Lukisan dalam Tiga Lingkaran, Persegi, dan Segitiga

Perhatikan soal berikut ini. 

Given the diameters of the smaller circles are in the ratio $1:3$ and the blue square has an area of $9$. What is the area of the largest circle?

Jawabannya mudah ditemukan, bukan? Lalu bagaimana cara menggambarnya?

Perhitungan

Perbandingan itu berlaku untuk lingkaran kecil dan lingkaran sedang, bukan? Misalkan diameter lingkaran kecil adalah $2r$ maka diameter lingkaran sedang adalah $3\cdot2r=6r$ dan diameter lingkaran besar adalah $2r+6r=8r$. Anda peroleh $BC=2r$, $AB=6r$, dan $AC=8r$.

Perhatikan dua segitiga siku-siku $\triangle BFC$ dan $\triangle ADB$ yang sebangun. Anda peroleh

\begin{align*}
\frac{FC}{DB} &= \frac{BC}{AB}\\
\frac{FC}{3} &= \frac{2r}{6r}=\frac{1}{3}\\
FC &= 1
\end{align*}

sehingga $CE=4$. 

\begin{align*}
\frac{AD}{BF} &= \frac{AB}{BC}\\
\frac{AD}{3} &= \frac{6r}{2r}=3\\
AD &= 9
\end{align*}

sehingga $AE=12$.

Dengan demikian pada $\triangle ACE$ siku-siku di $E$ Anda peroleh

\begin{align*}
AC^2 &= AE^2+CE^2\\
&= 12^2+4^2\\
&= 4^2\left(3^2+1\right)\\
&= 4^2\cdot10\\
AC &= 4\sqrt{10}\\
2\cdot4r &= 4\sqrt{10}\\
4r &= 2\sqrt{10}
\end{align*}

Jadi luas daerah lingkaran besar adalah $\pi\cdot(4r)^2=\pi\cdot40=40\pi$ satuan luas.

Lukisan

Misalkan $O$, $O_1$, $O_2$ berturut-turut adalah pusat lingkaran besar, sedang, dan kecil, dengan jari-jari $R$, $r_1$, $r_2$. Dari perhitungan Anda peroleh $R=4r=2\sqrt{10}$, $r_1=3r=\frac{3}{2}\sqrt{10}$, dan $r_2=r=\frac{1}{2}\sqrt{10}$. Oleh karena itu dapat Anda tetapkan

\pgfmathsetmacro\R{2*sqrt(10)}
\pgfmathsetmacro\r{3*sqrt(10)/2}
\pgfmathsetmacro\rr{sqrt(10)/2}

Anda tetapkan titik $O$ pada koordinat $(0,0)$. Karena $OA=2\sqrt{10}$ dan $O_1A=\frac{3}{2}\sqrt{10}$ maka $OO_1=\frac{1}{2}\sqrt{10}$ dan $OB=\sqrt{10}$.  Tentu saja titik $O_2$ berada di tengah-tengah $\overline{BC}$. Dengan demikian dapat Anda tetapkan koordinat-koordinat

\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (O1) at (\rr,0);
\coordinate (A) at (\R,0);
\coordinate (B) at ({-\R/2},0);
\coordinate (C) at ({-\R},0);
\coordinate (O2) at ($(B)!.5!(C)$);

Untuk menetapkan titik $D$ dan $F$ Anda dapat menetapkan lintasan (path) lingkaran berpusat di titik $B$ dengan jari-jari $3$ satuan. Lintasan lingkaran ini tentu akan memotong lingkaran sedang dan kecil masing-masing pada dua titik berbeda. Untuk hal itu Anda tetapkan

\path[name path=L1] (O1) circle (\r);
\path[name path=L2] (O2) circle (\rr);
\path[name path=L3] (B) circle (3);
\path [name intersections={of = L3 and L1, by={D,Z}}];
\path [name intersections={of = L3 and L2, by={F,X}}];

Perhatikan bahwa titik $F$, $C$, dan $E$ segaris. Untuk memperoleh titik $E$, Anda pergi dari $F$ ke arah $C$ sejauh $3\,\textrm{cm}$ tetapi dalam tanda negatif agar terletak dalam arah sebaliknya (berlawanan). Anda tetapkan

\coordinate (E) at ($(F)!-3cm!(C)$);

Nah, sekarang unsur-unsur untuk lukisan atau gambar Anda telah siap. Lebih dulu, agar tidak menimpa garis-garis pada gambar Anda, isilah daerah persegi $BDEF$ oleh

\fill[blue!50!green,opacity=.3] (B)--(D)--(E)--(F)--cycle;

Terakhir Anda tunjukkan gambar $\triangle ACE$, sisi persegi $\overline{FB}$ dan $\overline{BD}$, dan ketiga lingkaran itu.

