Garis Singgung Persekutuan Dalam dari Dua Lingkaran

Pengantar

Secara manual, melukis garis singgung persekutuan dalam dari dua lingkaran dilakukan sebagai berikut.

1. Buatlah lingkaran berpusat di $A$ dan berjari-jari $r_1$. Sebutlah $L_1$.
2. Buatlah lingkaran berpusat di $B$ dan berjari-jari $r_2$. Sebutlah $L_2$.
3. Tetapkan titik tengah (sebutlah $O$) dari $\overline{AB}$.
4. Buatlah lingkaran berpusat di $O$ dan berjari-jari $OA$. Sebutlah $L$.
5. Buatlah lingkaran berpusat di $A$ dan berjari-jari $r_1+r_2$. Sebutlah $L_3$.
6. Tetapkan titik potong dari $L$ dan $L_3$, sebutlah $C$ dan $D$.
7. Hubungkan $\overline{AC}$ sehingga memotong $L_1$ di (sebutlah) $E$.
8. Hubungkan $\overline{AD}$ sehingga memotong $L_1$ di (sebutlah) $F$.
9. Buatlah lingkaran berpusat di $E$ dan berjari-jari sepanjang $CB$ sehingga memotong $L_2$ di (sebutlah) $G$ dan $H$.
10. Buatlah lingkaran berpusat di $F$ dan berjari-jari sepanjang $CB$ sehingga memotong $L_2$ di (sebutlah) $K$ dan $L$.
11. Hubungkan dan perpanjangkan $\overline{EH}$ dan $\overline{FK}$.
12. $\overleftrightarrow{EH}$ dan $\overleftrightarrow{FK}$ masing-masing merupakan garis singgung persekutuan dalam dari $L_1$ dan $L_2$.

Lukisan

Berdasarkan urutan langkah di atas, kita gambarkan garis singgung persekutuan dalam dari dua lingkaran itu sebagai berikut. Dalam hal ini kembali kita gunakan paket TikZ.

Sebagai contoh, kita tetapkan lingkaran $L_1$ dengan pusat $A(0,0)$ dan jari-jari $1\,\textrm{cm}$. Untuk memenuhi jarak yang memadai, kita tempatkan lingkaran $L_2$ berpusat di $B(5.1,0)$ dan jari-jari $2\,\textrm{cm}$. Kemudian, sekaligus, kita tetapkan koordinat $O$ sebagai titik tengah dari $\overline{AB}$.

Sekarang kita buat tiga lingkaran masing-masing berpusat di $A$, $B$, dan $O$. Perhatikan pada lingkaran $O$. Jari-jarinya kita tetapkan sebagai $\overline{OA}$ dan panjang jari-jarinya sebagai $OA$. Pada tiap lingkaran kita namai lintasan (path)-nya untuk penggunaan perpotongan terhadapnya. Untuk hal ini kita perlukan dukungan dari kepustakaan TikZ intersections. Sedangkan pewarnaan didukung oleh paket xcolor dengan ketiga opsinya: dvipsnames, svgnames, x11names.

Berikutnya, karena $L_1$ berjari-jari $1\,\textrm{cm}$ dan $L_2$ berjari-jari $2\,\textrm{cm}$ maka kita buat lingkaran keempat yang berpusat di $A$ dan berjari-jari (misalnya) $3\,\textrm{cm}$. Kemudian kita tetapkan perpotongannya terhadap lingkaran $O$ sebagai $C$ dan $D$.

Hubungkan masing-masing $\overline{AC}$ dan $\overline{AD}$ sehingga memotong lingkaran $L_1$. Namai masing-masing lintasan ruas garis ini kemudian tetapkan masing-masing perpotongan ruas garis itu terhadap lingkaran $L_1$ sebagai $E$ dan $F$.

Sekarang, berpusat di $E$, kita buat lingkaran berjar-jari $CB$ kemudian tetapkan perpotongannya terhadap $L_2$ sebagai (misalnya) $G$ dan $H$.

Sekali lagi, berpusat di $F$, kita buat lingkaran berjar-jari $CB$ kemudian tetapkan perpotongannya terhadap $L_2$ sebagai (misalnya) $K$ dan $L$.

Nah, sekarang sudah kita peroleh dua pasang titik singgung masing-masing $E$ dan $H$ dan $F$ dan $K$. Untuk sedikit memperpanjangkannya, buatlah koordinat sejauh (misalnya) $-1\,\textrm{cm}$ dari $E$ ke arah $H$ dan $-1\,\textrm{cm}$ dari $H$ ke arah $E$ tetapi dalam arah berlawanan. Hal itu kita tetapkan sebagai berikut. Kedua garis singgung itu kita buat sebagai berikut. Dengan cara serupa, demikian pula untuk garis singgung $\overleftrightarrow{FK}$.

