Perhitungan dalam Segitiga Siku-siku Sama Kaki dan Dua Busur di dalamnya

Pernahkah Anda menemukan soal terkait dengan gambar di samping ini? 

Segitiga $ABC$ siku-siku dan sama kaki. Dari titik $A$ dibuat dua busur setengah lingkaran yang berpotongan di titik $R$ dan masing-masing menyinggung sisi $\overline{BC}$ di titik $P$ dan $Q$. Tentukan nilai perbandingan $PQ : AR$.

Kedua busur itu simetris terhadap garis $\overleftrightarrow{AR}$, bukan? Garis $\overleftrightarrow{AR}$ juga merupakan garis bagi $\angle BAC$ sehingga $\overleftrightarrow{AR}\cap\overline{BC}$ tepat di tengah-tengahnya dan $\overleftrightarrow{AR}\perp\overline{BC}$. Sebutlah titik potongnya itu sebagai $O$. 
Misalkan pusat dari busur $\overparen {ARP}$ adalah titik $M$ dan pusat dari busur $\overparen {ARQ}$ adalah titik $N$. Tentu $ANRM$ suatu persegi, bukan? Dengan demikian $\overline{MN}\perp\overline{AR}$. 
Perhatikan bahwa $\overline{BC}$ merupakan garis singgung terhadap kedua busur itu maka $\overleftrightarrow{NQ}\perp\overline{BC}$ dan $\overleftrightarrow{MP}\perp\overline{BC}$. Karena $\overleftrightarrow{AR}\perp\overline{BC}$ maka $\overleftrightarrow{MP}\parallel\overleftrightarrow{QN}\parallel\overleftrightarrow{AR}$ sehingga $\overline{MN}\perp\overleftrightarrow{MP}\perp\overleftrightarrow{QN}$, $PQNM$ berupa persegi panjang, dan $AR=MN=PQ$. Jadi $\boldsymbol{PQ:AR=1:1}$.  

Lukisan

Misalkan $\triangle ABC$ yang Anda gambar berukuran $AB=AC=6\,\rm{cm}$, maka (dalam gambar tikz) dapat Anda tetapkan

\coordinate[label=below:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=right:$B$] (B) at (6,0);
\coordinate[label=above:$C$] (C) at (0,6);
\coordinate[label=] (O) at ($(B)!.5!(C)$);

Lalu bagaimana Anda menemukan letak titik $P$ dan $Q$? Anda juga tidak mengetahui panjang $AP$ dan $AQ$, bukan?
Ini benar-benar khas, berdasarkan apa yang diketahui. Bahwa $\angle BAC$ itu Anda bagi menjadi $4$ bagian masing-masing senilai $22.5^\circ$. Dengan demikian Anda dapat menetapkan koordinat (dalam bentuk kutub) titik $K$ dan $L$ 

\coordinate[label=above:] (K) at (67.5:6);
\coordinate[label=above:] (L) at (22.5:6);

kemudian menetapkan perpotongan $\overline{AK}$ dan $\overline{AL}$ masing-masing terhadap $\overline{BC}$ untuk memperoleh berturut-turut titik $P$ dan $Q$. 

\path[name path=g1] (B)--(C);
\path[name path=g2] (A)--(K);
\path[name path=g3] (A)--(L);
\path[name intersections={of = g1 and g2, by={P}}];
\path[name intersections={of = g1 and g3, by={Q}}];

Anda sudah tahu bahwa $AR=PQ$ dan $\measuredangle BAR=45^\circ$. Jika Anda tetapkan koordinat titik $R$ kemudian Anda proyeksikan $R$ berturut turut terhadap $\overline{AC}$ dan $\overline{AB}$ maka Anda peroleh titik $M$ dan $N$. Bagaimana caranya? 

\path 
  let 
  \p1=($(P)-(Q)$), 
  \n1={veclen(\x1,\y1)}
  in
  (45:\n1) coordinate[label={[xshift=.15cm]above:$R$}] (R)
  ($(A)!(R)!(C)$) coordinate (M)
  ($(A)!(R)!(B)$) coordinate (N);

Untuk menetapkan kedua hal di atas itu lebih dulu Anda harus menambahkan kepustakaan intersections dan calc pada mukadimah.

\usetikzlibrary{calc,intersections}

Selanjutnya Anda gambar busur $\overparen{ARP}$ dan $\overparen{ARQ}$, dengan panjang jari-jari sejarak $AM$, dari titik $A$ hingga masing-masing berakhir di titik (sebutlah) $X$ dan $Y$.

\draw[thick] 
  let 
  \p1=($(A)-(M)$), 
  \n1={veclen(\x1,\y1)}
  in
  (A) arc (-90:90:\n1) coordinate (X)
  (A) arc (180:0:\n1) coordinate (Y);

Sekarang Anda menggambar $\triangle ABC$ dan menamai titik $P$ dan $Q$.

\draw[thick] (A)--(B)--(C)--cycle;
\node[above,xshift=.1cm] at (P){$P$};
\node[above,xshift=.1cm] at (Q){$Q$};

Terakhir Anda tandai setiap titik itu oleh suatu noktah. Misalnya

\foreach \t in {P,Q,R,X,Y}
\draw[fill=white] (\t) circle (1.2pt);

Dengan demikian hasilnya Anda peroleh seperti gambar (pertama) di atas.
Bagaimana mudah, bukan?
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019