Melipat Persegi Panjang

Mungkin Anda pernah menemukan dan menjawab soal terkait dengan gambar di samping ini.

Persegi panjang $ABCD$ dibagi menjadi $4$ bagian berbentuk persegi panjang yang lebih kecil dan kongruen. Pada kedua bagiannya, setengah dari daerah persegi panjang kecil itu dilipat menurut diagonalnya. Berapakah jarak dari titik $A_1$ ke titik $C_1$?

Bagaimana Anda memulainya?

Misalkan titik tengah sisi $\overline{AB}$ adalah $E$ dan titik tengah sisi $\overline{AD}$ adalah $H$. Anda tahu $\overline{EH}\parallel\overline{BD}$, bukan? ....................... (1)

Kemudian Anda melihat $AEA_1H$ sebagai layang-layang, bukan? Jelas $\overline{AA_1}$ dan $\overline{EH}$ berpotongan tegak lurus. Misalkan $\overline{AA_1}\cap\overline{EH}\equiv M$. $\overline{EH}$ adalah sumbu simetri sehingga $AM=A_1M$ ....................... (*)

Sekarang misalkan pusat persegi panjang $ABCD$ adalah titik $O$ dan jarak $O$ ke $\overline{EH}$ adalah $OP$. (Perhatikan persegipanjang $AEOH$.) Karena $\overline{EH}$ diagonal persegi panjang $AEOH$ maka $OP=AM$ ....................... (**)

Sedangkan $\overline{EH}$ selaku Dari (*) dan (**) Anda peroleh $OP=A_1M$ dan itu berarti $\overleftrightarrow{A_1O}\parallel\overleftrightarrow{MP}$. Sedangkan $M,P\in\overleftrightarrow{EH}$ maka $\overleftrightarrow{A_1O}\parallel\overleftrightarrow{EH}$ ....................... (2) 

Berdasarkan (1) dan (2) Anda peroleh $\overleftrightarrow{A_1O}\parallel\overleftrightarrow{BD}$ ................................... (3) 

Dalam hal ini $\overleftrightarrow{A_1O}\equiv\overleftrightarrow{BD}$ sehingga $A_1,O\in\overline{BD}$.

Karena kedua persegi panjang $CGOF\cong AEOH$ dan kedua layang-layang $CGC_1F\cong AEA_1H$ maka perhitungan di atas sama berlakunya sehingga $C_1\in\overline{BD}$ dan $C_1D=A_1B$ ....................... (4)

Sekarang Anda dapat menuju kepada perhitungan untuk memperoleh panjang $A_1C_1$. Lebih dulu Anda harus tahu panjang $A_1B$, bukan? Anda segera melihat segitiga siku-siku (mengapa?) $\triangle AA_1B$. Panjang $AA_1$ segera diperoleh jika tahu panjang $AM$. Maka tampaklah $\triangle AEH$. 

Anda hitung dulu panjang $EH$.

$$\begin{align*} EH^2 &= AH^2+AE^2\\ &= 2^2+1,5^2\\ &=4+2,25\\ &= 6,25\\ EH &= 2,5 \end{align*}$$

Kemudian dengan memandang garis tinggi $\overline{AE}$ dan $\overline{AM}$, dalam perhitungan luas daerah $\triangle AEH$ Anda peroleh

$$\begin{align*} AE\cdot AH &= EH\cdot AM\\ 1,5\cdot2 &= 2,5\cdot AM\\ AM &= \frac{3}{2,5}=\frac{3}{\frac{5}{2}}\\ AM &= \tfrac{6}{5} \end{align*}$$

Dengan demikian $AA_1=2AM=\frac{12}{5}$ dan pada $\triangle AA_1B$ Anda peroleh

$$\begin{align*} (A_1B)^2 &= (AB)^2-(AA_1)^2\\ &= 3^2-\left(\frac{12}{5}\right)^2\\ &=9-\frac{144}{25}\\ &= \frac{81}{25}\\ A_1B &= \frac{9}{5} \end{align*}$$