Sebagai pelengkap, dapat kita tunjukkan noktah untuk tiap koordinat $O$, $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, $K$, dan $L$ secara sekaligus sebagai berikut.

Kemudian menempatkan nama untuk tiap koordinat tersebut sebagai berikut.

Akhirnya kita peroleh lukisannya sebagai berikut.

Penutup

Bila diinginkan hanya lingkaran $A$, lingkaran $B$, dan kedua garis singgung itu yang ditunjukkan, maka gantilah perintah \draw oleh \path untuk tiap lingkaran dan ruas garis yang ingin "disembunyikan". Kemudian hapus perintah untuk menggambar noktah koordinat dan hapus juga perintah \node untuk penamaan koordinat tersebut. Hasilnya tampak sebagai berikut.

Untuk gambar tersebut diperlukan imajinasi/penalaran terutama berkaitan dengan penetapan perpotongan (intersections) dari dua kurva dan penetapan koordinat yang diperlukan.
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2017

Garis Singgung Persekutuan Luar dari Dua Lingkaran

Pengantar

Secara manual, melukis garis singgung persekutuan luar dari dua lingkaran dilakukan sebagai berikut.

1. Buatlah lingkaran berpusat di $A$ dan berjari-jari $r_1$. Sebutlah $L_1$.
2. Buatlah lingkaran berpusat di $B$ dan berjari-jari $r_2$. Sebutlah $L_2$.
3. Tetapkan titik tengah (sebutlah $O$) dari $\overline{AB}$.
4. Buatlah lingkaran berpusat di $O$ dan berjari-jari $OA$. Sebutlah $L$.
5. Buatlah lingkaran berpusat di $A$ dan berjari-jari $r_3$. Sebutlah $L_3$.
6. Tetapkan titik potong dari $L$ dan $L_3$, sebutlah $C$ dan $D$.
7. Perpanjangkan $\overline{AC}$ sehingga memotong $L_1$ di (sebutlah) $E$.
8. Perpanjangkan $\overline{AD}$ sehingga memotong $L_1$ di (sebutlah) $F$.
9. Dari $B$ buatlah ruas garis sejajar $\overline{CE}$ sehingga memotong $L_2$ di (sebutlah) $G$.
10. Dari $B$ buatlah ruas garis sejajar $\overline{DF}$ sehingga memotong $L_2$ di (sebutlah) $H$.
11. $\overleftrightarrow{EG}$ dan $\overleftrightarrow{FH}$ masing-masing merupakan garis singgung persekutuan luar dari $L_1$ dan $L_2$.

Lukisan

Berdasarkan urutan langkah di atas, kita gambarkan garis singgung persekutuan luar dari dua lingkaran itu sebagai berikut. Dalam hal ini kembali kita gunakan paket TikZ.

Sebagai contoh, kita tetapkan lingkaran $L_1$ dengan pusat $A(0,0)$ dan jari-jari $2\,\textrm{cm}$. Untuk memenuhi jarak yang memadai, kita tempatkan lingkaran $L_2$ berpusat di $B(5.1,0)$ dan jari-jari $2\,\textrm{cm}$. Kemudian, sekaligus, kita tetapkan koordinat $O$ sebagai titik tengah dari $\overline{AB}$.

Sekarang kita buat tiga lingkaran masing-masing berpusat di $A$, $B$, dan $O$. Perhatikan pada lingkaran $O$. Jari-jarinya kita tetapkan sebagai $\overline{OA}$ dan panjang jari-jarinya sebagai $OA$. Pada tiap lingkaran kita namai lintasan (path)-nya untuk penggunaan perpotongan terhadapnya. Untuk hal ini kita perlukan dukungan dari kepustakaan TikZ intersections. Sedangkan pewarnaan didukung oleh paket xcolor dengan ketiga opsinya: dvipsnames, svgnames, x11names.

Berikutnya kita buat lingkaran keempat yang berpusat di $A$ dan berjari-jari (misalnya) $1\,\textrm{cm}$. Kemudian kita tetapkan perpotongannya terhadap lingkaran $O$ sebagai $C$ dan $D$.

Hubungkan dan perpanjangkan masing-masing $\overline{AC}$ dan $\overline{AD}$ sejarak (misalnya) $2.1\,\textrm{cm}$, agar memotong lingkaran $A$. Namai masing-masing lintasan ruas garis ini kemudian tetapkan masing-masing perpotongan ruas garis itu terhadap lingkaran $A$ sebagai $E$ dan $F$.

