Dua Lingkaran Menciumi Segitiga

Mukadimah

Perhatikan gambar di samping ini. Kali ini Anda akan menggambar lingkaran dalam (incircle) dan ``lingkaran singgung luar'' (excircle) segitiga. Anda tahu, kedua pusat lingkaran itu masing-masing ditentukan oleh perpotongan garis-garis bagi sudut. Oleh karena itu Anda akan menggunakan makro untuk garis bagi sudut yang telah juga dibahas di sana. Gambar Anda didukung oleh paket tikz dan dua kepustakaannya berikut ini.

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,intersections}

Anda juga memerlukan beberapa titik bantu, semuanya dinamai sebagai $T$ dengan menomorinya sebagai indeks. 

Gambar Anda

Anda mulai dengan menyiapkan koordinat untuk $\triangle ABC$ sama kaki. Sebagai contoh, Anda letakkan titik $E$ pada pusat koordinat. Kemudian dari $E$, bergeser ke kiri $1.5$ satuan untuk tutuk titik $A$ dan ke kanan $1.5$ satuan untuk titik $C$. Untuk garis tinggi, Anda letakkan titik $B$ dengan bergeser $4$ satuan ke atas.

\coordinate[label=below:$E$] (E) at (0,0);
\coordinate[label=below:$A$] (A) at (-1.5,0);
\coordinate[label=above:$B$] (B) at (0,4);
\coordinate[label=below:$C$] (C) at (1.5,0);

Anda dapat melihat gambar $\triangle ABC$ itu (tanpa sisi alas) oleh 

\draw (A)--(B)--(C);

Tetapi untuk perintah-perintah berikutnya Anda tekan tombol Enter agar perintah draw untuk gambar utama terletak pada bagian akhir.

Sekarang Anda bersiap untuk menetapkan titip pusat lingkaran besar. Tentu, Anda akan menarik dua garis bagi sudut, dari titik $B$ dan $C$. Mudah untuk menetapkan koordinat untuk kaki lainnya untuk sudut $C$, tetapi bagaimana untuk kaki sudut $B$? Satu hal yang ``menguntungkan'' adalah penyelidikan di dalam GeoGebra menunjukkan bahwa garis bagi sudut $B$ itu tegak lurus pada sisi $\overline{BA}$. Oleh karena itu, dari $B$, Anda akan mendirikan garis $\overline{BT_1}\perp\overline{BA}$ dengan menetapkan koordinat $T_1$, misalnya, sejarak $4\,\textrm{cm}$ dari $B$ (perhatikan perintahnya). Sedangkan untuk membentuk kaki sudut $C$, Anda tetapkan koordinat $T_2$ sejarak (misalnya) $5\,\textrm{cm}$ ke kanan dari $C$ (perhatikan perintahnya). 

\coordinate (T1) at ($(B)!4cm!90:(A)$);
\coordinate (T2) at ($(C)!-5cm!(A)$);

$\overline{BT_1}$ sebenarnya merupakan garis bagi sudut $\angle T_3BT_5$. Anda tetapkan ruas garis $\overline{BT_1}$ dan namai path ini. Kemudian Anda bentuk garis bagi sudut $\angle T_2CB$ dan namai juga path-nya. Lalu Anda tetapkan perpotongan dari kedua garis bagi sudut ini dan namai titik potongnya itu sebagai $O_2$.

\draw[thin,red!50,name path=g1] (B)--(T1);
\bagisudut[draw,thin,red!50,name path=g2]{T2}{C}{B}{1.5}{3.3}
\path[name intersections={of = g2 and g1, by={O2}}];

Anda memerlukan $T_5$. Nah, bagaimana cara menetapkan koordinatnya? (Perhatikan perintah-perintahnya.)

Lebih dulu Anda tetapkan titik singgung lingkaran $O_2$ pada sisi $\overline{BC}$ sebagai $T_3$. Lalu proyeksikan $T_3$ pada $\overline{BT_1}$. Sebutlah proyeksinya itu sebagai $T_4$. Nah, dari $T_4$ ini Anda mengambil arah negatif terhadap $T_4T_3$ untuk memperoleh $T_5$.

\coordinate[label=right:$T_3$] (T3) at ($(C)!(O2)!(B)$);
\coordinate (T4) at ($(B)!(T3)!(O2)$);
\coordinate (T5) at ($(T4)!-1!(T3)$);

Dengan ditemukannya $T_5$, sekarang menjadi mudah untuk Anda menetapkan titik $D$. Perpanjangkan $\overline{CA}$ dengan mengambil arah negatif terhadap $AC$, misalnya sejarak $6.5\,\textrm{cm}$, lalu hubungkan ke $T_2$ dan namai path ruas garis ini. Berikutnya mundur sedikit ke belakang dari $T_5$, misalnya sejarak $1\,\textrm{cm}$, dengan mengambil arah negatif terhadap $T_5B$ dan ambil arah negatif terhadap $BT_5$ sejarak (misalnya) $9\,\textrm{cm}$, lalu hubungkan kedua koordinat ini dan namai juga path untuk ruas garis ini. Sekarang Anda menemukan koordinat titik $D$ sebagai perpotongan dari kedua ruas garis tersebut.

