koordinat titik singgung saja. 
Tetapkan lingkaran itu, sebutlah $L$, selebar $2r$ pada node di $O$.

\node[circle,minimum width=2cm*\r] (L) at (O) {};

Tetapkan koordinat titik singgungnya, sebutlah $G$, pada lingkaran $L$ oleh suatu garis singgung yang ditarik dari titik $B$ (dalam hal ini sebagai titik singgung 1), 

\coordinate (G) at (tangent cs:node=L,point={(B)},solution=1);

Selanjutnya Anda akan memulai untuk menampilkan bagian-bagian dari gambar. Lebih dulu isikan warna pada daerah juring dan lingkaran itu,

\fill[purple!50!green,opacity=.4] (B) arc(120:240:\R)--(A) --cycle (O) circle (\r);

lalu gambar juring dan lingkaran itu,

\draw[semithick] (B) arc(120:240:\R) (O) circle (\r);

dan, terakhir, Anda gambar sisi-sisi segienam itu beserta kedua diagonalnya itu,

\draw[semithick] (A)--(B) edge(D) --(C)--(D) edge(F) --(E)--(F)--cycle;

Edge itu semacam percabangan ruas garis dari suatu koordinat (ke koordinat lainnya) pada rangkaian utama koordinat-koordinat pembentuk suatu path. 
Akhirnya Anda peroleh gambar seperti tampak pada gambar (pertama) di atas. Nah, silakan dinikmati dan semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019

``Logo Mitsubishi'' dalam ``Daun-daun'' Busur pada Segitiga Sama Sisi

Anda tahu, pada setiap objek geometris yang istimewa selalu memunculkan keistimewaan lainnya. Begitu pun pada segitiga istimewa, yaitu segitiga sama sisi. Dalam lukisannya nanti akan Anda ketahui dan rasakan. Gambar di samping merupakan lintasan-lintasan (paths) dari busur-busur pada segitiga sama sisi. Sekilas mengingatkan Anda pada logo Mitsubishi, bukan?

Pada dasarnya Anda hanya perlu menemukan keistimewaan dari garis-garis tinggi pada segitiga itu kemudian dipadukan dengan kecakapan Anda dalam menggambar busur-busur itu. Unsur-unsur yang perlu Anda perhatikan dalam menggambar busur adalah pusat, koordinat awal, sudut awal, sudut akhir, dan jari-jari.

(koordinat awal) arc(sudut awal:sudut akhir:jari-jari)

Perhitungan

Misalkan segitiga sama sisi Anda adalah $\triangle ABC$ dengan panjang sisi $a$ satuan.

Misalkan pula bahwa $D$, $E$, $F$ berturut-turut adalah titik-titik tengah dari sisi-sisi $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, dan $\overline{AC}$, maka 

\[AD=DB=BE=EC=CF=FA=\frac{a}{2}\] 

Kemudian misalkan $O$ sebagai titik berat atau pusat dari $\triangle ABC$. Dapat Anda gunakan Dalil Pythagoras untuk menemukan bahwa panjang garis tinggi
\[t=CD=BF=AE=\frac{a}{2}\sqrt{3}\]

dan pada tiap garis berat $\overline{AE}$, $\overline{BF}$, $\overline{CD}$ memenuhi perbandingan
\[AO:OE=BO:OF=CO:OD=2:1\]
Anda juga tahu bahwa $\overleftrightarrow{AL}$, $\overleftrightarrow{BM}$, dan $\overleftrightarrow{CK}$ sekaligus merupakan garis berat, garis tinggi, dan garis bagi sudut pada $\triangle ABC$ itu. Ruas-ruas gari $\overline{AL}$, $\overline{BM}$, $\overline{CK}$ masing-masing terbagi menjadi empat bagian sama panjang sejarak sepertiga dari tinggi $\triangle ABC$, yaitu $\frac{1}{3}t$. Perhatikan bahwa, dalam konstruksi ini, titik-titik $K$, $L$, dan $M$ merupakan pusat-pusat dari busur lingkaran besar sedangkan titik-titik $X$, $Y$, dan $Z$ merupakan pusat-pusat dari busur lingkaran kecil. Dengan demikian jari-jari busur lingkaran besar adalah $R=\frac{2}{3}t$ dan jari-jari busur lingkaran kecil adalah $r=\frac{1}{3}t$. Anda juga melihat dua segienam beraturan besar dan kecil, bukan? Jelaslah bahwa jarak dari kedua titik ujung pada setiap busur itu adalah $120^\circ$.