Berdasarkan (4) diperoleh $A_1B+C_1D=2\cdot\frac{9}{5}=\frac{18}{5}$ sedangkan $BD=2EH=2\cdot2,5=5$ (mengapa?) maka Anda peroleh

$$\begin{align*} A_1C_1 &= BD-(A_1B+C_1D) = 5-\frac{18}{5} =\frac{7}{5} \end{align*}$$

Lukisan

Setelah Anda mengetahui ukuran-ukuran yang diperlukan melalui perhitungan di atas maka gambar tikz yang Anda buat untuk menghasilkan gambar seperti gambar (pertama) di atas menjadi lebih mudah. Anda dapat meletakkan titik $B$ pada koordinat $(0,0)$ sehingga Anda tetapkan

\coordinate[label=above:$A$] (A) at (0,3);
\coordinate[label=below:$B$] (B) at (0,0);
\coordinate[label=below:$C$] (C) at (4,0);
\coordinate[label=above:$D$] (D) at (4,3);
\coordinate[label=below:] (E) at ($(A)!.5!(B)$);
\coordinate[label=above:] (F) at ($(C)!.5!(B)$);
\coordinate[label=above:] (G) at ($(C)!.5!(D)$);
\coordinate[label=right:] (H) at ($(A)!.5!(D)$);

Anda memerlukan dukungan dari kepustakaan calc untuk menetapkan koordinat dari titik-titik $E$, $F$, $G$, dan $H$. Demikian juga untuk menetapkan koordinat dari titik $A_1$ dan $C_1$.

\coordinate[label=below:] (A1) at ($(B)!1.8cm!(D)$);
\coordinate[label=above:] (C1) at ($(D)!1.8cm!(B)$);

Anda gambar bagian dari persegi panjang $ABCD$ setelah proses pelipatan,

\draw[semithick] (B)--(F)--(G)--(D)--(H)--(E)--cycle ;

dan ini lipatannya,

\draw[semithick] (F)--(C1)node[above]{$C_1$}--(G) (E)--(A1)node[below]{$A_1$}--(H);

Agar tumpang-tindihnya tepat, letakkan perintah gambar garis putus-putus bagian sudut persegi panjang $ABCD$ berikut ini sebelum kedua perintah \draw itu.

\draw[Periwinkle,dashed] (E)--(A)--(H) (F)--(C)--(G);

Warna Periwinkle berasal dari dvipsnames dalam paket xcolor.
Kemudian letakkan sebelumnya lagi perintah untuk pengisian warna pada bagian daerah persegi panjang $ABCD$ dan lipatannya berikut ini. Di sela-selanya adalah perintah untuk menggambar garis putus-putus sebagai sumbu simetri persegipanjang $ABCD$.

\fill[DarkOrchid,opacity=.5] (B)--(F)--(G)--(D)--(H)--(E)--cycle ;
\draw[Periwinkle,densely dashed] (E)--(G) (F)--(H);
\fill[DarkOrchid,opacity=.7] (F)--(C1)--(G)--cycle (E)--(A1)--(H)--cycle;

Warna DarkOrchid juga dari dvipsnames.
Terakhir, Anda akan menandai ukuran panjang sisi dari persegi panjang $ABCD$. Dalam contoh ini Anda gunakan paket tikz-dimline.

\usepackage{tikz-dimline}
\pgfplotsset{compat=newest}

Letakkan kedua perintah berikut ini persis setelah perintah-perintah untuk menetapkan koordinat.

\dimline[%
        label style={},line style={stealth-stealth},
        extension start length=-0.5cm,
        extension end length=-0.5cm,
        extension start style={color=lightgray},
        extension end style={color=lightgray}
        ]{($(B)+(0,-0.5)$)}{($(C)+(0,-0.5)$)}{$4$};
\dimline[%
        label style={rotate=90},
        line style={stealth-stealth},
        extension start length=0.5cm,
        extension end length=0.5cm,
        extension start style={color=lightgray},
        extension end style={color=lightgray}   ]{($(D)+(0.5,0)$)}{($(C)+(0.5,0)$)}{$3$};

Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019