\path[name path=g1] ($(A)!-6.5cm!(C)$)--(T2);
\path[name path=g2] ($(T5)!-1cm!(B)$)--($(B)!-9cm!(T5)$);
\path[name intersections={of = g2 and g1, by={D}}];

Sudah jelas, Anda akan mencari pusat lingkaran $O_1$ yang merupakan lingkaran dalam $\triangle ABD$. Anda dapat memotongkan garis bagi sudut dari $A$ dan $D$.

\bagisudut[draw,thin,red!50,name path=g3]{B}{A}{D}{1.5}{1.75}
\bagisudut[draw,thin,red!50,name path=g4]{A}{D}{B}{1.5}{2.9}
\path[name intersections={of = g3 and g4, by={O1}}];

Sekarang Anda memerlukan titik bantu $T_6$ dan $T_7$ yang masing-masing merupakan proyeksi dari kedua pusat lingkaran terhadap garis yang melalui sisi alas segitiga. 

\coordinate (T6) at ($(A)!(O1)!(D)$);
\coordinate (T7) at ($(A)!(O2)!(T2)$);

Akhirnya Anda menghadapi sentuhan akhir. Anda tampakkan ruas-ruas garis yang menghubungan titik singgung $T_7$, $D$, dan titik singgung $T_5$ dan sekaligus menamai titiknya. 

\draw (T7)--(D) node[above]{$D$}--(T5) node[above] {$T_5$};

Kemudian Anda gambar kedua lingkaran itu (perhatikan perintahnya, ingat, Anda tidak tahu secara persis ukuran dari tiap jari-jarinya).

\draw let \p1=($(O2)-(T3)$),\n1={veclen(\x1,\y1)}
  in (O2) circle (\n1);
\draw let \p1=($(O1)-(T6)$),\n1={veclen(\x1,\y1)}
  in (O1) circle (\n1);

Selanjutnya Anda tampakkan jari-jari dari kedua lingkaran dan garis tinggi $\triangle ABC$ (gambar segitiganya tadi sudah ditunjukkan di atas), sekaligus menamainya. 

\draw[thin] (O1)--(T6) node[right,midway] {$r_1$} 
(B)--(E) node[right,midway] {$h$} 
(O2)--(T7) node[right,midway] {$r_2$} node[below] {$T_7$};

Gambar Anda dipungkas dengan menampakkan noktah-noktah titik tertentu yang perlu ditampilkan.

\foreach \t in {A,B,C,D,E,T3,T5,T6,T7,O1,O2}
\fill (\t) circle (2pt);

Penutup

Sering kali GeoGebra sangat membantu dalam ketepatan menggambar. Oleh karena itu sebaiknya Anda memasangnya dan memahami cara penggunaannya. O ya, bila garis-garis bagi sudut itu tidak ingin Anda tampilkan, ubah saja perintahnya, dari draw menjadi path.

Demikian semoga bermanfaat. Bila Anda berminat untuk mempelajari $\LaTeX$ secara khusyuk, silakan bergabung ke Indonesia Digital Teacher atau hubungi @Kalakay via Telegram. 

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2020

Melukis dengan TikZ

Perhatikan gambar di samping ini. Ulasan kita kali ini tentang lukisan (konstruksi) segitiga siku-siku, beserta unsur-unsur yang berkaitan dengannya, dengan menggunakan paket tikz. Dalam tulisan ini kita akan

• menetapkan koordinat titik, menamai, dan menempatkannya,
• menggambar kurva tertutup (poligon), dalam hal ini berupa segitiga siku-siku,
• menggambar ruas garis dan menandai ukurannya,
• menetapkan koordinat titik tengah (midpoint) di antara dua koordinat,
• menetapkan garis tinggi segitiga,
• menetapkan titik potong dari dua ruas garis,
• mengarsir daerah kurva tertutup (poligon),
• menandai sudut siku-siku, dan 
• menggambar ruas garis putus-putus.

Koordinat Titik

Salah satu cara untuk menetapkan koordinat adalah dengan perintah

\coordinate[opsi](nama_titik) at (koordinat);

Untuk gambar di atas saya tetapkan

\coordinate[label=below left:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=right:$B$] (B) at (5,0);
\coordinate[label=above:$C$] (C) at (0,5);

Perintah beserta opsinya tersebut digunakan bila kita ingin menetapkan suatu koordinat sekaligus dengan meletakkan penamaannya.

