Sunday, April 16, 2017

Tumpukan Lingkaran

Mukadimah

Gambar di samping ini saya temukan pada "Aha! Solutions" karya dari Martin Erickson yang diterbitkan pada tahun 2009 oleh Mathematical Association of America
Kembali kita akan menggambarnya oleh paket TikZ dengan didukung oleh kepustakaan calc dan intersections. Pewarnaan didukung oleh paket xcolor dalam opsi x11names.
Seperti kita ketahui, titik pusat dari lingkaran (singgung) dalam pada suatu segitiga dibentuk oleh perpotongan garis-garis bagi sudutnya. Secara teknis, kita cukup mengambil dua titik sudut dan menetapkan garis-garis bagi pada keduanya. Tindakan ini dilakukan berulang untuk tiap lingkaran yang kita gambarkan itu.
Agar sintaks kode untuk konstruksi gambar tersebut menjadi lebih ringkas, saya gunakan makro berikut ini untuk menetapkan garis bagi pada suatu sudut.
\newcommand{\bagisudut}[6][]{%
    \path[#1] let
        \p1 = ($(#3)!1cm!(#2)$),
        \p2 = ($(#3)!1cm!(#4)$),
        \p3 = ($(\p1) + (\p2) - (#3)$)
    in
        ($(#3)!#6!(\p3)$) -- ($(\p3)!#5!(#3)$) ;
    }
Sebagai contoh, untuk membagi sudut $A$ kita nyatakan
\bagisudut[draw,CadetBlue4!50,name path=g3] {B}{A}{C}{1.5}{5}
Perhatikan bahwa dalam makro tersebut garis bagi sudut dibuat dalam perintah path sehingga garis baginya tidak tercetak. Opsi draw menampakkan garis bagi itu, semata-mata hanya untuk keperluan dalam tulisan ini, juga disertai oleh pewarnaannya. Opsi nama path diperlukan untuk menetapkan perpotongan dengan garis bagi lainnya. Nilai $1.5$ (dalam sentimeter) menyatakan jarak dari titik sudut $A$ ke belakangnya dan nilai $5$ (dalam sentimeter) menyatakan jarak dari titik sudut $A$ ke depannya.



Lukisan Segitiga

Seperti tampak pada Gambar 1 dalam dokumen terlampir, kita melihat suatu tumpukan lingkaran (a stack of circles) di dalam suatu segitiga sama kaki. Sebagaimana ukuran yang diberikan, kita buat segitiga sama kaki $ABC$ dengan panjang sisi alas $AB=10\,\textrm{cm}$ dan panjang dari kedua kaki itu $AC=BC=13\,\textrm{cm}$. Jelas mudah dalam menetapkan koordinat untuk $C$ karena kita cukup menerapkan tiga bilangan Pythagoras $5$, $12$, $13$, sehingga tinggi segitiga itu adalah $12\,\textrm{cm}$. Dengan demikian dapat kita tetapkan
\coordinate[label=below:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B$] (B) at (10,0);
\coordinate[label=above:$C$] (C) at (5,13);
dan kita gambar segitiganya
\draw[thick](A)--(B)--(C)--cycle;
dan untuk menunjukkan ukuran dari sisi-sisi segitiga itu, kita nyatakan
\path (A)--(B) node[below,midway,yshift=-.1cm] {$10$};
\path (A)--(C) node[left,midway,xshift=-.1cm] {$13$};
\path (C)--(B) node[right,midway,xshift=.1cm] {$13$};
Hasilnya terlihat pada Gambar 1 dalam dokumen terlampir.


Lukisan Lingkaran Pertama

Berikutnya, kita memerlukan koordinat (sebutlah) $D$ dan garis tinggi $\overline{CD}$, yang akan menetapkan perpotongan-perpotongannya pada lingkaran-lingkaran itu. Agar lebih jelas, kita tampakkan saja garis tinggi ini.
\coordinate[label=below:$D$] (D) at (5,0);
\path[draw,Salmon2!50,name path=g0] (D)--(C);
Kita juga memerlukan path dari sisi $\overline{AC}$ dan $\overline{BC}$ untuk menetapkan perpotongan-perpotongan yang digunakan dalam lukisan ini.
\path[name path=g1] (A)--(C);
\path[name path=g2] (B)--(C);
Sekarang kita bersiap untuk membuat lingkaran pertama, yang menyinggung ketiga sisi segitiga. Untuk menetapkan titik pusatnya, kita buat garis bagi pada sudut $A$ dan pada sudut $B$.
\bagisudut[draw,CadetBlue4!50,name path=g3] {B}{A}{C}{1.5}{5}
\bagisudut[draw,CadetBlue4!50,name path=g4] {C}{B}{A}{1.5}{5}
Kemudian kita tetapkan titik pusat itu sebagai titik potong dari kedua garis bagi tersebut.
\path [name intersections={of = g3 and g4, by={O1}}];
Kita namai titik pusat lingkaran pertama itu sebagai $O_1$. Sekarang kita dapat melukiskan lingkaran pertama itu, yang berpusat di $O_1$ dan berjari-jari sepanjang $O_1D$.
\draw[thick,name path=L1]
  let 
  \p1=($(O1)-(D)$),\n1={veclen(\x1,\y1)}
  in
  (O1) circle (\n1);
Untuk menentukan perpotongan berikutnya, kita tetapkan nama path untuk lingkaran ini sebagai $L_1$. Sekalian juga kita tandai oleh noktah titik pusat dari lingkaran pertama ini dan kita letakkan namanya.
\draw[fill] (O1) node[right,xshift=.1cm]{$O_1$} circle(2pt);
Hasilnya tampak pada Gambar 2 dalam dokumen terlampir.


