Busur dan Lingkaran dalam Segienam

Kali ini Anda melihat suatu segienam beraturan $ABCDEF$. Berpusat di titik $A$, titik $B$ dan $F$ dihubungkan oleh suatu busur. Kemudian ada suatu lingkaran yang menyinggung busur itu dan menyinggung pula pada kedua diagonal $\overline{BD}$ dan $\overline{FD}$. Misalkan luas daerah juring $ABF$ adalah $a$ dan luas daerah lingkaran itu adalah $B$, tentukan nilai perbandingan $a:b$.

Perlihatkan diagonal-diagonal $\overline{AD}$, $\overline{BE}$, $\overline{CF}$, $\overline{BF}$, dan $\overline{CE}$. Dengan mengingat keistimewaan bangun segienam beraturan dengan bagian-bagiannya yang berbentuk segitiga sama sisi, mudah untuk mengetahui bahwa $\measuredangle DBA=90^\circ$, bukan? Kemudian misalkan pusat dari lingkaran itu adalah titik $O$ dan pusat dari segienam itu adalah titik $P$. Jelas bahwa diagonal $\overline{AD}$ melalui $O$ dan $P$ dan $\overline{AD}\cap\overparen{BF}\equiv P$. Misalkan titik singgung lingkaran $O$ pada $\overline{BD}$ adalah $G$ maka $\overline{OG}\perp\overline{BD}$. Dengan demikian Anda menemukan dua segitiga yang sebangun, yaitu $\triangle ABD$ dan $\triangle OGD$. 
Sekarang misalkan panjang jari-jari juring itu adalah $R$ dan panjang jari-jari lingkaran itu adalah $r$. 

Anda tahu bahwa
$$\begin{align*} AB &= R = AP = DP\\ AD &= 2R\\ OG &= r\\ OD &= R-r \end{align*}$$

sehingga (karena $\triangle ABD\sim\triangle OGD$)

$$\begin{align*} \frac{OD}{AD} &= \frac{OG}{AB}\\ \frac{R-r}{2R} &= \frac{r}{R}\\ R-r &= 2r\\ R &= 3r \end{align*}$$

Mengingat $\measuredangle BAF=120^\circ$ maka perbandingan luas daerah juring $ABF$ dan luas daerah lingkaran $O$ adalah

$$\begin{align*} a:b &= \tfrac{1}{3}\pi R^2:\pi r^2\\ &= \tfrac{1}{3}\pi(3r)^2:\pi r^2\\ &= 3\pi r^2:\pi r^2\\ &= 3:1 \end{align*}$$

Lukisan

Akan lebih mudah untuk Anda jika Anda menetapkan koordinat-koordinat untuk gambar Anda dalam bentuk koordinat kutub. Letakkan saja pusat segienam itu, yaitu titik $P$, pada koordinat $(0,0)$. Kemudian, misalnya, Anda ambil panjang sisi segienam itu $4\,\rm{cm}$. Sekarang dapat Anda siapkan lingkup perintah gambar tikz-nya. Mula-mula tetapkan ukuran kedua jari-jarinya,

\def\R{4} % nilainya tanpa memuat operasi aljabar
\pgfmathsetmacro{\r}{\R/3} % nilainya memuat operasi aljabar

Kemudian Anda tetapkan koordinat-koordinat untuk pusat lingkaran, pusat segienam, dan titik-titik sudut pada segienam itu, (perhatikan cara menetapkannya dalam koordinat kutub)

\coordinate (O) at (180:\r);
\coordinate (P) at (0:0);
\coordinate[label=right:$A$] (A) at (0:\R);
\coordinate[label=above:$B$] (B) at (60:\R);
\coordinate[label=above:$C$] (C) at (120:\R);
\coordinate[label=left:$D$] (D) at (180:\R);
\coordinate[label=below:$E$] (E) at (240:\R);
\coordinate[label=below:$F$] (F) at (300:\R);

Nah, sekarang perhatikan hal penting berkenaan dengan koordinat titik singgung antardua kurva. Anda dapat saja menetapkan koordinat $G$ sebagai proyeksi $O$ pada $\overline{BD}$ oleh

\coordinate (G) at ($(B)!(O)!(D)$);

tetapi ketika Anda gambar ruas garis $\overline{CE}$ maka ruas garis itu tidak tepat melalui titik $G$. Oleh karena itu, dalam hal titik singgung, gambar Anda akan tepat bila Anda menetapkannya oleh perintah \node. Ingat bahwa ketika Anda membuat garis singgung terhadap suatu lingkaran dari suatu titik di luar lingkaran itu maka Anda selalu dapat membuat dua garis singgung (yang berarti bahwa Anda memperoleh dua titik singgung). Dalam lukisan ini Anda hanya (yang diperlukan) menetapkan satu koordinat titik singgung saja. 
Tetapkan lingkaran itu, sebutlah $L$, selebar $2r$ pada node di $O$.

