Dua Lingkaran Menciumi Segitiga

Mukadimah

Perhatikan gambar di samping ini. Kali ini Anda akan menggambar lingkaran dalam (incircle) dan ``lingkaran singgung luar'' (excircle) segitiga. Anda tahu, kedua pusat lingkaran itu masing-masing ditentukan oleh perpotongan garis-garis bagi sudut. Oleh karena itu Anda akan menggunakan makro untuk garis bagi sudut yang telah juga dibahas di sana. Gambar Anda didukung oleh paket tikz dan dua kepustakaannya berikut ini.

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,intersections}

Anda juga memerlukan beberapa titik bantu, semuanya dinamai sebagai $T$ dengan menomorinya sebagai indeks. 

Gambar Anda

Anda mulai dengan menyiapkan koordinat untuk $\triangle ABC$ sama kaki. Sebagai contoh, Anda letakkan titik $E$ pada pusat koordinat. Kemudian dari $E$, bergeser ke kiri $1.5$ satuan untuk tutuk titik $A$ dan ke kanan $1.5$ satuan untuk titik $C$. Untuk garis tinggi, Anda letakkan titik $B$ dengan bergeser $4$ satuan ke atas.

\coordinate[label=below:$E$] (E) at (0,0);
\coordinate[label=below:$A$] (A) at (-1.5,0);
\coordinate[label=above:$B$] (B) at (0,4);
\coordinate[label=below:$C$] (C) at (1.5,0);

Anda dapat melihat gambar $\triangle ABC$ itu (tanpa sisi alas) oleh 

\draw (A)--(B)--(C);

Tetapi untuk perintah-perintah berikutnya Anda tekan tombol Enter agar perintah draw untuk gambar utama terletak pada bagian akhir.

Sekarang Anda bersiap untuk menetapkan titip pusat lingkaran besar. Tentu, Anda akan menarik dua garis bagi sudut, dari titik $B$ dan $C$. Mudah untuk menetapkan koordinat untuk kaki lainnya untuk sudut $C$, tetapi bagaimana untuk kaki sudut $B$? Satu hal yang ``menguntungkan'' adalah penyelidikan di dalam GeoGebra menunjukkan bahwa garis bagi sudut $B$ itu tegak lurus pada sisi $\overline{BA}$. Oleh karena itu, dari $B$, Anda akan mendirikan garis $\overline{BT_1}\perp\overline{BA}$ dengan menetapkan koordinat $T_1$, misalnya, sejarak $4\,\textrm{cm}$ dari $B$ (perhatikan perintahnya). Sedangkan untuk membentuk kaki sudut $C$, Anda tetapkan koordinat $T_2$ sejarak (misalnya) $5\,\textrm{cm}$ ke kanan dari $C$ (perhatikan perintahnya). 

\coordinate (T1) at ($(B)!4cm!90:(A)$);
\coordinate (T2) at ($(C)!-5cm!(A)$);

$\overline{BT_1}$ sebenarnya merupakan garis bagi sudut $\angle T_3BT_5$. Anda tetapkan ruas garis $\overline{BT_1}$ dan namai path ini. Kemudian Anda bentuk garis bagi sudut $\angle T_2CB$ dan namai juga path-nya. Lalu Anda tetapkan perpotongan dari kedua garis bagi sudut ini dan namai titik potongnya itu sebagai $O_2$.

\draw[thin,red!50,name path=g1] (B)--(T1);
\bagisudut[draw,thin,red!50,name path=g2]{T2}{C}{B}{1.5}{3.3}
\path[name intersections={of = g2 and g1, by={O2}}];

Anda memerlukan $T_5$. Nah, bagaimana cara menetapkan koordinatnya? (Perhatikan perintah-perintahnya.)

Lebih dulu Anda tetapkan titik singgung lingkaran $O_2$ pada sisi $\overline{BC}$ sebagai $T_3$. Lalu proyeksikan $T_3$ pada $\overline{BT_1}$. Sebutlah proyeksinya itu sebagai $T_4$. Nah, dari $T_4$ ini Anda mengambil arah negatif terhadap $T_4T_3$ untuk memperoleh $T_5$.