Lukisan Lingkaran Kedua dan Seterusnya

Untuk menggambar lingkaran kedua, kita dapat "menciptakan segitiga baru" dengan sisi alasnya melalui "titik puncak" lingkaran pertama dan sejajar dengan sisi alas. Untuk hal itu, lebih dulu kita tetapkan perpotongan garis tinggi $\overline{CD}$ pada lingkaran pertama, sebutlah $E$.
\path [name intersections={of = g0 and L1, by={E}}];
Untuk membuat ruas garis melalui $E$ dan sejajar dengan $\overline{AB}$, kita memerlukan satu koordinat sebagai acuan, sebutlah $T_1$.
\coordinate[] (T1) at ($(A)!(E)!90:(B)$);
Sekarang kita berdiri di $E$ dan menatap $T_1$. Akan kita buat ruas garis dari $T_1$ ke suatu koordinat yang berjarak $5\,\textrm{cm}$ di belakang $E$.
\path[draw,Purple2!50,name path=g5] (T1)--($(E)!-5cm!(T1)$);
Ruas garis itu sudah dibuat. Untuk menetapkan perpotongannya pada kedua kaki, sebutlah $P$ dan $Q$, kita nyatakan
\path [name intersections={of = g5 and g1, by={P}}];
\path [name intersections={of = g5 and g2, by={Q}}];
Kita dapat menandai oleh noktah dan menamai ketiga titik $E$, $P$, dan $Q$ itu.
\draw[fill] (E) node[below,xshift=.15cm]{$E$} circle(2pt);
\draw[fill] (P) node[above,xshift=-.1cm]{$P$} circle(2pt);
\draw[fill] (Q) node[above,xshift=.1cm]{$Q$} circle(2pt);
Dengan demikian sekarang kita memperoleh "segitiga baru", yaitu $\triangle{CPQ}$, sehingga lingkaran kedua merupakan lingkaran (singgung) dalam pada segitiga ini. Cara menetapkan titik pusat lingkaran kedua dan menggambar lingkarannya persis seperti langkah-langkah yang telah dilakukan di atas.
Kita tetapkan garis bagi pada kedua sudutnya.
\bagisudut[name path=g6]{Q}{P}{C}{1.5}{5}
\bagisudut[name path=g7]{C}{Q}{P}{1.5}{5}
Kita tetapkan perpotongan dari kedua garis bagi itu, sebagai pusat dari lingkaran kedua
\path [name intersections={of = g6 and g7, by={O2}}];
lalu kita gambarkan lingkarannya, dengan pusat di $O_2$ dan berjari-jari sejarak $O_2E$
\draw[thick,name path=L2]
  let 
  \p1=($(O2)-(E)$),\n1={veclen(\x1,\y1)}
  in
  (O2) circle (\n1);
dan kita munculkan noktah dan nama titik pusatnya
\draw[fill] (O2) node[right,xshift=.1cm]{$O_2$} circle(2pt);
Hasilnya tampak pada Gambar 3 dalam dokumen terlampir.

Demikianlah seterusnya, pekerjaan dalam melukis lingkaran kedua diulangi lagi untuk melukis lingkaran ketiga dan keempat sehingga diperoleh hasil seperti tampak pada Gambar 4 dan Gambar 5.