\node[circle,minimum width=2cm*\r] (L) at (O) {};

Tetapkan koordinat titik singgungnya, sebutlah $G$, pada lingkaran $L$ oleh suatu garis singgung yang ditarik dari titik $B$ (dalam hal ini sebagai titik singgung 1), 

\coordinate (G) at (tangent cs:node=L,point={(B)},solution=1);

Selanjutnya Anda akan memulai untuk menampilkan bagian-bagian dari gambar. Lebih dulu isikan warna pada daerah juring dan lingkaran itu,

\fill[purple!50!green,opacity=.4] (B) arc(120:240:\R)--(A) --cycle (O) circle (\r);

lalu gambar juring dan lingkaran itu,

\draw[semithick] (B) arc(120:240:\R) (O) circle (\r);

dan, terakhir, Anda gambar sisi-sisi segienam itu beserta kedua diagonalnya itu,

\draw[semithick] (A)--(B) edge(D) --(C)--(D) edge(F) --(E)--(F)--cycle;

Edge itu semacam percabangan ruas garis dari suatu koordinat (ke koordinat lainnya) pada rangkaian utama koordinat-koordinat pembentuk suatu path. 
Akhirnya Anda peroleh gambar seperti tampak pada gambar (pertama) di atas. Nah, silakan dinikmati dan semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019

Melipat Persegi Panjang

Mungkin Anda pernah menemukan dan menjawab soal terkait dengan gambar di samping ini.

Persegi panjang $ABCD$ dibagi menjadi $4$ bagian berbentuk persegi panjang yang lebih kecil dan kongruen. Pada kedua bagiannya, setengah dari daerah persegi panjang kecil itu dilipat menurut diagonalnya. Berapakah jarak dari titik $A_1$ ke titik $C_1$?

Bagaimana Anda memulainya?

Misalkan titik tengah sisi $\overline{AB}$ adalah $E$ dan titik tengah sisi $\overline{AD}$ adalah $H$. Anda tahu $\overline{EH}\parallel\overline{BD}$, bukan? ....................... (1)

Kemudian Anda melihat $AEA_1H$ sebagai layang-layang, bukan? Jelas $\overline{AA_1}$ dan $\overline{EH}$ berpotongan tegak lurus. Misalkan $\overline{AA_1}\cap\overline{EH}\equiv M$. $\overline{EH}$ adalah sumbu simetri sehingga $AM=A_1M$ ....................... (*)

Sekarang misalkan pusat persegi panjang $ABCD$ adalah titik $O$ dan jarak $O$ ke $\overline{EH}$ adalah $OP$. (Perhatikan persegipanjang $AEOH$.) Karena $\overline{EH}$ diagonal persegi panjang $AEOH$ maka $OP=AM$ ....................... (**)

Sedangkan $\overline{EH}$ selaku Dari (*) dan (**) Anda peroleh $OP=A_1M$ dan itu berarti $\overleftrightarrow{A_1O}\parallel\overleftrightarrow{MP}$. Sedangkan $M,P\in\overleftrightarrow{EH}$ maka $\overleftrightarrow{A_1O}\parallel\overleftrightarrow{EH}$ ....................... (2) 

Berdasarkan (1) dan (2) Anda peroleh $\overleftrightarrow{A_1O}\parallel\overleftrightarrow{BD}$ ................................... (3) 

Dalam hal ini $\overleftrightarrow{A_1O}\equiv\overleftrightarrow{BD}$ sehingga $A_1,O\in\overline{BD}$.

Karena kedua persegi panjang $CGOF\cong AEOH$ dan kedua layang-layang $CGC_1F\cong AEA_1H$ maka perhitungan di atas sama berlakunya sehingga $C_1\in\overline{BD}$ dan $C_1D=A_1B$ ....................... (4)

Sekarang Anda dapat menuju kepada perhitungan untuk memperoleh panjang $A_1C_1$. Lebih dulu Anda harus tahu panjang $A_1B$, bukan? Anda segera melihat segitiga siku-siku (mengapa?) $\triangle AA_1B$. Panjang $AA_1$ segera diperoleh jika tahu panjang $AM$. Maka tampaklah $\triangle AEH$. 