Sekarang, dari $B$, akan kita buat dua ruas garis yang masing-masing sejajar dengan $\overline{CE}$ dan $\overline{DF}$. Kita tetapkan panjangnya $1.1\,\textrm{cm}$ agar memotong lingkaran $B$. Untuk hal itu, lebih dulu kita tetapkan dua koordinat (misalnya) $P$ dan $Q$ sebagai berikut.

Hububungkan $\overline{BP}$ dan $\overline{BQ}$ dan tetapkan masing-masing perpotongannya terhadap lingkaran $B$ sebagai $G$ dan $H$.

Nah, sekarang sudah kita peroleh dua pasang titik singgung masing-masing $E$ dan $G$ dan $F$ dan $H$. Untuk sedikit memperpanjangkannya, buatlah koordinat sejauh (misalnya) $6\,\textrm{cm}$ dari $E$ ke arah $G$ dan $1\,\textrm{cm}$ dari $E$ ke arah $G$ tetapi dalam arah berlawanan. Hal itu kita tetapkan sebagai berikut. 

Dengan pemahaman dan cara yang sama, kita perpanjangkan ruas garis $\overline{FH}$ sebagai berikut.

Sebagai pelengkap, dapat kita tunjukkan noktah untuk tiap koordinat $O$, $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, dan $H$ secara sekaligus sebagai berikut.

Kemudian menempatkan nama untuk tiap koordinat tersebut sebagai berikut.

Akhirnya kita peroleh lukisannya sebagai berikut.

Penutup

Bila diinginkan hanya lingkaran $A$, lingkaran $B$, dan kedua garis singgung itu yang ditunjukkan, maka gantilah perintah \draw oleh \path untuk tiap lingkaran dan ruas garis yang ingin "disembunyikan". Kemudian hapus perintah untuk menggambar noktah koordinat dan hapus juga perintah \node untuk penamaan koordinat tersebut. Hasilnya tampak sebagai berikut.

Untuk gambar tersebut diperlukan imajinasi/penalaran terutama berkaitan dengan penetapan perpotongan (intersections) dari dua kurva dan penetapan koordinat yang diperlukan.
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2017

Bermain Sudut

Pengantar

Anda pernah menemukan gambar seperti itu, bukan?

Tentu, mudah ditebak, masalah yang bertalian dengan gambar tersebut adalah perhitungan besar sudut dan yang ditanyakan adalah nilai sudut $\beta=\measuredangle{HAG}$. Dengan menggunakan algoritme dalam perhitungan secara aljabar kita akan menemukan bahwa $\beta=10^\circ$. Lalu bagaimana kita dapat membuat gambar tersebut?

Tampak diketahui bahwa $\triangle{ABC}$, $\triangle{BDC}$, $\triangle{CDE}$, $\triangle{DFE}$, $\triangle{EFG}$, dan $\triangle{FHG}$ masing-masing berupa segitiga sama kaki dan tiap pasang kaki yang sama panjang itu berukuran sama pada semua segitiga tersebut meskipun secara "tipuan mata" (optical illusion) tampak "janggal" untuk dikatakan sama panjang.

Kembali saya gunakan paket TikZ untuk membuat gambar tersebut. Dengan dukungan dari kepustakaan decorations.markings dan pewarnaan oleh paket xcolor dalam opsi x11names, saya gunakan makro berikut ini untuk menandai tiap kaki segitiga yang sama panjang itu. 

Menggambar Kaki Sudut A

Menunjukkan besar sudut $\beta=10^\circ$ secara visual akan menampakkan bagian cakupan-dalam sudut (interior angle) yang terlalu sempit. Oleh karena itu diperlukan suatu trik, dengan mengatur skala yang memadai, agar gambarnya tampak baik. Dalam hal ini, pada opsi gambar TikZ, saya atur skala dan pertemuan antarruas garis sebagai berikut.

Kita mulai menetapkan titik sudut (vertex) $A$ pada titik asal. Kemudian dalam arah mendatar (pada sudut $0^\circ$) kita tetapkan koordinat (sebutlah) $P$ sejarak $15\,\textrm{cm}$ dari $A$, sebagai kaki pertama dari $\angle{A}$. Berikutnya, sebagai kaki kedua dari $\angle{A}$, pada sudut $10^\circ$ kita tetapkan koordinat (sebutlah) $Q$ juga sejarak $15\,\textrm{cm}$ dari $A$. 

Sesuai dengan gambar yang diberikan, kita langsung menamai koordinat $A$ tersebut.