\draw[thick] (A)--(C)--(E)--cycle (F)--(B)--(D);
\draw[thick] (O1) circle (\r);
\draw[thick] (O2) circle (\rr);
\draw[thick] (O) circle (\R);

Hasilnya akan tampak seperti pada Gambar 1 di atas. Mudah, bukan?
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019

PgfMathSetMacro: Menggambar dengan Perhitungan yang Tepat

Kali ini Anda akan menggambar berdasarkan soal berikut ini. 

Perhatikan Gambar 1. Setengah lingkaran dan dua lingkaran yang saling singgung, dengan jari-jari berturut-turut $5$, $4$, dan $3$ satuan, terletak di dalam segitiga $ABC$ siku-siku di $A$. Tentukanlah luas daerah $\triangle ABC$ itu.

Sekarang lebih dulu mari kita berhitung. Jika Anda letakkan titik $A$ pada koordinat $(0,0)$ maka dengan mudah Anda peroleh pusat dari setengah lingkaran $Q$ pada koordinat $(0,5)$. Lalu bagaimana menemukan koordinat dari lingkaran $O$ dan lingkaran $P$?

Perhatikan bahwa alas $\triangle ABC$, yaitu $\overleftrightarrow{AC}$, berimpit dengan sumbu $X$ dan garis tingginya, yaitu $\overleftrightarrow{AB}$, berimpit dengan sumbu $Y$. Proyeksikan titik $O$ pada alasnya sehingga diperoleh titik $R$ dan proyeksikan titik $O$ pada garis tingginya sehingga diperoleh titik $M$. Anda peroleh $\triangle OMQ$ siku-siku di $M$, dengan $OQ=9$ dan $MQ=1$ sehingga $MO=\displaystyle\sqrt{80}=4\sqrt{5}$. Dengan demikian koordinat $O$ adalah $\displaystyle\left(4\sqrt{5},4\right)$. 
Sekarang proyeksikan titik $P$ pada alas segitiga itu sehingga diperoleh titik $S$ dan garis proyeksinya memotong $\overleftrightarrow{OM}$ di titik $T$. Perhatikan bahwa garis $\overleftrightarrow{RO}$ menyinggung lingkaran $P$ (mengapa?), sehingga pada $\triangle OPT$ siku-siku di $T$ Anda peroleh $OP=7$, $OT=3$, dan $PT=\displaystyle\sqrt{40}=2\sqrt{10}$. Dengan demikian koordinat titik $P$ adalah $\displaystyle\left(4\sqrt{5}-3,4+2\sqrt{10}\right)$. 

