Dua Lingkaran Berciuman dengan Sudut Tertentu

Mukadimah

Perhatikan Gambar 1 di samping ini. Anda akan mengetahui bagaimana menggambarnya dengan tepat. Gambar Anda didukung oleh paket dan kepustakaannya berikut ini.

Kemudian, untuk membuat garis bagi sudut, Anda memerlukan makro berikut ini, sebagaimana telah diuraikan di sana. 

\newcommand{\bagisudut}[6][]{%
    \path[#1] let
        \p1 = ($(#3)!1cm!(#2)$),
        \p2 = ($(#3)!1cm!(#4)$),
        \p3 = ($(\p1) + (\p2) - (#3)$)
    in
        ($(#3)!#6!(\p3)$) -- ($(\p3)!#5!(#3)$) ;
    }

Gambar Anda

Mula-mula Anda tetapkan titik $B$ pada pusat koordinat. Untuk memperoleh ruas garis $\overline{BC}$, tetapkan titik bantu sebarang, sebutlah $Q$, sejarak $4\,\textrm{cm}$ dalam arah $135^\circ$. Kemudian untuk memperpanjang ruas garis $\overline{AB}$ Anda juga perlu menetapkan titik bantu, sebutlah $P$. Anda akan menggambar lingkaran $B$ cukup dalam jari-jari $1\,\textrm{cm}$, oleh karena itu Anda tetapkan titik $D$ (dalam koordinat kutub) sebagai $(135:1)$ (karena titik $D$ terletak pada $\overline{BC}$) dan titik $E$ pada koordinat $(-1,0)$.

Sekarang apa yang Anda pikirkan? Anda tahu, jawaban dari soal tersebut, bahwa $\measuredangle ADE=45^\circ$. Triknya adalah Anda membuat sudut siku-siku (dari $E$) di titik $D$, kemudian Anda akan membagi dua sudut ini sehingga diperoleh sudut $45^\circ$. Untuk hal itu Anda (lagi) memerlukan titik bantu, sebutlah $R$, sedemikian sehingga $\overline{RD}\perp\overline{DE}$ (perhatikan cara menetapkan koordinat $R$ di bawah ini). Untuk memperoleh titik $A$, perpanjangkan $\overline{AB}$ (perhatikan perintahnya) dan tetapkan garis bagi sudut $\angle RDE$ (perhatikan perintahnya) kemudian tetapkan titik potongnya sebagai $A$ dan letakkan namanya. 

Berikutnya Anda tetapkan ruas garis $\overline{BQ}$ dan tetapkan (perhatikan perintahnya) garis dari $A$ tegak lurus pada $\overline{AB}$ sejarak (misalnya) $3\,\textrm{cm}$ untuk memperoleh perpotongan dari keduanya di titik $C$. Sebutlah titik ujung ruas garis dari $A$ itu sebagai $S$. 

Akhirnya Anda memasuki bagian sentuhan akhir, yaitu menggambar garis-garisnya. Pada bagian ini Anda harus teliti, mana yang didahulukan, agar tumpang-tindihnya tepat (karena gambar tikz berupa lapisan-lapisan, layers). Lebih dulu Anda tampakkan gambar garis-garis bantu (merah, 50%) secara tipis. Lalu Anda gambar perpanjangan $\overline{AB}$ dan ruas-ruas garis pada $\triangle ABC$. Selanjutnya Anda gambar lingkaran $B$ dan lingkaran $C$ (perhatikan makronya, dalam hal ini Anda tidak tahu berapa panjang jari-jari lingkaran $C$). Gambar Anda dipungkas oleh penampakkan (perhatikan cara meringkasnya oleh perintah foreach) noktah-noktah untuk kelima titik.

Penutup

Demikianlah, Anda tahu, ketika sedang menggambar Anda benar-benar melakukan perhitungan. Selain itu, banyak hal yang harus Anda ingat tetapi tidak semuanya dapat Anda hafal. Oleh karena itu, sebaiknya, perintah-perintah atau makro-makro tertentuk Anda simpan agar memudahkan Anda ketika Anda perlu menggunakannya kembali. Misalnya, makro untuk membuat garis bagi sudut dan makro untuk membuat lingkaran ketika panjang jari-jarinya tidak diketahui.

Demikian semoga bermanfaat. Bila Anda berminat untuk mempelajari $\LaTeX$ secara khusyuk, silakan bergabung ke Indonesia Digital Teacher atau hubungi @Kalakay via Telegram. 

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2020

Bermain Sudut (Lagi)

Silakan Anda lihat tulisan serupa di sini. Kali ini malah lebih sederhana. Perhatikan gambar di samping ini. Anda akan mencari nilai $x$ dan menggambar konstruksinya. 