Penutup

Dengan memperoleh hasil seperti tampak pada Gambar 5 berarti kita sudah berhasil dalam membuat tumpukan lingkaran di dalam segitiga itu. Meskipun demikian, agar gambar kita persis seperti yang ditunjukkan oleh gambar pada awal tulisan ini, maka perintah-perintah \draw kita ganti oleh perintah \path, kecuali perintah untuk gambar segitiga, lingkaran-lingkaran, dan nama ukuran sisi segitiga. Sedangkan perintah untuk membuat noktah dan nama titik pusat lingkaran dihapus saja. Dengan demikian akan diperoleh gambar seperti tampak pada Gambar 6.
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2017

Friday, April 14, 2017

Garis Singgung Lingkaran dari Suatu Titik

Pengantar

Kali ini kita akan melukis garis singgung terhadap suatu lingkaran dari suatu titik yang terletak di luar lingkaran itu. Dalam tulisan ini penulis akan lakukan suatu trik yang belum pernah dilakukan sebelumnya. Ini menjadi pilihan atas dasar "pengalaman buruk" sebelumnya, ketika mendapati dua titik singgung yang berimpit.
Untuk lukisan pada gambar di samping ini penulis masih menggunakan paket TikZ dan didukung oleh dua kepustakaan, yaitu calc dan intersections.
Hal utama dalam masalah ini adalah penggunaan perintah node untuk melukis lingkaran dan penetapan koordinat titik singgungnya oleh tangent cs, olehnya kedua koordinat titik singgung itu ditetapkan secara khas.
Apa itu node?
Node itu letak/posisi/lokasi. Kita dapat "mengisi" suatu node oleh bangun geometris, teks, atau gambar yang diimpor. (Penjelasan selengkapnya dapat Anda peroleh dari dokumentasi paket PGF/TikZ pada halaman 48.)

Lukisan

Sebagai contoh, akan kita gambar suatu lingkaran berpusat di $O(0,0)$ dengan jari-jari $2\,\textrm{cm}$. Untuk masalah ini, kita pilih perintah node sebagai berikut. 
\node[draw=bistre,circle,thick] (O) at (0,0) [minimum size=4cm] {};
Perintah node di atas menyatakan bahwa kita menetapkan letak (node) pada koordinat $(0,0)$ yang dinamai $O$ dan padanya dilukis suatu lingkaran dengan ukuran minimum (dalam hal ini diameter) senilai $4\,\textrm{cm}$.
Kenapa ukuran minimum (minimum size)?
Itu aturan baku dalam pengkodeannya, karena dalam hal tertentu (misalnya ketika node itu diisi oleh teks) ukuran node dapat meluas dengan mengikuti lebar teks yang dituliskan.

Sekarang kita tetapkan suatu koordinat (sebutlah $A$) di luar lingkaran, misalnya
\coordinate (A) at (-1.5,4.5);
Kemudian, dari $A$, akan kita tarik suatu garis yang menyinggung lingkaran $O$ di suatu titik singgung (sebutlah $P$). Karena kita perlu memperpanjang garis singgung ini, maka lebih dulu kita tetapkan koordinat titik singgung $P$ itu sebagai berikut.
\coordinate (P) at  (tangent cs:node=O,point={(A)}, solution=1) ;
Perintah itu menyatakan bahwa kita menetapkan koordinat $P$ sebagai titik singgung pada suatu node berupa lingkaran $O$ yang ditarik dari suatu titik $A$ dan koordinat $P$ itu diperlakukan sebagai titik singgung pertama.
Dengan cara yang sama kita tetapkan titik singgung kedua sebagai berikut. (Sebutlah titik singgung itu sebagai $Q$.)
\coordinate (Q) at (tangent cs:node=O,point={(A)}, solution=2) ;
Sekarang berdirilah di $P$ dan tataplah $A$. Garis singgung pertama yang berpangkal di $A$ itu akan kita tetapkan berujung di belakang $P$ sejarak $2\,\textrm{cm}$ dari $P$. Oleh karena itu, garis singgung pertama kita lukis oleh perintah
\draw[thick,bistre] (A)--($(P)!-2cm!(A)$);
Dengan cara serupa, kita lukis garis singgung kedua sebagai berikut.
\draw[thick,bistre] (A)--($(Q)!-2cm!(A)$);

Membuat Noktah Sekaligus untuk Beberapa Titik

Ini merupakan cara praktis (ringkas) ketika kita ingin menempatkan noktah pada beberapa koordinat secara sekaligus. Untuk lukisan di atas, kita melakukannya dengan menggunakan perintah foreach sebagai berikut.
\foreach \p in {A,O,P,Q}
\draw[fill] (\p) circle(1pt);

Menempatkan Nama Titik Sekaligus untuk Beberapa Titik

Dengan cara seperti di atas, dapat pula kita lakukan penamaan titik dan meletakkannya secara sekaligus untuk beberapa titik.
\foreach \p in {A,O,Q}
\node[above] at (\p) {$\p$};
Meskipun demikian, sehubungan dengan aspek estetis, kita juga perlu menempatkan nama titik itu secara tersendiri. Misalnya untuk titik $P$, lebih baik kita menempatkannya di kiri.
\node[left] at (P) {$P$};
Dengan semua pengkodean yang telah diuraikan di atas, sekarang Anda akan memperoleh gambar seperti terlihat pada awal tulisan ini.