Lalu bagaimana menemukan koordinat titik $C$?
Perhatikan layang-layang $RCKO$ dengan $\measuredangle OCR=\measuredangle KCO=\theta$ (mengapa?), sehingga $\measuredangle BAC=2\theta$. 
Perhatikan bahwa $\overleftrightarrow{PN}$ sejajar dengan $\overleftrightarrow{BC}$, sehingga jika titik $O$ digeser pada garis $\overleftrightarrow{MO}$ sedemikian sehingga terletak pada garis $\overleftrightarrow{PN}$ maka $\measuredangle POM=\measuredangle BAC=2\theta$, bukan? Itu menunjukkan bahwa \[\alpha+\beta-\gamma=2\theta\]
Dari $\triangle OMQ$, $\triangle OPQ$ (melalui Aturan Kosinus), dan $\triangle OPN$ Anda peroleh 
\begin{align*}
\tan\alpha &= \frac{1}{4\sqrt{5}}\\
\tan\beta &= \frac{8\sqrt{5}}{11}\\
\tan\gamma &= \frac{1}{4\sqrt{3}}
\end{align*}Kemudian dengan menggunakan rumus tangen untuk jumlah (atau selisih) dua sudut dan rumus tangen untuk sudut tengahan Anda peroleh
\begin{align*}
\tan2\theta &= \tan(\alpha+\beta-\gamma)=\frac{76\sqrt{5}-36\sqrt{3}}{71}\\
\tan\theta &= \frac{6\sqrt{3}-2\sqrt{5}}{11}
\end{align*}sehingga
\begin{align*}
RC &= \frac{OR}{\tan\theta}=3\sqrt{3}+\sqrt{5}\\
AC &= 3\sqrt{3}+5\sqrt{5}\\
AB &= AC\cdot\tan2\theta=\frac{1576+48\sqrt{15}}{71}
\end{align*}
Dengan demikian koordinat titik $C$ adalah $\left(3\sqrt{3}+5\sqrt{5},0\right)$ dan koordinat titik $B$ adalah $\left(0,\frac{1576+48\sqrt{15}}{71}\right)$. 

Lukisan

Nah, sekarang Anda telah siap untuk menggambarnya dalam gambar tikz. Anda memerlukan dukungan paket dan kepustakaan tikz,

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}

Berikutnnya, ini dia, untuk memudahkan dan meringkas penulisan kode, nilai-nilai yang memuat operasi dari bentuk-bentuk akar itu ditetapkan lebih dulu oleh perintah \pgfmathsetmacro. Berikut ini perintah-perintah dalam penetapan nilai absis titik $O$, absis titik $P$, ordinat titik $P$, absis titik $C$, dan ordinat titik $B$.

\pgfmathsetmacro\xo{4*sqrt(5)}
\pgfmathsetmacro\xp{4*sqrt(5)-3}
\pgfmathsetmacro\yp{4+2*sqrt(10)}
\pgfmathsetmacro\xc{5*sqrt(5)+3*sqrt(3)}
\pgfmathsetmacro\yb{(1576+48*sqrt(15))/71}

Dengan demikian, dalam gambar tikz, dapat Anda tetapkan koordinat dari titik-titik itu sebagai berikut. 

\coordinate[label=left:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=below left:] (O) at (\xo,4);
\coordinate[label=above:] (P) at (\xp,\yp);
\coordinate[label=left:] (Q) at (0,5);
\coordinate[label=below:] (R) at (\xo,0);
\coordinate[label=right:$C$] (C) at (\xc,0);
\coordinate[label=above:$B$] (B) at (0,\yb);

Untuk menetapkan koordinat dari titik $K$, $M$, $L$, $N$, $S$ sebagai proyeksi dari titik $O$ dan $P$ Anda nyatakan

\coordinate[label=above right:] (K) at ($(B)!(O)!(C)$);
\coordinate[label=left:] (M) at ($(B)!(O)!(A)$);
\coordinate[label=above right:] (L) at ($(B)!(P)!(C)$);
\coordinate[label=below right:] (N) at ($(O)!(P)!(K)$);
\coordinate[label=below:] (S) at ($(A)!(P)!(C)$);

Sedangkan untuk koordinat titik $T$ Anda berjalan dari $O$ ke arah $M$ sejauh $3\textrm{cm}$, maka Anda tetapkan

\coordinate[label=below right:] (T) at ($(O)!3cm!(M)$);

Sekarang Anda gambar setengan lingkaran $Q$ oleh

\draw[thick] (0,10) arc(90:-90:5);

lingkaran $O$ dan lingkaran $P$ oleh 

\draw[thick] (O) circle (4) (P) circle (3);

dan, terakhir, $\triangle ABC$ oleh

\draw[thick] (A)--(B)--(C)--cycle;

Bagaimana asyik, bukan?
Bagaimana pula dengan jawaban dari soal di atas? Anda dapat menemukannya, bukan?
Ya, karena $AB= AC\cdot\tan2\theta$ maka luas daerah $\triangle ABC$ itu adalah
\[ [ABC]=\tfrac{1}{2}\cdot AC^2\cdot\tan2\theta=\frac{4\left(741\sqrt{3}+1039\sqrt{5}\right)}{71}\]Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019