Mengambar Barisan Segitiga Sama Kaki

Karena tiap segitiga itu sama kaki maka dapat kita tetapkan lintasan-lintasan (path-path) lingkaran pada titik-titik $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, dan $G$ dan menetapkan perpotongannya baik terhadap $\overline{AP}$ maupun terhadap $\overline{AQ}$. Dalam hal ini saya tetapkan panjang jari-jarinya $2,5\,\textrm{cm}$. Untuk menetapkan perpotongan dari dua kurva kita memerlukan dukungan dari kepustakaan intersections. Selain itu, agar lintasan dari lingkaran-lingkaran itu tidak menyita bidang halaman maka bidang gambar itu dapat kita batasi dengan menggunakan perintah clip dalam bentuk persegi panjang.

Kita sudah menetapkan koordinat untuk $B$, lintasan untuk $\overline{AP}$, lintasan untuk $\overline{AQ}$, dan lintasan untuk lingkaran berpusat di $B$ yang berjari-jari $2,5\,\textrm{cm}$. Karena lintasan lingkaran diawali pada sudut $0^\circ$ dan dalam arah putar berlawanan dengan arah putar jarum jam, maka lebih dulu lintasan lingkaran itu akan memotong $\overline{AQ}$ dan itulah yang kita perlukan, yaitu menetapkan titik $C$.

Sekarang kita berada di titik $C$. Akan dibuat lingkaran berpusat di $C$ dan berjari-jari $2,5\,\textrm{cm}$. Tentu (dengan pemahaman tadi), terhadap $\overline{AP}$, lintasan lingkaran itu akan lebih dulu memotongnya di $B$ baru kemudian pada suatu titik kedua (ini yang kita perlukan) yang akan kita namai sebagai $D$.

Perhatikan bahwa penetapan kedua titik potong itu berurutan, $T1$ sebagai titik potong pertama dan $D$ sebagai titik potong kedua. Sebenarnya sudah ada $B$ sebagai titik potong pertama itu, tetapi dalam penetapan perpotongan itu tetap harus kita cantumkan (oleh nama lain) keduanya.

Demikianlah dengan cara serupa kita tetapkan lintasan-lintasan lingkaran lainnya untuk titik-titik berikutnya beserta perpotongannya pada salah satu kaki $\angle A$ yang diperlukan.

Nah, dengan menggunakan tiga koordinat terkait untuk membentuk sudut, sekarang kita dapat menandai sudut senilai $\beta$ dan sudut senilai $70^\circ$ itu. Untuk hal ini kita memerlukan dukungan dari kepustakaan angles.

Berikutnya kita akan menandai ruas-ruas garis sebagai kaki-kaki segitiga yang sama panjang. Untuk hal ini kita menetapkannya pada lintasan-lintasan dari tiap ruas garis tersebut.

Akhirnya, sekarang dapat kita gambarkan semua ruas yang tampak pada gambar di atas. (Sebenarnya, untuk sementara, langkah ini dapat kita lakukan sebelum ini. Gambar dari tiap ruas garis dibuat belakangan agar tidak tertimpa oleh penandaan ruas-ruas garis yang sama panjang itu.) 

Penutup

Ketepatan dalam menetapkan titik potong yang diperlukan untuk gambar ini merupakan salah satu kunci dalam membuat gambar tersebut. Hal penting lainnya adalah penggunaan perintah clip untuk membatasi bidang gambar agar tidak meluas, juga imajinasi/penalaran untuk keperluan gambar tersebut.
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2017

Persegi, Busur, dan Pengarsiran

Pengantar

Pada beberapa naskah soal sering kita temui butir soal yang berkaitan dengan gambar seperti tampak di samping ini. Terasa bahwa kecakapan yang harus dimiliki sehubungan dengan menggambar persegi, menggambar busur, dan mengarsir daerah seperti yang ditunjukkan itu.

Untuk gambar tersebut saya gunakan paket TikZ sedangkan pewarnaan dengan menggunakan paket xcolor disertai oleh ketiga opsinya.

\usepackage[x11names,dvipsnames,svgnames]{xcolor}

Selain itu saya juga gunakan warna bistre yang ditetapkan lebih dulu pada mukadimah.

\definecolor{bistre}{RGB}{61,43,31}

Gambar juga didukung oleh kepustakaan TikZ intersections, patterns, dan angles.

Koordinat-koordinat dan Persegi

Koordinat $A$, $B$, $C$, dan $D$ saya tetapkan beserta penamaannya. Mula-mula saya tempatkan koordinat $A$ pada titik asal kemudian diikuti oleh tiga koordinat lainnya demikian sehingga membentuk suatu persegi dengan panjang sisi (saya tetapkan) $7\,\textrm{cm}$.