Poligon

Untuk menggambar kurva tertutup berupa poligon (segi-n) kita berikan perintah

\draw (koordinat)--(koordinat)--(koordinat)--cycle;

Koordinat yang kita cantumkan bergantung pada segi-n yang kita gambar. Untuk contoh di atas saya buat

\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;

Hingga di sini kita sudah menggambar segitiga $\small{ABC}$ seperti tampak pada gambar 1 dalam dokumen terlampir di bawah ini.

Titik Tengah dan Garis Berat

Perhatikan kembali gambar di atas. $\small{D}$ adalah titik tengah dari sisi $\small{AB}$, sehingga $\small\overline{CD}$ adalah garis berat dari $\small\triangle{ABC}$. 

Untuk menetapkan titik tengah di antara dua koordinat, kita nyatakan

($(koordinat)!.5!(koordinat)$)

Oleh karena itu untuk titik $\small{D}$ dan $\small{E}$ saya tetapkan sebagai

\coordinate[label=below:$D$] (D) at ($(A)!.5!(B)$);
\coordinate[label=left:$E$] (E) at ($(A)!.5!(C)$);

Kemudian saya gambar kedua garis berat $\small\overline{CD}$ dan $\small\overline{BE}$ dengan

\draw[name path=a] (C)--(D);
\draw[name path=b] (B)--(E);

Hingga di sini hasilnya tampak pada gambar 2 dalam dokumen terlampir di bawah ini.

Titik Potong dari Dua Ruas Garis

Dalam dua perintah terakhir, Anda lihat, saya mencantumkan opsi name path. Opsi itu dicantumkan karena akan ditetapkan titik potong antara $\small\overline{CD}$ dan $\small\overline{BE}$. Sebelum opsi tersebut dicantumkan, pada preamble kita muat

\usetikzlibrary{intersections}

Titik potong dari $\small\overline{CD}$ dan $\small\overline{BE}$ kita tetapkan dengan perintah

\path [name intersections={of = a and b, by=M}];

Saya sebut titik ini sebagai $\small{M}$, kemudian menamai dan meletakkannya dengan

\node[below left] at (M) {$M$};

Perintah node digunakan untuk meletakkan suatu objek, dalam hal ini nama titik. Perintah path digunakan untuk menetapkan suatu objek tanpa menggambarnya.

Mengarsir Daerah Poligon

Sekarang kita dapat mengarsir daerah segitiga seperti tampak pada gambar di atas. Dengan perintah path, kita sebut nama ketiga titik sudutnya sebagai kurva tertutup, kemudian cantumkan perintah pattern sebagai opsinya.

\path[pattern=north east lines,pattern color=blau!50] (B)--(C)--(M)--cycle;

Arsiran (pattern) tersebut berupa garis yang (kita pilih) mengarah ke Timur Laut (pilihan lainnya adalah north west lines). Kemudian arsiran itu saya warnai dengan warna blau senilai 50%. Warna blau saya tetapkan dengan paket xcolor di dalam preamble.

\definecolor{blau}{RGB}{17,94,140}

Hingga di sini hasilnya tampak pada gambar 3 dalam dokumen terlampir di bawah ini.

Menandai Ukuran Ruas Garis

Seperti terlihat pada gambar di atas, ukuran panjang dari ruas ditandai dalam gambar ruas garis yang diapit oleh penggal garis "tegak" pada kedua ujungnya. Ukuran ini diletakkan tepat di tengah ruas garis tersebut.

Mari kita lihat ukuran pada bagian alas $\small\triangle{ABC}$. Untuk menandai ukuran $\small\overline{AD}$ dan $\small\overline{AB}$, kita memanfaatkan koordinat-koordinat $\small{A}$, $\small{B}$, dan $\small{C}$ dengan menggesernya pada jarak tertentu ke arah bawah. Hal ini dilakukan oleh perintah draw.

\draw[|-|] ([yshift=-.55cm]A)--([yshift=-.55cm]D) node[midway,fill=White] {$a$};

Kita membuat ruas garis $\small\overline{AD}$ dengan "menggeser" masing-masing koordinat $\small{A}$ dan $\small{D}$ ke arah bawah sejarak $\small0,55$cm. Bentuk ruas garis ini ditetapkan dalam opsi, yaitu |-|. Kemudian perintah node disertakan untuk menunjukkan ukuran dari ruas garis ini. Agar ukuran ini terletak di tengah-tengah ruas garis, maka dicantumkan opsi midway; dan agar ukuran ini menutupi bagian ruas garisnya, maka bagian latarnya diisi oleh warna putih.

