Dalil Van Aubel pada Segitiga

Pada segitiga $ABC$ dengan ketiga cevian $\overline{AD}$, $\overline{BE}$, dan $\overline{CF}$ berpotongan pada satu titik $P$ maka berlaku\[\frac{CP}{PF}=\frac{CE}{EA}+\frac{CD}{DB}\]

Anda tahu, pada suatu segitiga sebarang, Dalil Van Aubel menunjukkan bahwa jika pada tiap sisi segitiga itu dibentuk persegi ``eksternal'' kemudian dari titik-titik sudutnya ditarik garis ke pusat persegi pada sisi di hadapannya maka ketiga garis cevian itu akan berpotongan di satu titik (perhatikan Gambar 2 di atas). Pekerjaan Anda kali ini adalah membuat konstruksi pada suatu segitiga untuk menunjukkan keberlakuan Dalil Van Aubel tersebut.

Lukisan

Sebagai contoh, dapat Anda tetapkan koordinat-koordinat untuk titik $A$, $B$, $C$ sebagai berikut.

\coordinate[label=left:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=right:$B$] (B) at (6,0);
\coordinate[label=above:$C$] (C) at (2,4);

Anda akan menetapkan persegi dengan $\overline{BC}$ sebagai salah satu sisinya. 
Anda tidak tahu secara pasti berapa panjang $BC$, bukan? Lalu bagaimana cara menetapkan persegi itu? 
Bila Anda memiliki koordinat titik tengah $\overline{BC}$ (sebutlah titik $X$) kemudian dari $X$ Anda tarik ruas garis tegak lurus $\overline{BC}$ sejarak $XB$ maka Anda peroleh titik pusat persegi itu, bukan? Lebih dulu Anda tetapkan koordinat titik $X$ itu.

\coordinate (X) at ($(B)!.5!(C)$);

Dari $X$ Anda akan menuju ke titik $K$ dengan $XK=XB$ dan $XK\perp XB$. Tetapi Anda tidak tahu pasti berapa panjang $XB$. Karena hal tersebut maka titik $K$ Anda tetapkan sebagai berikut.

\path
  let 
  \p1=($(X)-(B)$), % penetapan jari-jari
  \n1={veclen(\x1,\y1)} % panjang jari-jari
  in
  ($(X)!\n1!90:(B)$) coordinate (K);

Selanjutnya Anda akan menetapkan titik $D$ sebagai titik potong dari $\overline{AK}$ dan $\overline{BC}$. Anda nyatakan

\path[name path=AK] (A)--(K);
\path[name path=BC] (B)--(C);
\path [name intersections={of = BC and AK, by={D}}];

Sekarang Anda beralih ke sisi $\overline{AC}$. Hal serupa Anda lakukan. Tetapkan titik tengahnya sebagai (misalnya) $Y$ kemudian dari $Y$ Anda berjalan tegak lurus $\overline{YC}$ sejarak $YC$ maka Anda temukan titik $L$. 

\coordinate[label=left:] (Y) at ($(A)!.5!(C)$);
\path
  let 
  \p1=($(Y)-(C)$), % penetapan jari-jari
  \n1={veclen(\x1,\y1)} % panjang jari-jari
  in
  ($(Y)!\n1!90:(C)$) coordinate (L);

Untuk menetapkan titik $E$ sebagai titik potong dari $\overline{BL}$ dan $\overline{AC}$ Anda nyatakan

\path[name path=BL] (B)--(L); 
\path[name path=AC] (A)--(C);
\path [name intersections={of = BL and AC, by={E}}];

Nah, dalam contoh ini, koordinat titik $M$ mudah ditentukan, bukan? Karena $A(0,0)$ dan $B(6,0)$ maka  haruslah $M(3,-3)$. 

\coordinate[label=left:] (M) at (3,-3);

Dengan demikian Anda hanya perlu melanjutkannya dengan menetapkan titik $F$ sebagai titik potong dari $\overline{CM}$ dan $\overline{AB}$

\path[name path=CM] (C)--(M);
\path[name path=AB] (A)--(B);
\path [name intersections={of = CM and AB, by={F}}];

Sedangkan untuk menetapkan titik $P$ cukup Anda perpotongkan dua cevian saja, misalnya $\overline{CM}$ dan $\overline{AK}$.

\path [name intersections={of = CM and AK, by={P}}];

Akhirnya Anda telah siap untuk menggambar garis-garisnya dan nama-nama titiknya, juga noktah-noktah dari titik-titik itu (bila perlu).

\draw (A)--(D) node[above,xshift=1.5mm]{$D$} 
(B)--(E) node[left,yshift=1.5mm]{$E$} 
(C)--(F) node[below]{$F$}; %ketiga cevian
\draw[thick] (A)--(B)--(C)--cycle ; % segitiga
\node[below,shift={(-.12,-.05)}] at (P) {$P$}; % letak dan penamaan titik P
\foreach \t in {D,E,F,P}
\fill (\t) circle (1.5pt); %noktah-noktah titik

Dengan demikian hasil gambar tikz Anda akan tampak seperti pada Gambar 1 di atas. Asyik, kan?
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019