Hasilnya terlihat pada Gambar 1.

Menggambar Busur

Busur pertama kita buat dengan mengacu pada koordinat $A$ sebagai pusat, kemudian busur dibuat dari sudut awal $0^\circ$ dan berakhir pada sudut $90^\circ$ dengan jari-jari $7\,\textrm{cm}$. Busur kedua kita buat dengan mengacu pada koordinat $B$ sebagai pusat, kemudian busur dibuat dari sudut awal $180^\circ$ dan berakhir pada sudut $90^\circ$ dengan jari-jari $7\,\textrm{cm}$. Perhatikan kode pada baris 9 dan 10 berikut ini.

Hasilnya terlihat pada Gambar 2.

Mengarsir Daerah Busur

Pada kenyataannya kedua busur itu berpotongan pada sudut $60^\circ$ dari pusat $A$. Untuk itu pengarsiran dapat diawali pada lintasan (tanpa menggambarkan garisnya) dari koordinat $B$ dengan sudut awal $0^\circ$ dan berakhir pada sudut $60^\circ$ kemudian, dengan mengacu pada pusat $B$, dilanjutkan oleh sudut awal $120^\circ$ dan berakhir pada sudut $180^\circ$. Tentu saja, jari-jarinya $7\,\textrm{cm}$. (Pengarsiran memerlukan dukungan dari kepustakaan patterns dalam paket Tikz.)

Agar pengarsiran itu tidak menutupi/menindas/menimpa gambar ruas garis yang telah dilukis sebelumnya maka opsi pengarsiran (dalam perintah path) diletakkan sebelum perintah menggambar (draw) ruas garis untuk persegi dan busur. Perhatikan kode pada baris 7 berikut ini.

Hasilnya terlihat pada Gambar 3.

Melengkapi Gambar

Sekarang kita akan menetapkan titik potong dari kedua busur. Karena itulah pada saat memberikan perintah untuk menggambar busur kita namai tiap busur itu oleh opsi name path=.... Perhatikan baris 12 dan 13. (Penetapan perpotongan dari dua garis memerlukan dukungan dari kepustakaan intersections dalam paket Tikz.) Penetapan opsi pada baris 12 dan 13 itu terkait dengan penetapan perpotongan dari lintasan (path) kedua busur seperti ditunjukkan oleh kode pada baris 15.

Perhatikan baris 16. Perintah utamanya sebenarnya adalah menggambar ruas garis terputus-putus dari $B$ ke $E$ kemudian ke $A$ oleh

\draw[bistre,densely dashed] (B)--(E)--(A) ;

tetapi, setelah koordinat $E$, sekalian saja disisipkan peletakkan nama untuk $E$ oleh

node[above,black]{$E$}

dan peletakkan nama untuk panjang ruas garis $\overline{BE}$ oleh

node[above,midway,sloped,black] {$7$\,cm}

juga, setelah koordinat $A$, disisipkan peletakkan nama untuk panjang ruas garis $\overline{EA}$ oleh

node[above,midway,sloped,black] {$7$\,cm}

Baris 17 menyatakan penandaan dan peletakkan nama ukuran sudut sebagai

\pic[draw=..., angle eccentricity=..., angle radius=...,pic text=...]{angle=...};

Untuk penandaan dan peletakkan nama ukuran sudut kita memerlukan dukungan dari kepustakaan angles dalam paket Tikz.
Nah, hasil akhirnya terlihat pada Gambar 4.

Penutup

Dalam hal ini, barangkali, ukuran tingkat kerumitannya terletak pada saat kita akan menggambar busur dan ketika kita akan menetapkan daerah pengarsiran yang diapit oleh kedua busur itu. Untuk hal itu kita perlu berimajinasi.
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2017

Menggunakan Panjang Ruas Garis sebagai Jari-jari

Pendahuluan

Kali ini kita akan meninjau masalah berikut ini.

Gambar 1 adalah konsep sebuah masjid yang akan dibangun. Penampang kubah berupa setengah lingkaran dan menyinggung segitiga siku-siku $ABC$ dengan $\measuredangle A=90^\circ$. Jika diketahui $PC=5$ meter, maka radius kubah adalah ... meter.

Menggambar busur tersebut memerlukan suatu trik karena kita harus memanfaatkan panjang ruas garis sebagai jari-jari dari suatu lingkaran. Dalam hal ini masalah tersebut akan diulas dengan mengacu pada penggunaan paket TikZ.