Lebih dulu mari kita berhitung. Perhatikan gambar di bawah ini.

Misalkan $\measuredangle DAE=\alpha^\circ$. Karena $AD=DE$ maka $\measuredangle AED=\alpha^\circ$ dan $\measuredangle EDA=(180-2\alpha)^\circ$. Anda peroleh $\measuredangle FDE=2\alpha^\circ=\measuredangle EFD$, bukan? Dengan demikian $\measuredangle DEF=(180-4\alpha)^\circ$.

Sekarang perhatikan sudut lurus di titik $E$.

$\measuredangle ADE+\measuredangle DEF+75^\circ=180^\circ$.

Anda peroleh

\begin{align*}
\alpha^\circ+(180-4\alpha)^\circ &= 105^\circ\\
3\alpha^\circ &= 75^\circ\\
\alpha^\circ &= 25^\circ
\end{align*}

Kemudian pada sudut lurus di titik $F$ Anda peroleh

\begin{align*}
(180-x)^\circ &= 2\alpha^\circ\\
(180-x)^\circ &= 50^\circ\\
x^\circ &= 130^\circ
\end{align*}

Konstruksi Gambar

Mula-mula, Anda siapkan dulu paket dan kepustakaan yang diperlukan.

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{angles,calc,decorations.markings}

Letakkan titik $A$ pada pusat koordinat.

\coordinate[label=left:$A$] (A) at (0,0);

Letakkan titik $B$, misalnya, sejarak $7\,\mathrm{cm}$ di kanan $A$.

\coordinate[label=right:$B$] (B) at (7,0);

Karena $\alpha^\circ=25^\circ$, letakkan titik $C$ pada sudut itu sejarak, misalnya $6\,\mathrm{cm}$.

\coordinate[label=right:$C$] (C) at (25:6);

Ambillah jarak $2\,\mathrm{cm}$ di kanan $A$ untuk titik $D$.

\coordinate[label=below:$D$] (D) at (0:2.5);

Anda sudah tahu, $\measuredangle FDE=2\alpha^\circ=50^\circ$ dan $AD=DE=2.5\,\mathrm{cm}$, maka tetapkan koordinat $E$ dengan merujuk kepada $D$ sebagai

\coordinate[label=above:$E$] (E) at ([shift={(D)}]50:2.5);

Karena $\triangle DEF$ sama kaki, untuk menetapkan koordinat $F$, ``jatuhkan'' saja titik $E$ pada $\overline{AB}$ dan misalkan proyeksi dari $E$ itu sebagai $E_1$. Dalam hal ini Anda harus terdukung oleh kepustakaan calc.

\coordinate (E1) at ($(A)!(E)!(B)$);

Anda tahu, $DF=2DE_1$, bukan? Oleh karena itu tetapkan koordinat $F$ sebagai

\coordinate[label=below:$F$] (F) at ($(D)!2!(E1)$);

Sekarang Anda dapat menggambar garis-garisnya oleh

\draw[thick] (B)--(A)--(C) (D)--(E)--(F);

Tetapi demi mempertimbangkan tumpang tindih gambar yang baik, sebaiknya Anda gambar dulu penanda garis (sama panjang) dan penanda sudutnya. Dengan dukungan dari kepustakaan decorations.markings, tetapkan (pada mukadimah) penanda garis sama panjang oleh

Dengan demikian pada gambar TikZ Anda nyatakan penanda itu oleh

\path[sama] (A)--(D);  \path[sama] (E)--(D);  \path[sama] (E)--(F);

Untuk menandai sudut oleh gambar busur dan nilai sudutnya, Anda harus terdukung oleh kepustakaan angles. Penanda sudut itu diberikan oleh perintah pic sebagai berikut.

Dua penanda sudut berikut ini perlu diletakkan di tempat yang agak luas karena memuat teks/rumus yang agak panjang. Anda buat ruas garis, berawal dari koordinat di dekat titik sudut itu ke suatu koordinat di bidang gambar yang agak lapang. Kemudian pada ujung ruas garis itu cantumkan nilai sudutnya.

Selesai. Gambar Anda akan tampak seperti dalam contoh dokumen berikut ini.

Demikian semoga bermanfaat.

Bila Anda berminat untuk mempelajari $\LaTeX$ secara khusyuk, silakan bergabung ke Indonesia Digital Teacher atau hubungi @Kalakay via Telegram. 