Anda hitung dulu panjang $EH$.

$$\begin{align*} EH^2 &= AH^2+AE^2\\ &= 2^2+1,5^2\\ &=4+2,25\\ &= 6,25\\ EH &= 2,5 \end{align*}$$

Kemudian dengan memandang garis tinggi $\overline{AE}$ dan $\overline{AM}$, dalam perhitungan luas daerah $\triangle AEH$ Anda peroleh

$$\begin{align*} AE\cdot AH &= EH\cdot AM\\ 1,5\cdot2 &= 2,5\cdot AM\\ AM &= \frac{3}{2,5}=\frac{3}{\frac{5}{2}}\\ AM &= \tfrac{6}{5} \end{align*}$$

Dengan demikian $AA_1=2AM=\frac{12}{5}$ dan pada $\triangle AA_1B$ Anda peroleh

$$\begin{align*} (A_1B)^2 &= (AB)^2-(AA_1)^2\\ &= 3^2-\left(\frac{12}{5}\right)^2\\ &=9-\frac{144}{25}\\ &= \frac{81}{25}\\ A_1B &= \frac{9}{5} \end{align*}$$

Berdasarkan (4) diperoleh $A_1B+C_1D=2\cdot\frac{9}{5}=\frac{18}{5}$ sedangkan $BD=2EH=2\cdot2,5=5$ (mengapa?) maka Anda peroleh

$$\begin{align*} A_1C_1 &= BD-(A_1B+C_1D) = 5-\frac{18}{5} =\frac{7}{5} \end{align*}$$

Lukisan

Setelah Anda mengetahui ukuran-ukuran yang diperlukan melalui perhitungan di atas maka gambar tikz yang Anda buat untuk menghasilkan gambar seperti gambar (pertama) di atas menjadi lebih mudah. Anda dapat meletakkan titik $B$ pada koordinat $(0,0)$ sehingga Anda tetapkan

\coordinate[label=above:$A$] (A) at (0,3);
\coordinate[label=below:$B$] (B) at (0,0);
\coordinate[label=below:$C$] (C) at (4,0);
\coordinate[label=above:$D$] (D) at (4,3);
\coordinate[label=below:] (E) at ($(A)!.5!(B)$);
\coordinate[label=above:] (F) at ($(C)!.5!(B)$);
\coordinate[label=above:] (G) at ($(C)!.5!(D)$);
\coordinate[label=right:] (H) at ($(A)!.5!(D)$);

Anda memerlukan dukungan dari kepustakaan calc untuk menetapkan koordinat dari titik-titik $E$, $F$, $G$, dan $H$. Demikian juga untuk menetapkan koordinat dari titik $A_1$ dan $C_1$.

\coordinate[label=below:] (A1) at ($(B)!1.8cm!(D)$);
\coordinate[label=above:] (C1) at ($(D)!1.8cm!(B)$);

Anda gambar bagian dari persegi panjang $ABCD$ setelah proses pelipatan,

\draw[semithick] (B)--(F)--(G)--(D)--(H)--(E)--cycle ;

dan ini lipatannya,

\draw[semithick] (F)--(C1)node[above]{$C_1$}--(G) (E)--(A1)node[below]{$A_1$}--(H);

Agar tumpang-tindihnya tepat, letakkan perintah gambar garis putus-putus bagian sudut persegi panjang $ABCD$ berikut ini sebelum kedua perintah \draw itu.

\draw[Periwinkle,dashed] (E)--(A)--(H) (F)--(C)--(G);

Warna Periwinkle berasal dari dvipsnames dalam paket xcolor.
Kemudian letakkan sebelumnya lagi perintah untuk pengisian warna pada bagian daerah persegi panjang $ABCD$ dan lipatannya berikut ini. Di sela-selanya adalah perintah untuk menggambar garis putus-putus sebagai sumbu simetri persegipanjang $ABCD$.

\fill[DarkOrchid,opacity=.5] (B)--(F)--(G)--(D)--(H)--(E)--cycle ;
\draw[Periwinkle,densely dashed] (E)--(G) (F)--(H);
\fill[DarkOrchid,opacity=.7] (F)--(C1)--(G)--cycle (E)--(A1)--(H)--cycle;

Warna DarkOrchid juga dari dvipsnames.
Terakhir, Anda akan menandai ukuran panjang sisi dari persegi panjang $ABCD$. Dalam contoh ini Anda gunakan paket tikz-dimline.

\usepackage{tikz-dimline}
\pgfplotsset{compat=newest}

Letakkan kedua perintah berikut ini persis setelah perintah-perintah untuk menetapkan koordinat.

\dimline[%
        label style={},line style={stealth-stealth},
        extension start length=-0.5cm,
        extension end length=-0.5cm,
        extension start style={color=lightgray},
        extension end style={color=lightgray}
        ]{($(B)+(0,-0.5)$)}{($(C)+(0,-0.5)$)}{$4$};
\dimline[%
        label style={rotate=90},
        line style={stealth-stealth},
        extension start length=0.5cm,
        extension end length=0.5cm,
        extension start style={color=lightgray},
        extension end style={color=lightgray}   ]{($(D)+(0.5,0)$)}{($(C)+(0.5,0)$)}{$3$};

Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019