Penutup

Seperti kita lihat, perintah node dapat digunakan untuk menempatkan suatu gambar bangun geometris (seperti lingkaran sebagai contoh pada tulisan ini) atau untuk menempatkan teks (seperti nama-nama titik itu).
Hal penting yang harus diperhatikan adalah cara menetapkan node untuk suatu lingkaran (berlaku umum untuk bangun geometris lainnya), cara menetapkan koordinat titik singgung pada lingkaran, dan cara menetapkan koordinat ujung pada perpanjangan suatu ruas garis.
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2017

Monday, April 3, 2017

Garis Singgung Persekutuan Dalam dari Dua Lingkaran

Pengantar

Secara manual, melukis garis singgung persekutuan dalam dari dua lingkaran dilakukan sebagai berikut.
  1. Buatlah lingkaran berpusat di $A$ dan berjari-jari $r_1$. Sebutlah $L_1$.
  2. Buatlah lingkaran berpusat di $B$ dan berjari-jari $r_2$. Sebutlah $L_2$.
  3. Tetapkan titik tengah (sebutlah $O$) dari $\overline{AB}$.
  4. Buatlah lingkaran berpusat di $O$ dan berjari-jari $OA$. Sebutlah $L$.
  5. Buatlah lingkaran berpusat di $A$ dan berjari-jari $r_1+r_2$. Sebutlah $L_3$.
  6. Tetapkan titik potong dari $L$ dan $L_3$, sebutlah $C$ dan $D$.
  7. Hubungkan $\overline{AC}$ sehingga memotong $L_1$ di (sebutlah) $E$.
  8. Hubungkan $\overline{AD}$ sehingga memotong $L_1$ di (sebutlah) $F$.
  9. Buatlah lingkaran berpusat di $E$ dan berjari-jari sepanjang $CB$ sehingga memotong $L_2$ di (sebutlah) $G$ dan $H$.
  10. Buatlah lingkaran berpusat di $F$ dan berjari-jari sepanjang $CB$ sehingga memotong $L_2$ di (sebutlah) $K$ dan $L$.
  11. Hubungkan dan perpanjangkan $\overline{EH}$ dan $\overline{FK}$.
  12. $\overleftrightarrow{EH}$ dan $\overleftrightarrow{FK}$ masing-masing merupakan garis singgung persekutuan dalam dari $L_1$ dan $L_2$.

Lukisan

Berdasarkan urutan langkah di atas, kita gambarkan garis singgung persekutuan dalam dari dua lingkaran itu sebagai berikut. Dalam hal ini kembali kita gunakan paket TikZ.
Sebagai contoh, kita tetapkan lingkaran $L_1$ dengan pusat $A(0,0)$ dan jari-jari $1\,\textrm{cm}$. Untuk memenuhi jarak yang memadai, kita tempatkan lingkaran $L_2$ berpusat di $B(5.1,0)$ dan jari-jari $2\,\textrm{cm}$. Kemudian, sekaligus, kita tetapkan koordinat $O$ sebagai titik tengah dari $\overline{AB}$.

Sekarang kita buat tiga lingkaran masing-masing berpusat di $A$, $B$, dan $O$. Perhatikan pada lingkaran $O$. Jari-jarinya kita tetapkan sebagai $\overline{OA}$ dan panjang jari-jarinya sebagai $OA$. Pada tiap lingkaran kita namai lintasan (path)-nya untuk penggunaan perpotongan terhadapnya. Untuk hal ini kita perlukan dukungan dari kepustakaan TikZ intersections. Sedangkan pewarnaan didukung oleh paket xcolor dengan ketiga opsinya: dvipsnames, svgnames, x11names.

Berikutnya, karena $L_1$ berjari-jari $1\,\textrm{cm}$ dan $L_2$ berjari-jari $2\,\textrm{cm}$ maka kita buat lingkaran keempat yang berpusat di $A$ dan berjari-jari (misalnya) $3\,\textrm{cm}$. Kemudian kita tetapkan perpotongannya terhadap lingkaran $O$ sebagai $C$ dan $D$.

Hubungkan masing-masing $\overline{AC}$ dan $\overline{AD}$ sehingga memotong lingkaran $L_1$. Namai masing-masing lintasan ruas garis ini kemudian tetapkan masing-masing perpotongan ruas garis itu terhadap lingkaran $L_1$ sebagai $E$ dan $F$.