\coordinate[label=right:$T_3$] (T3) at ($(C)!(O2)!(B)$);
\coordinate (T4) at ($(B)!(T3)!(O2)$);
\coordinate (T5) at ($(T4)!-1!(T3)$);

Dengan ditemukannya $T_5$, sekarang menjadi mudah untuk Anda menetapkan titik $D$. Perpanjangkan $\overline{CA}$ dengan mengambil arah negatif terhadap $AC$, misalnya sejarak $6.5\,\textrm{cm}$, lalu hubungkan ke $T_2$ dan namai path ruas garis ini. Berikutnya mundur sedikit ke belakang dari $T_5$, misalnya sejarak $1\,\textrm{cm}$, dengan mengambil arah negatif terhadap $T_5B$ dan ambil arah negatif terhadap $BT_5$ sejarak (misalnya) $9\,\textrm{cm}$, lalu hubungkan kedua koordinat ini dan namai juga path untuk ruas garis ini. Sekarang Anda menemukan koordinat titik $D$ sebagai perpotongan dari kedua ruas garis tersebut.

\path[name path=g1] ($(A)!-6.5cm!(C)$)--(T2);
\path[name path=g2] ($(T5)!-1cm!(B)$)--($(B)!-9cm!(T5)$);
\path[name intersections={of = g2 and g1, by={D}}];

Sudah jelas, Anda akan mencari pusat lingkaran $O_1$ yang merupakan lingkaran dalam $\triangle ABD$. Anda dapat memotongkan garis bagi sudut dari $A$ dan $D$.

\bagisudut[draw,thin,red!50,name path=g3]{B}{A}{D}{1.5}{1.75}
\bagisudut[draw,thin,red!50,name path=g4]{A}{D}{B}{1.5}{2.9}
\path[name intersections={of = g3 and g4, by={O1}}];

Sekarang Anda memerlukan titik bantu $T_6$ dan $T_7$ yang masing-masing merupakan proyeksi dari kedua pusat lingkaran terhadap garis yang melalui sisi alas segitiga. 

\coordinate (T6) at ($(A)!(O1)!(D)$);
\coordinate (T7) at ($(A)!(O2)!(T2)$);

Akhirnya Anda menghadapi sentuhan akhir. Anda tampakkan ruas-ruas garis yang menghubungan titik singgung $T_7$, $D$, dan titik singgung $T_5$ dan sekaligus menamai titiknya. 

\draw (T7)--(D) node[above]{$D$}--(T5) node[above] {$T_5$};

Kemudian Anda gambar kedua lingkaran itu (perhatikan perintahnya, ingat, Anda tidak tahu secara persis ukuran dari tiap jari-jarinya).

\draw let \p1=($(O2)-(T3)$),\n1={veclen(\x1,\y1)}
  in (O2) circle (\n1);
\draw let \p1=($(O1)-(T6)$),\n1={veclen(\x1,\y1)}
  in (O1) circle (\n1);

Selanjutnya Anda tampakkan jari-jari dari kedua lingkaran dan garis tinggi $\triangle ABC$ (gambar segitiganya tadi sudah ditunjukkan di atas), sekaligus menamainya. 

\draw[thin] (O1)--(T6) node[right,midway] {$r_1$} 
(B)--(E) node[right,midway] {$h$} 
(O2)--(T7) node[right,midway] {$r_2$} node[below] {$T_7$};

Gambar Anda dipungkas dengan menampakkan noktah-noktah titik tertentu yang perlu ditampilkan.

\foreach \t in {A,B,C,D,E,T3,T5,T6,T7,O1,O2}
\fill (\t) circle (2pt);

Penutup

Sering kali GeoGebra sangat membantu dalam ketepatan menggambar. Oleh karena itu sebaiknya Anda memasangnya dan memahami cara penggunaannya. O ya, bila garis-garis bagi sudut itu tidak ingin Anda tampilkan, ubah saja perintahnya, dari draw menjadi path.

Demikian semoga bermanfaat. Bila Anda berminat untuk mempelajari $\LaTeX$ secara khusyuk, silakan bergabung ke Indonesia Digital Teacher atau hubungi @Kalakay via Telegram. 

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2020