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2020

Dalil Van Aubel pada Segitiga

Pada segitiga $ABC$ dengan ketiga cevian $\overline{AD}$, $\overline{BE}$, dan $\overline{CF}$ berpotongan pada satu titik $P$ maka berlaku\[\frac{CP}{PF}=\frac{CE}{EA}+\frac{CD}{DB}\]

Anda tahu, pada suatu segitiga sebarang, Dalil Van Aubel menunjukkan bahwa jika pada tiap sisi segitiga itu dibentuk persegi ``eksternal'' kemudian dari titik-titik sudutnya ditarik garis ke pusat persegi pada sisi di hadapannya maka ketiga garis cevian itu akan berpotongan di satu titik (perhatikan Gambar 2 di atas). Pekerjaan Anda kali ini adalah membuat konstruksi pada suatu segitiga untuk menunjukkan keberlakuan Dalil Van Aubel tersebut.

Lukisan

Sebagai contoh, dapat Anda tetapkan koordinat-koordinat untuk titik $A$, $B$, $C$ sebagai berikut.

\coordinate[label=left:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=right:$B$] (B) at (6,0);
\coordinate[label=above:$C$] (C) at (2,4);

Anda akan menetapkan persegi dengan $\overline{BC}$ sebagai salah satu sisinya. 
Anda tidak tahu secara pasti berapa panjang $BC$, bukan? Lalu bagaimana cara menetapkan persegi itu? 
Bila Anda memiliki koordinat titik tengah $\overline{BC}$ (sebutlah titik $X$) kemudian dari $X$ Anda tarik ruas garis tegak lurus $\overline{BC}$ sejarak $XB$ maka Anda peroleh titik pusat persegi itu, bukan? Lebih dulu Anda tetapkan koordinat titik $X$ itu.

\coordinate (X) at ($(B)!.5!(C)$);

Dari $X$ Anda akan menuju ke titik $K$ dengan $XK=XB$ dan $XK\perp XB$. Tetapi Anda tidak tahu pasti berapa panjang $XB$. Karena hal tersebut maka titik $K$ Anda tetapkan sebagai berikut.

\path
  let 
  \p1=($(X)-(B)$), % penetapan jari-jari
  \n1={veclen(\x1,\y1)} % panjang jari-jari
  in
  ($(X)!\n1!90:(B)$) coordinate (K);

Selanjutnya Anda akan menetapkan titik $D$ sebagai titik potong dari $\overline{AK}$ dan $\overline{BC}$. Anda nyatakan

\path[name path=AK] (A)--(K);
\path[name path=BC] (B)--(C);
\path [name intersections={of = BC and AK, by={D}}];

Sekarang Anda beralih ke sisi $\overline{AC}$. Hal serupa Anda lakukan. Tetapkan titik tengahnya sebagai (misalnya) $Y$ kemudian dari $Y$ Anda berjalan tegak lurus $\overline{YC}$ sejarak $YC$ maka Anda temukan titik $L$. 

\coordinate[label=left:] (Y) at ($(A)!.5!(C)$);
\path
  let 
  \p1=($(Y)-(C)$), % penetapan jari-jari
  \n1={veclen(\x1,\y1)} % panjang jari-jari
  in
  ($(Y)!\n1!90:(C)$) coordinate (L);

Untuk menetapkan titik $E$ sebagai titik potong dari $\overline{BL}$ dan $\overline{AC}$ Anda nyatakan

\path[name path=BL] (B)--(L); 
\path[name path=AC] (A)--(C);
\path [name intersections={of = BL and AC, by={E}}];

Nah, dalam contoh ini, koordinat titik $M$ mudah ditentukan, bukan? Karena $A(0,0)$ dan $B(6,0)$ maka  haruslah $M(3,-3)$. 

\coordinate[label=left:] (M) at (3,-3);

Dengan demikian Anda hanya perlu melanjutkannya dengan menetapkan titik $F$ sebagai titik potong dari $\overline{CM}$ dan $\overline{AB}$

\path[name path=CM] (C)--(M);
\path[name path=AB] (A)--(B);
\path [name intersections={of = CM and AB, by={F}}];

Sedangkan untuk menetapkan titik $P$ cukup Anda perpotongkan dua cevian saja, misalnya $\overline{CM}$ dan $\overline{AK}$.

\path [name intersections={of = CM and AK, by={P}}];

Akhirnya Anda telah siap untuk menggambar garis-garisnya dan nama-nama titiknya, juga noktah-noktah dari titik-titik itu (bila perlu).

\draw (A)--(D) node[above,xshift=1.5mm]{$D$} 
(B)--(E) node[left,yshift=1.5mm]{$E$} 
(C)--(F) node[below]{$F$}; %ketiga cevian
\draw[thick] (A)--(B)--(C)--cycle ; % segitiga
\node[below,shift={(-.12,-.05)}] at (P) {$P$}; % letak dan penamaan titik P
\foreach \t in {D,E,F,P}
\fill (\t) circle (1.5pt); %noktah-noktah titik

Dengan demikian hasil gambar tikz Anda akan tampak seperti pada Gambar 1 di atas. Asyik, kan?
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019