Sekarang, berpusat di $E$, kita buat lingkaran berjar-jari $CB$ kemudian tetapkan perpotongannya terhadap $L_2$ sebagai (misalnya) $G$ dan $H$.

Sekali lagi, berpusat di $F$, kita buat lingkaran berjar-jari $CB$ kemudian tetapkan perpotongannya terhadap $L_2$ sebagai (misalnya) $K$ dan $L$.

Nah, sekarang sudah kita peroleh dua pasang titik singgung masing-masing $E$ dan $H$ dan $F$ dan $K$. Untuk sedikit memperpanjangkannya, buatlah koordinat sejauh (misalnya) $-1\,\textrm{cm}$ dari $E$ ke arah $H$ dan $-1\,\textrm{cm}$ dari $H$ ke arah $E$ tetapi dalam arah berlawanan. Hal itu kita tetapkan sebagai berikut. Kedua garis singgung itu kita buat sebagai berikut. Dengan cara serupa, demikian pula untuk garis singgung $\overleftrightarrow{FK}$.

Sebagai pelengkap, dapat kita tunjukkan noktah untuk tiap koordinat $O$, $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, $K$, dan $L$ secara sekaligus sebagai berikut.

Kemudian menempatkan nama untuk tiap koordinat tersebut sebagai berikut.

Akhirnya kita peroleh lukisannya sebagai berikut.



Penutup

Bila diinginkan hanya lingkaran $A$, lingkaran $B$, dan kedua garis singgung itu yang ditunjukkan, maka gantilah perintah \draw oleh \path untuk tiap lingkaran dan ruas garis yang ingin "disembunyikan". Kemudian hapus perintah untuk menggambar noktah koordinat dan hapus juga perintah \node untuk penamaan koordinat tersebut. Hasilnya tampak sebagai berikut.
Untuk gambar tersebut diperlukan imajinasi/penalaran terutama berkaitan dengan penetapan perpotongan (intersections) dari dua kurva dan penetapan koordinat yang diperlukan.
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2017

Sunday, April 2, 2017

Garis Singgung Persekutuan Luar dari Dua Lingkaran

Pengantar

Secara manual, melukis garis singgung persekutuan luar dari dua lingkaran dilakukan sebagai berikut.
  1. Buatlah lingkaran berpusat di $A$ dan berjari-jari $r_1$. Sebutlah $L_1$.
  2. Buatlah lingkaran berpusat di $B$ dan berjari-jari $r_2$. Sebutlah $L_2$.
  3. Tetapkan titik tengah (sebutlah $O$) dari $\overline{AB}$.
  4. Buatlah lingkaran berpusat di $O$ dan berjari-jari $OA$. Sebutlah $L$.
  5. Buatlah lingkaran berpusat di $A$ dan berjari-jari $r_3$. Sebutlah $L_3$.
  6. Tetapkan titik potong dari $L$ dan $L_3$, sebutlah $C$ dan $D$.
  7. Perpanjangkan $\overline{AC}$ sehingga memotong $L_1$ di (sebutlah) $E$.
  8. Perpanjangkan $\overline{AD}$ sehingga memotong $L_1$ di (sebutlah) $F$.
  9. Dari $B$ buatlah ruas garis sejajar $\overline{CE}$ sehingga memotong $L_2$ di (sebutlah) $G$.
  10. Dari $B$ buatlah ruas garis sejajar $\overline{DF}$ sehingga memotong $L_2$ di (sebutlah) $H$.
  11. $\overleftrightarrow{EG}$ dan $\overleftrightarrow{FH}$ masing-masing merupakan garis singgung persekutuan luar dari $L_1$ dan $L_2$.

Lukisan

Berdasarkan urutan langkah di atas, kita gambarkan garis singgung persekutuan luar dari dua lingkaran itu sebagai berikut. Dalam hal ini kembali kita gunakan paket TikZ.
Sebagai contoh, kita tetapkan lingkaran $L_1$ dengan pusat $A(0,0)$ dan jari-jari $2\,\textrm{cm}$. Untuk memenuhi jarak yang memadai, kita tempatkan lingkaran $L_2$ berpusat di $B(5.1,0)$ dan jari-jari $2\,\textrm{cm}$. Kemudian, sekaligus, kita tetapkan koordinat $O$ sebagai titik tengah dari $\overline{AB}$.

