Lukisan dalam Tiga Lingkaran, Persegi, dan Segitiga

Perhatikan soal berikut ini. 

Given the diameters of the smaller circles are in the ratio $1:3$ and the blue square has an area of $9$. What is the area of the largest circle?

Jawabannya mudah ditemukan, bukan? Lalu bagaimana cara menggambarnya?

Perhitungan

Perbandingan itu berlaku untuk lingkaran kecil dan lingkaran sedang, bukan? Misalkan diameter lingkaran kecil adalah $2r$ maka diameter lingkaran sedang adalah $3\cdot2r=6r$ dan diameter lingkaran besar adalah $2r+6r=8r$. Anda peroleh $BC=2r$, $AB=6r$, dan $AC=8r$.

Perhatikan dua segitiga siku-siku $\triangle BFC$ dan $\triangle ADB$ yang sebangun. Anda peroleh

$$\begin{align*} \frac{FC}{DB} &= \frac{BC}{AB}\\ \frac{FC}{3} &= \frac{2r}{6r}=\frac{1}{3}\\ FC &= 1 \end{align*}$$

sehingga $CE=4$. 

$$\begin{align*} \frac{AD}{BF} &= \frac{AB}{BC}\\ \frac{AD}{3} &= \frac{6r}{2r}=3\\ AD &= 9 \end{align*}$$

sehingga $AE=12$.

Dengan demikian pada $\triangle ACE$ siku-siku di $E$ Anda peroleh

$$\begin{align*} AC^2 &= AE^2+CE^2\\ &= 12^2+4^2\\ &= 4^2\left(3^2+1\right)\\ &= 4^2\cdot10\\ AC &= 4\sqrt{10}\\ 2\cdot4r &= 4\sqrt{10}\\ 4r &= 2\sqrt{10} \end{align*}$$

Jadi luas daerah lingkaran besar adalah $\pi\cdot(4r)^2=\pi\cdot40=40\pi$ satuan luas.

Lukisan

Misalkan $O$, $O_1$, $O_2$ berturut-turut adalah pusat lingkaran besar, sedang, dan kecil, dengan jari-jari $R$, $r_1$, $r_2$. Dari perhitungan Anda peroleh $R=4r=2\sqrt{10}$, $r_1=3r=\frac{3}{2}\sqrt{10}$, dan $r_2=r=\frac{1}{2}\sqrt{10}$. Oleh karena itu dapat Anda tetapkan

\pgfmathsetmacro\R{2*sqrt(10)}
\pgfmathsetmacro\r{3*sqrt(10)/2}
\pgfmathsetmacro\rr{sqrt(10)/2}

Anda tetapkan titik $O$ pada koordinat $(0,0)$. Karena $OA=2\sqrt{10}$ dan $O_1A=\frac{3}{2}\sqrt{10}$ maka $OO_1=\frac{1}{2}\sqrt{10}$ dan $OB=\sqrt{10}$.  Tentu saja titik $O_2$ berada di tengah-tengah $\overline{BC}$. Dengan demikian dapat Anda tetapkan koordinat-koordinat

\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (O1) at (\rr,0);
\coordinate (A) at (\R,0);
\coordinate (B) at ({-\R/2},0);
\coordinate (C) at ({-\R},0);
\coordinate (O2) at ($(B)!.5!(C)$);

Untuk menetapkan titik $D$ dan $F$ Anda dapat menetapkan lintasan (path) lingkaran berpusat di titik $B$ dengan jari-jari $3$ satuan. Lintasan lingkaran ini tentu akan memotong lingkaran sedang dan kecil masing-masing pada dua titik berbeda. Untuk hal itu Anda tetapkan

\path[name path=L1] (O1) circle (\r);
\path[name path=L2] (O2) circle (\rr);
\path[name path=L3] (B) circle (3);
\path [name intersections={of = L3 and L1, by={D,Z}}];
\path [name intersections={of = L3 and L2, by={F,X}}];

Perhatikan bahwa titik $F$, $C$, dan $E$ segaris. Untuk memperoleh titik $E$, Anda pergi dari $F$ ke arah $C$ sejauh $3\,\textrm{cm}$ tetapi dalam tanda negatif agar terletak dalam arah sebaliknya (berlawanan). Anda tetapkan

\coordinate (E) at ($(F)!-3cm!(C)$);

Nah, sekarang unsur-unsur untuk lukisan atau gambar Anda telah siap. Lebih dulu, agar tidak menimpa garis-garis pada gambar Anda, isilah daerah persegi $BDEF$ oleh

\fill[blue!50!green,opacity=.3] (B)--(D)--(E)--(F)--cycle;

Terakhir Anda tunjukkan gambar $\triangle ACE$, sisi persegi $\overline{FB}$ dan $\overline{BD}$, dan ketiga lingkaran itu.

\draw[thick] (A)--(C)--(E)--cycle (F)--(B)--(D);
\draw[thick] (O1) circle (\r);
\draw[thick] (O2) circle (\rr);
\draw[thick] (O) circle (\R);

Hasilnya akan tampak seperti pada Gambar 1 di atas. Mudah, bukan?
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019