Koordinat-koordinat dan Gambar Dasar

Kita tetapkan dulu koordinat $A$ pada titik asal.

\coordinate[label=above:$A$](A) at (0,0);

Karena sudut $A$ itu siku-siku dan (dalam hal ini) kedua kaki dari $\angle A$ itu sama panjang, maka kita tetapkan koordinat $B$ pada sudut $225^\circ$ dan koordinat $C$ pada sudut $315^\circ$ dan panjang kakinya masing-masing saya tetapkan sebagai $3\,\textrm{cm}$ dari pusat acuan $A$.

\coordinate[label=left:$B$] (B) at (225:3cm);
\coordinate[label=right:$C$] (C) at (315:3cm);

Kemudian dari $C$ kita tetapkan koordinat $D$, saya pilih, sejarak $1,8\,\textrm{cm}$ dari titik $C$ dengan $\overline{CD}\perp\overline{CB}$.

\coordinate (D) at ($(C)!1.8cm!90:(B)$);

Dalam cara yang sama, kita tetapkan koordinat $E$ sejarak $1,8\,\textrm{cm}$ dari titik $B$ dengan $\overline{BE}\perp\overline{BC}$.

\coordinate (E) at ($(B)!1.8cm!-90:(C)$);

Sekarang dapat kita buat Gambar 3 sebagai berikut.

\draw[densely dashed,bistref!50] (B)--(A)--(C);
\draw[thick] (B)--(C)--(D)--(E)--cycle;

Panjang Ruas Garis sebagai Jari-jari

Perhatikan Gambar 1 pada soal di atas. Kubah tersebut berupa busur dari suatu lingkaran yang berpusat di tengah-tengan $\overline{BC}$. Kita misalkan titik pusat lingkaran ini sebagai $O$ dan kita tetapkan

\coordinate (O) at ($(B)!.5!(C)$);

Bagaimanakah kita dapat menggambarkan busur tersebut?

Pertama, kita pikirkan jar-jarinya. Karena $\overline{AB}$ merupakan garis singgung pada lingkaran itu maka jari-jarinya kita tetapkan sebagai ruas garis yang menghubungkan $O$ terhadap proyeksinya pada $\overline{AB}$. Jari-jari demikian kita nyatakan sebagai

( $ ( $ (A)!(O)!(B) $ )-(O) $ )

Kita tidak akan menggambarkan lingkarannya, tetapi untuk menggambar suatu busur kita memerlukan titik pusat, koordinat awal, koordinat akhir, dan panjang jari-jarinya. Untuk gambar busur tersebut, kedua koordinat awal dan akhir itu merupakan titik potong dari lingkaran berpusat di $O$ itu dan ruas garis $\overline{BC}$. Oleh karena itu, tanpa menggambar, kita tetapkan lintasan (path) untuk $\overline{BC}$

\path[name path=g1] (B)--(C);

dan lintasan untuk lingkaran itu

\path[name path=L]
  let 
  \p1=( $ ( $ (A)!(O)!(B) $ )-(O) $ )% jari-jari
  in
  (O) circle ({veclen(\x1,\y1)});% panjang jari-jari

Kemudian kita tetapkan perpotongannya (salah satunya, kita memerlukan nama $P$)

\path [name intersections={of = L and g1, by={P,Q}}];

dan menunjukkan nama koordinat $P$

\node[below] at (P) {$P$};

Nah, sekarang kita dapat melukis suatu busur yang berawal dari $Q$ dan berakhir di $P$ dengan jari-jari sepanjang $OP$. Ini berarti, dengan pusat $O$, kita berjalan dari sudut $180^\circ$ ke sudut $0^\circ$. Hal itu kita nyatakan sebagai

\draw[thick] 
let 
\p1=($(O)-(P)$),% jari-jari
\n1={veclen(\x1,\y1)}% panjang jari-jari
      in (Q) arc (180:0:\n1);

dan hasilnya tampak sebagai berikut.

Terakhir akan kita buat "tonggak" dari puncak kubah dan berujung di $A$. Untuk hal ini saya buat lintasan (path) busur, dalam jari-jari $OP$, dari $P$ hingga mencapai sudut $90^\circ$. Koordinat dari titik ujung busur ini saya tetapkan sebagai $F$.

\path 
let \p1=($(O)-(P)$),
\n1={veclen(\x1,\y1)}
      in (P) arc (0:90:\n1) coordinate (F);

dan menggambar "tonggak" $\overline{AF}$ itu

\draw[thick] (A)--(F);

Hasil akhirnya terlihat sebagai berikut.