Sekarang kita buat tiga lingkaran masing-masing berpusat di $A$, $B$, dan $O$. Perhatikan pada lingkaran $O$. Jari-jarinya kita tetapkan sebagai $\overline{OA}$ dan panjang jari-jarinya sebagai $OA$. Pada tiap lingkaran kita namai lintasan (path)-nya untuk penggunaan perpotongan terhadapnya. Untuk hal ini kita perlukan dukungan dari kepustakaan TikZ intersections. Sedangkan pewarnaan didukung oleh paket xcolor dengan ketiga opsinya: dvipsnames, svgnames, x11names.

Berikutnya kita buat lingkaran keempat yang berpusat di $A$ dan berjari-jari (misalnya) $1\,\textrm{cm}$. Kemudian kita tetapkan perpotongannya terhadap lingkaran $O$ sebagai $C$ dan $D$.

Hubungkan dan perpanjangkan masing-masing $\overline{AC}$ dan $\overline{AD}$ sejarak (misalnya) $2.1\,\textrm{cm}$, agar memotong lingkaran $A$. Namai masing-masing lintasan ruas garis ini kemudian tetapkan masing-masing perpotongan ruas garis itu terhadap lingkaran $A$ sebagai $E$ dan $F$.

Sekarang, dari $B$, akan kita buat dua ruas garis yang masing-masing sejajar dengan $\overline{CE}$ dan $\overline{DF}$. Kita tetapkan panjangnya $1.1\,\textrm{cm}$ agar memotong lingkaran $B$. Untuk hal itu, lebih dulu kita tetapkan dua koordinat (misalnya) $P$ dan $Q$ sebagai berikut.

Hububungkan $\overline{BP}$ dan $\overline{BQ}$ dan tetapkan masing-masing perpotongannya terhadap lingkaran $B$ sebagai $G$ dan $H$.

Nah, sekarang sudah kita peroleh dua pasang titik singgung masing-masing $E$ dan $G$ dan $F$ dan $H$. Untuk sedikit memperpanjangkannya, buatlah koordinat sejauh (misalnya) $6\,\textrm{cm}$ dari $E$ ke arah $G$ dan $1\,\textrm{cm}$ dari $E$ ke arah $G$ tetapi dalam arah berlawanan. Hal itu kita tetapkan sebagai berikut. 

Dengan pemahaman dan cara yang sama, kita perpanjangkan ruas garis $\overline{FH}$ sebagai berikut.

Sebagai pelengkap, dapat kita tunjukkan noktah untuk tiap koordinat $O$, $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, dan $H$ secara sekaligus sebagai berikut.

Kemudian menempatkan nama untuk tiap koordinat tersebut sebagai berikut.

Akhirnya kita peroleh lukisannya sebagai berikut.



Penutup

Bila diinginkan hanya lingkaran $A$, lingkaran $B$, dan kedua garis singgung itu yang ditunjukkan, maka gantilah perintah \draw oleh \path untuk tiap lingkaran dan ruas garis yang ingin "disembunyikan". Kemudian hapus perintah untuk menggambar noktah koordinat dan hapus juga perintah \node untuk penamaan koordinat tersebut. Hasilnya tampak sebagai berikut.

Untuk gambar tersebut diperlukan imajinasi/penalaran terutama berkaitan dengan penetapan perpotongan (intersections) dari dua kurva dan penetapan koordinat yang diperlukan.
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2017

Monday, March 27, 2017

Bermain Sudut

Pengantar

Anda pernah menemukan gambar seperti itu, bukan?
Tentu, mudah ditebak, masalah yang bertalian dengan gambar tersebut adalah perhitungan besar sudut dan yang ditanyakan adalah nilai sudut $\beta=\measuredangle{HAG}$. Dengan menggunakan algoritme dalam perhitungan secara aljabar kita akan menemukan bahwa $\beta=10^\circ$. Lalu bagaimana kita dapat membuat gambar tersebut?
Tampak diketahui bahwa $\triangle{ABC}$$\triangle{BDC}$$\triangle{CDE}$$\triangle{DFE}$$\triangle{EFG}$, dan $\triangle{FHG}$ masing-masing berupa segitiga sama kaki dan tiap pasang kaki yang sama panjang itu berukuran sama pada semua segitiga tersebut meskipun secara "tipuan mata" (optical illusion) tampak "janggal" untuk dikatakan sama panjang.
Kembali saya gunakan paket TikZ untuk membuat gambar tersebut. Dengan dukungan dari kepustakaan decorations.markings dan pewarnaan oleh paket xcolor dalam opsi x11names, saya gunakan makro berikut ini untuk menandai tiap kaki segitiga yang sama panjang itu. 



Menggambar Kaki Sudut A

Menunjukkan besar sudut $\beta=10^\circ$ secara visual akan menampakkan bagian cakupan-dalam sudut (interior angle) yang terlalu sempit. Oleh karena itu diperlukan suatu trik, dengan mengatur skala yang memadai, agar gambarnya tampak baik. Dalam hal ini, pada opsi gambar TikZ, saya atur skala dan pertemuan antarruas garis sebagai berikut.