Dengan demikian untuk menunjukkan panjang ruas garis $\small\overline{AB}$ kita buat ruas garis agak ke bawah lagi dengan perintah

\draw[|-|] ([yshift=-.9cm]A)--([yshift=-.9cm]B) node[midway,fill=White] {$b$};

Cara yang sama juga dilakukan dalam menandai ukuran pada sisi $\small\overline{AC}$, hanya saja penggeserannya ke arah kiri.

\draw[|-|] ([xshift=-.55cm]A)--([xshift=-.55cm]E) node[midway,fill=White] {$a$};

\draw[|-|] ([xshift=-.9cm]A)--([xshift=-.9cm]C) node[midway,fill=White] {$b$};

Hingga di sini hasilnya tampak pada gambar 4 dalam dokumen terlampir di bawah ini.

Ruas Garis Putus-putus

$\small\overline{BC}$ merupakan diagonal persegi dan $\small\overline{AN}$ merupakan setengah dari diagonal persegi. Keduanya berpotongan tepat di tengah. Jadi $\small{D}$ adalah titik tengah $\small\overline{BC}$. Dengan demikian, seperti sudah diulas di atas, dapat kita tetapkan

\coordinate[label=above right:$N$] (N) at ($(B)!.5!(C)$);

dan kita gambar ruas garis

\draw (M)--(N);

Bila kita ingin ruas garis berupa garis terputus-putus, maka kita cantumkan opsi dashed atau densely dashed (untuk garis terputus-putus yang agak rapat). Dengan demikian kita buat

\draw[densely dashed,rusia!50] (M)--(A);

Warna rusia saya tetapkan dengan paket xcolor di dalam preamble.

\definecolor{rusia}{RGB}{85 85 57}

Hingga di sini hasilnya tampak pada gambar 5 dalam dokumen terlampir di bawah ini.

Garis Tinggi

Pada gambar di atas, perhatikan $\small\triangle{ADM}$ dan $\small\triangle{AME}$. $\small\overline{ML}$ dan $\small\overline{MK}$ masing-masing merupakan garis tinggi. Untuk menetapkan koordinat dari proyeksi titik $\small{M}$ pada sisi $\small\overline{AD}$, kita letakkan koordinat $\small{M}$ di antara kordinat $\small{A}$ dan $\small{D}$ sebagai berikut.

($(A)!(M)!(D)$)

Bila koordinat ini kita tetapkan sebagai $\small{L}$, maka kita nyatakan 

\coordinate[label=below:$L$] (L) at ($(A)!(M)!(D)$);

Hal yang sama kita lakukan untuk proyeksi titik $\small{M}$ pada sisi $\small\overline{AE}$.

\coordinate[label=left:$K$] (K) at ($(E)!(M)!(A)$);

Sekarang kita buat kedua garis tinggi itu dengan menghubungkan ketiga koordinat $\small{L}$, $\small{M}$, dan $\small{K}$. 

\draw (L)--(M)--(K);

Hingga di sini hasilnya tampak pada gambar 6 dalam dokumen terlampir di bawah ini.

Menandai Sudut Siku-siku

Ini adalah hal terakhir untuk menyelesaikan gambar seperti tampak di atas. Untuk menandai sudut siku-siku dengan menggunakan paket tikz, saya gunakan makro (berupa perintah baru) dari salah seorang anggota forum. Dalam preamble kita muat

\newcommand{\MarkRightAngle}[4][.3cm]% #1=size (optional), #2-#4 three points: \angle #2#3#4
{\coordinate (tempa) at ($(#3)!#1!(#2)$);
 \coordinate (tempb) at ($(#3)!#1!(#4)$);
 \coordinate (tempc) at ($(tempa)!0.5!(tempb)$);%midpoint
 \draw[rusia!80] (tempa) -- ($(#3)!2!(tempc)$) -- (tempb);
}

Dalam penggunaannya kita nyatakan koordinat-koordinat pembentuk sudut dalam arah berlawanan dengan arah putar jarum jam dan koordinat titik sudut diletakkan di tengahnya.

\MarkRightAngle{koordinat}{koordinat}{koordinat}

Untuk gambar di atas kita buat 4 buah tanda sudut siku-siku sebagai berikut.

\MarkRightAngle{M}{N}{B}
\MarkRightAngle{B}{A}{C}
\MarkRightAngle{D}{L}{M}
\MarkRightAngle{M}{K}{E}

Penutup

Demikianlah, untuk penampilan terbaik, silakan buka dokumen PDF di bawah ini dengan menggunakan Adobe Reader atau Adobe Acrobat Reader DC. Contoh dokumen tersebut saya susun dalam jaringan melalui Online LaTeX Editor ShareLaTeX. 

Semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2015