Penutup

Untuk menyelesaikan masalah semacam ini, ada hal pokok yang harus kita ingat, yaitu dalam penetapan panjang ruas garis sebagai jari-jari beserta cara menggambarkan busur atau lingkarannya.
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2017

Tembereng pada Layang-layang

Mukadimah

Seorang siswa mengadukan soal seperti tampak pada gambar di samping ini. Menurutnya, soal itu sangat sulit. (Bagaimana menurut Anda?)

Sekilas tampak bahwa busur $CD$ terletak di dalam $\triangle CDE$ dan busur $BC$ terletak di dalam $\triangle BCE$. Wajarlah bila anggapan itu melahirkan kesulitan, berapakah panjang jari-jari dari lingkaran yang memuat busur itu? Bukankah luas daerah yang diraster itu adalah selisih dari luas daerah layang-layang oleh luas daerah dari kedua tembereng (yang kongruen)?

Satu hal yang (mungkin) terlupakan bahwa di dalam suatu naskah soal, suatu gambar "dihalalkan" untuk ditampilkan tidak dalam ukuran (skala) yang sebenarnya. Penulis soal tersebut, sebenarnya, telah memberikan "alamat" dengan tidak menghubungkan titik $B$ dan $D$ (juga $A$ dan $C$) selaku kedua diagonalnya.

Adalah Bapak Bob Prabantoro yang menunjukkan kepada saya tentang hal yang tepat bahwa kedua busur itu masing-masing memotong diagonal $\overline{BD}$. Dengan demikian kedua busur itu dapat digambarkan dengan tepat pula, meskipun tetap menggunakan skala demi menghemat bidang lukisan. Nah, hal yang berkenaan dengan paragraf terakhir itulah yang akan menjadi kupasan kita kali ini, yaitu menggambar dengan tepat layang-layang tersebut termasuk kedua busur dan daerah yang dirasternya.

Koordinat-koordinat

Kita mulai bekerja dalam lingkup perintah gambar TikZ (tikzpicture). Berdasarkan ukuran yang diberikan oleh soal, dapat kita tetapkan ukuran dalam skala $1:5$, sehingga $AC=BC=5\,\textrm{cm}$, $AE=3.4\,\textrm{cm}$, dan $EC=1.6\,\textrm{cm}$. Dengan demikian dapat kita tetapkan

\coordinate[label=left:$A$](A) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B$](B) at (3.4,-4.8);
\coordinate[label=right:$C$](C) at (5,0);
\coordinate[label=above:$D$](D) at (3.4,4.8);
\coordinate(E) at (3.4,0);

Tentu, dengan mudah kita buat layang-layang itu oleh

\draw[thick] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;

dan hasilnya diperlihatkan oleh Gambar 1 pada dokumen terlampir pada bagian bawah tulisan ini.

Melukis Busur $BC$

Sekarang kita menghadapi masalah. Bagaimana melukis busur $BC$? Di manakah pusat dari lingkaran yang memuat busur ini? Berapakah nilai jari-jarinya?
Pusat lingkaran itu terletak pada perpotongan dari dua diagonal persegi dengan $BC$ sebagai salah satu sisinya. Untuk menemukan titik pusat itu (misalkan sebagai $O$), dari $B$ kita tetapkan koordinat (misalkan) $F$ sejarak $5\,\textrm{cm}$ demikian sehingga $\overline{FB}$ tegak lurus $\overline{BC}$ di $B$. Kita memerlukan kepustakaan calc untuk hal ini.

\coordinate (F) at ($(B)!-5cm!90:(C)$);

Dengan cara serupa, dari $C$ kita tetapkan koordinat (misalkan) $G$ sejarak $5\,\textrm{cm}$ demikian sehingga $\overline{GC}$ tegak lurus $\overline{BC}$ di $C$.

\coordinate (G) at ($(C)!5cm!90:(B)$);

Dengan menggunakan garis putus-putus yang agak rapat, dapat kita tunjukkan persegi $BFGC$ oleh

\draw[densely dashed,Burlywood4] (B)--(F)--(G)--(C);

Lalu, bagaimana menggambar busur $BC$ itu? Perhatikan bahwa kita akan melukis busur itu dari $B$ ke $C$, sedangkan suatu busur diperintahkan oleh

arc(sudut awal:sudut akhir:jari-jari)

Berapa nilai sudut awal, sudut akhir, dan jari-jari itu?Lebih dulu kita tetapkan pusat lingkarannya, sebagai perpotongan dari $\overline{BG}$ dan $\overline{CF}$. Untuk hal ini kita memerlukan kepustakaan intersections.