Kita mulai menetapkan titik sudut (vertex) $A$ pada titik asal. Kemudian dalam arah mendatar (pada sudut $0^\circ$) kita tetapkan koordinat (sebutlah) $P$ sejarak $15\,\textrm{cm}$ dari $A$, sebagai kaki pertama dari $\angle{A}$. Berikutnya, sebagai kaki kedua dari $\angle{A}$, pada sudut $10^\circ$ kita tetapkan koordinat (sebutlah) $Q$ juga sejarak $15\,\textrm{cm}$ dari $A$. 

Sesuai dengan gambar yang diberikan, kita langsung menamai koordinat $A$ tersebut.


Mengambar Barisan Segitiga Sama Kaki

Karena tiap segitiga itu sama kaki maka dapat kita tetapkan lintasan-lintasan (path-path) lingkaran pada titik-titik $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, dan $G$ dan menetapkan perpotongannya baik terhadap $\overline{AP}$ maupun terhadap $\overline{AQ}$. Dalam hal ini saya tetapkan panjang jari-jarinya $2,5\,\textrm{cm}$. Untuk menetapkan perpotongan dari dua kurva kita memerlukan dukungan dari kepustakaan intersections. Selain itu, agar lintasan dari lingkaran-lingkaran itu tidak menyita bidang halaman maka bidang gambar itu dapat kita batasi dengan menggunakan perintah clip dalam bentuk persegi panjang.

Kita sudah menetapkan koordinat untuk $B$, lintasan untuk $\overline{AP}$, lintasan untuk $\overline{AQ}$, dan lintasan untuk lingkaran berpusat di $B$ yang berjari-jari $2,5\,\textrm{cm}$. Karena lintasan lingkaran diawali pada sudut $0^\circ$ dan dalam arah putar berlawanan dengan arah putar jarum jam, maka lebih dulu lintasan lingkaran itu akan memotong $\overline{AQ}$ dan itulah yang kita perlukan, yaitu menetapkan titik $C$.

Sekarang kita berada di titik $C$. Akan dibuat lingkaran berpusat di $C$ dan berjari-jari $2,5\,\textrm{cm}$. Tentu (dengan pemahaman tadi), terhadap $\overline{AP}$, lintasan lingkaran itu akan lebih dulu memotongnya di $B$ baru kemudian pada suatu titik kedua (ini yang kita perlukan) yang akan kita namai sebagai $D$.

Perhatikan bahwa penetapan kedua titik potong itu berurutan, $T1$ sebagai titik potong pertama dan $D$ sebagai titik potong kedua. Sebenarnya sudah ada $B$ sebagai titik potong pertama itu, tetapi dalam penetapan perpotongan itu tetap harus kita cantumkan (oleh nama lain) keduanya.

Demikianlah dengan cara serupa kita tetapkan lintasan-lintasan lingkaran lainnya untuk titik-titik berikutnya beserta perpotongannya pada salah satu kaki $\angle A$ yang diperlukan.

Nah, dengan menggunakan tiga koordinat terkait untuk membentuk sudut, sekarang kita dapat menandai sudut senilai $\beta$ dan sudut senilai $70^\circ$ itu. Untuk hal ini kita memerlukan dukungan dari kepustakaan angles.

Berikutnya kita akan menandai ruas-ruas garis sebagai kaki-kaki segitiga yang sama panjang. Untuk hal ini kita menetapkannya pada lintasan-lintasan dari tiap ruas garis tersebut.

Akhirnya, sekarang dapat kita gambarkan semua ruas yang tampak pada gambar di atas. (Sebenarnya, untuk sementara, langkah ini dapat kita lakukan sebelum ini. Gambar dari tiap ruas garis dibuat belakangan agar tidak tertimpa oleh penandaan ruas-ruas garis yang sama panjang itu.) 



Penutup

Ketepatan dalam menetapkan titik potong yang diperlukan untuk gambar ini merupakan salah satu kunci dalam membuat gambar tersebut. Hal penting lainnya adalah penggunaan perintah clip untuk membatasi bidang gambar agar tidak meluas, juga imajinasi/penalaran untuk keperluan gambar tersebut.
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2017

Sunday, March 26, 2017

Persegi, Busur, dan Pengarsiran

Pengantar

Pada beberapa naskah soal sering kita temui butir soal yang berkaitan dengan gambar seperti tampak di samping ini. Terasa bahwa kecakapan yang harus dimiliki sehubungan dengan menggambar persegi, menggambar busur, dan mengarsir daerah seperti yang ditunjukkan itu.
Untuk gambar tersebut saya gunakan paket TikZ sedangkan pewarnaan dengan menggunakan paket xcolor disertai oleh ketiga opsinya.
\usepackage[x11names,dvipsnames,svgnames]{xcolor}
Selain itu saya juga gunakan warna bistre yang ditetapkan lebih dulu pada mukadimah.
\definecolor{bistre}{RGB}{61,43,31}
Gambar juga didukung oleh kepustakaan TikZ intersections, patterns, dan angles.