Lukisan

Mula-mula Anda tetapkan dulu panjang sisi segitiga sama sisi itu, misalnya $3\,\textrm{cm}$ kemudian tetapkanlah panjang garis tinggi dan panjang jari-jari lingkaran besar dan kecilnya.

\def\a{3} % panjang sisi segitiga (terserah Anda)
\pgfmathsetmacro{\t}{\a/2*sqrt(3)} % ketinggian segitiga
\pgfmathsetmacro{\r}{1/3*\t} % jari-jari kecil
\pgfmathsetmacro{\R}{2/3*\t} % jari-jari besar

Sekarang Anda akan menggambar ``tiga daun kecil''. Dalam contoh ini digunakan warna Tan dari dvipsnames dalam paket xcolor. Oleh karena itu lebih dulu cantumkan (sebelum pencantuman paket tikz) pada mukadimah paket xcolor beserta opsinya sebagai berikut.

\usepackage[dvipsnames]{xcolor}

Karena berkaitan dengan dengan penggunaan besar sudut, penulis ajak Anda untuk menyatakan koordinat dari tiap titik dalam koordinat kutub. Misalkan Anda akan memulainya dari titik $D$. Jika titik $A$ Anda tetapkan terletak pada koordinat $(0:0)$ maka koordinat untuk titik $D$ adalah $(0:\{\backslash a/2\})$ (karena panjang sisi segitiga ditetapkan oleh $\backslash a$). 

\draw[Tan] (0:{\a/2}) arc(-30:90:\r) arc(210:330:\r) arc(90:210:\r);

Dari $D$, dengan pusat $X$, Anda berangkat dari sudut $-30^\circ$ menuju ($+120^\circ$) sudut $90^\circ$ hingga Anda menempati titik $F$. Sebelum melanjutkan perjalanan perhatikan bahwa, terhadap pusat $Z$, titik $F$ terletak pada sudut $210^\circ$. Dari $F$ ($+120^\circ$) Anda menuju sudut $330^\circ$ hingga Anda menempati titik $E$. Berpusat di $Y$, titik $E$ terletak pada sudut $90^\circ$. Dari $E$ ($+120^\circ$) Anda menuju sudut $210^\circ$ hingga Anda kembali ke titik $D$.

Nah, sekarang Anda akan menggambar ``tiga daun besar'' dengan mengisi daerahnya oleh warna merah dan menggambar garisnya oleh warna merah juga. 

\draw[thick,Red,fill=Red] (0:0) arc (150:30:\R) arc(270:150:\R) arc (30:-90:\R)--cycle;

Misalkan Anda akan memulainya dari titik $A(0:0)$. Berpusat di $K$, titik $A$ terletak pada sudut $150^\circ$. Dari $A$ ($-120^\circ$, karena searah putar jarum jam) Anda menuju sudut $30^\circ$ hingga Anda menempati titik $B$. Anda melanjutkan perjalanan dengan berpusat di $L$ dan titik $B$ terletak pada sudut $270^\circ$, maka Anda menuju ($-120^\circ$) sudut $150^\circ$ hingga Anda menempati titik $C$. Berpusat di $Y$, titik $E$ terletak pada sudut $90^\circ$. Dari $E$, dengan berpusat di $M$, Anda akan mengakhiri perjalanan hingga kembali ke titik $A$. Titik $C$ kini terletak pada sudut $30^\circ$ maka ($-120^\circ$) perjalanan terakhir Anda menuju sudut $-90^\circ$.

Ringkas, bukan? Dengan demikian Anda akan memperoleh gambar (pertama) di atas.
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019