\coordinate (F) at ($(B)!-5cm!90:(C)$);
\coordinate (G) at ($(C)!5cm!90:(B)$);
\path[name path=g1] (B)--(G);
\path[name path=g2] (C)--(F);
\path [name intersections={of = g1 and g2, by={O}}];

Untuk mengetahui nilai dari kedua sudut tadi, pandanglah $O$ sebagai "pusat koordinat" baru. Pada Gambar 2 dalam dokumen terlampir, perhatikan dua garis yang berpotongan tegak lurus di $O$. Untuk membuat tanda sudut siku harus didukung oleh kepustakaan angles beserta oleh makro berikut ini

\def\siku[size=#1](#2,#3,#4){%%
   \draw[help lines] ($(#3)!#1!(#2)$) -- 
         ($($(#3)!#1!(#2)$)!#1!90:(#2)$) --
         ($(#3)!#1!(#4)$);}

dan dalam penggunaannya dinyatakan oleh (misalnya)

\siku[size=6pt](T3,O,T2)

Dengan berbantukan GeoGebra, kita temukan nilai sudut awal yang dimaksud adalah $\measuredangle{POB}=206.57^\circ$ dan nilai sudut akhir adalah $\measuredangle{POB}=116.57^\circ$. Sedangkan panjang jari-jarinya tentu saja setengah dari panjang diagonalnya yang dapat dihitung sebagai $OB=0.5\times5\sqrt{2}\approx3.58\,\textrm{cm}$ (berdasarkan GeoGebra). Dengan demikian busur $BC$ kita buat oleh perintah

\draw[thick] (B) arc(206.57:116.57:3.58);

dan hasilnya diperlihatkan oleh Gambar 2 pada dokumen terlampir pada bagian bawah tulisan ini. 

Melukis Busur $CD$ dan Lukisan Selengkapnya

Dengan tahapan serupa dengan cara untuk melukis busur $BC$, kita lakukan sekali lagi untuk melukis busur $CD$ dan hasilnya akan tampak seperti ditunjukkan oleh Gambar 3 pada dokumen terlampir pada bagian bawah tulisan ini. 
Sekarang, bagaimana cara menampilkan hasil seperti ditunjukkan oleh Gambar 4? 
Hapus saja perintah untuk membuat noktah pada $O$ dan $O_2$, kemudian ubah perintah \draw (pada beberapa unsur pendukung itu) menjadi perintah \path. Selain itu, ini penting dalam rangka "penghematan", agar bidang gambar tercakup dan tidak melebar (oleh daerah persegi) maka berikan perintah (misalnya)

\clip (-.5,-5.5) rectangle (5.5,5.5);

Kemudian, untuk meraster, kita memerlukan kepustakaan patterns dan perintah untuk itu (oleh \path) diletakkan lebih dulu sebelum perintah \draw agar tidak menimpa lukisan ruas-ruas garisnya. 
Untuk memperoleh hasil seperti ditunjukkan oleh Gambar 4, silakan saling dan kompilasi pengkodean berikut ini.

\begin{tikzpicture}[scale=.8,line join=round]
\clip (-.5,-5.5) rectangle (5.5,5.5);
\coordinate[label=left:$A$](A) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B$](B) at (3.4,-4.8);
\coordinate[label=right:$C$](C) at (5,0);
\coordinate[label=above:$D$](D) at (3.4,4.8);
\coordinate(E) at (3.4,0);

\coordinate (F) at ($(C)!-5cm!90:(D)$);
\coordinate (G) at ($(D)!5cm!90:(C)$);
\path[name path=g1] (C)--(G);
\path[name path=g2] (D)--(F);
\path [name intersections={of = g2 and g1, by={O}}];

\coordinate (M) at ($(C)!5cm!90:(B)$);
\coordinate (N) at ($(B)!-5cm!90:(C)$);
\path[name path=g3] (C)--(N);
\path[name path=g4] (B)--(M);
\path [name intersections={of = g3 and g4, by={O2}}];

\path[pattern=crosshatch dots,pattern color=Tan4] (A)--(B) arc(206.57:116.57:3.58) arc(243.43:153.43:3.58)--cycle;

\draw[thick] (B) arc(206.57:116.57:3.58) arc(243.43:153.43:3.58) ;

\draw[thick] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;
\end{tikzpicture}

Penutup

Dalam hal ini penulis masih memerlukan dan menggunakan GeoGebra, hal yang sebenarnya tidak perlu terjadi bila penulis sudah mampu melakukan perhitungan dengan menggunakan pgfmath.Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2017