Koordinat-koordinat dan Persegi

Koordinat $A$, $B$, $C$, dan $D$ saya tetapkan beserta penamaannya. Mula-mula saya tempatkan koordinat $A$ pada titik asal kemudian diikuti oleh tiga koordinat lainnya demikian sehingga membentuk suatu persegi dengan panjang sisi (saya tetapkan) $7\,\textrm{cm}$.

Hasilnya terlihat pada Gambar 1.


Menggambar Busur

Busur pertama kita buat dengan mengacu pada koordinat $A$ sebagai pusat, kemudian busur dibuat dari sudut awal $0^\circ$ dan berakhir pada sudut $90^\circ$ dengan jari-jari $7\,\textrm{cm}$. Busur kedua kita buat dengan mengacu pada koordinat $B$ sebagai pusat, kemudian busur dibuat dari sudut awal $180^\circ$ dan berakhir pada sudut $90^\circ$ dengan jari-jari $7\,\textrm{cm}$. Perhatikan kode pada baris 9 dan 10 berikut ini.

Hasilnya terlihat pada Gambar 2.


Mengarsir Daerah Busur

Pada kenyataannya kedua busur itu berpotongan pada sudut $60^\circ$ dari pusat $A$. Untuk itu pengarsiran dapat diawali pada lintasan (tanpa menggambarkan garisnya) dari koordinat $B$ dengan sudut awal $0^\circ$ dan berakhir pada sudut $60^\circ$ kemudian, dengan mengacu pada pusat $B$, dilanjutkan oleh sudut awal $120^\circ$ dan berakhir pada sudut $180^\circ$. Tentu saja, jari-jarinya $7\,\textrm{cm}$. (Pengarsiran memerlukan dukungan dari kepustakaan patterns dalam paket Tikz.)
Agar pengarsiran itu tidak menutupi/menindas/menimpa gambar ruas garis yang telah dilukis sebelumnya maka opsi pengarsiran (dalam perintah path) diletakkan sebelum perintah menggambar (draw) ruas garis untuk persegi dan busur. Perhatikan kode pada baris 7 berikut ini.

Hasilnya terlihat pada Gambar 3.

Melengkapi Gambar

Sekarang kita akan menetapkan titik potong dari kedua busur. Karena itulah pada saat memberikan perintah untuk menggambar busur kita namai tiap busur itu oleh opsi name path=.... Perhatikan baris 12 dan 13. (Penetapan perpotongan dari dua garis memerlukan dukungan dari kepustakaan intersections dalam paket Tikz.) Penetapan opsi pada baris 12 dan 13 itu terkait dengan penetapan perpotongan dari lintasan (path) kedua busur seperti ditunjukkan oleh kode pada baris 15.

Perhatikan baris 16. Perintah utamanya sebenarnya adalah menggambar ruas garis terputus-putus dari $B$ ke $E$ kemudian ke $A$ oleh
\draw[bistre,densely dashed] (B)--(E)--(A) ;
tetapi, setelah koordinat $E$, sekalian saja disisipkan peletakkan nama untuk $E$ oleh
node[above,black]{$E$}
dan peletakkan nama untuk panjang ruas garis $\overline{BE}$ oleh
node[above,midway,sloped,black] {$7$\,cm}
juga, setelah koordinat $A$, disisipkan peletakkan nama untuk panjang ruas garis $\overline{EA}$ oleh
node[above,midway,sloped,black] {$7$\,cm}
Baris 17 menyatakan penandaan dan peletakkan nama ukuran sudut sebagai
\pic[draw=..., angle eccentricity=..., angle radius=...,pic text=...]{angle=...};
Untuk penandaan dan peletakkan nama ukuran sudut kita memerlukan dukungan dari kepustakaan angles dalam paket Tikz.
Nah, hasil akhirnya terlihat pada Gambar 4.


Penutup

Dalam hal ini, barangkali, ukuran tingkat kerumitannya terletak pada saat kita akan menggambar busur dan ketika kita akan menetapkan daerah pengarsiran yang diapit oleh kedua busur itu. Untuk hal itu kita perlu berimajinasi.
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2017