Garis Singgung Persekutuan Dalam dari Dua Lingkaran

Pengantar

Secara manual, melukis garis singgung persekutuan dalam dari dua lingkaran dilakukan sebagai berikut.

1. Buatlah lingkaran berpusat di $A$ dan berjari-jari $r_1$. Sebutlah $L_1$.
2. Buatlah lingkaran berpusat di $B$ dan berjari-jari $r_2$. Sebutlah $L_2$.
3. Tetapkan titik tengah (sebutlah $O$) dari $\overline{AB}$.
4. Buatlah lingkaran berpusat di $O$ dan berjari-jari $OA$. Sebutlah $L$.
5. Buatlah lingkaran berpusat di $A$ dan berjari-jari $r_1+r_2$. Sebutlah $L_3$.
6. Tetapkan titik potong dari $L$ dan $L_3$, sebutlah $C$ dan $D$.
7. Hubungkan $\overline{AC}$ sehingga memotong $L_1$ di (sebutlah) $E$.
8. Hubungkan $\overline{AD}$ sehingga memotong $L_1$ di (sebutlah) $F$.
9. Buatlah lingkaran berpusat di $E$ dan berjari-jari sepanjang $CB$ sehingga memotong $L_2$ di (sebutlah) $G$ dan $H$.
10. Buatlah lingkaran berpusat di $F$ dan berjari-jari sepanjang $CB$ sehingga memotong $L_2$ di (sebutlah) $K$ dan $L$.
11. Hubungkan dan perpanjangkan $\overline{EH}$ dan $\overline{FK}$.
12. $\overleftrightarrow{EH}$ dan $\overleftrightarrow{FK}$ masing-masing merupakan garis singgung persekutuan dalam dari $L_1$ dan $L_2$.

Lukisan

Berdasarkan urutan langkah di atas, kita gambarkan garis singgung persekutuan dalam dari dua lingkaran itu sebagai berikut. Dalam hal ini kembali kita gunakan paket TikZ.

Sebagai contoh, kita tetapkan lingkaran $L_1$ dengan pusat $A(0,0)$ dan jari-jari $1\,\textrm{cm}$. Untuk memenuhi jarak yang memadai, kita tempatkan lingkaran $L_2$ berpusat di $B(5.1,0)$ dan jari-jari $2\,\textrm{cm}$. Kemudian, sekaligus, kita tetapkan koordinat $O$ sebagai titik tengah dari $\overline{AB}$.

\coordinate (A) at (0,0) coordinate (B) at (5.1,0) coordinate (O) at ($(A)!.5!(B)$);

view raw Koordinat lingkaran hosted with ❤ by GitHub

Sekarang kita buat tiga lingkaran masing-masing berpusat di $A$, $B$, dan $O$. Perhatikan pada lingkaran $O$. Jari-jarinya kita tetapkan sebagai $\overline{OA}$ dan panjang jari-jarinya sebagai $OA$. Pada tiap lingkaran kita namai lintasan (path)-nya untuk penggunaan perpotongan terhadapnya. Untuk hal ini kita perlukan dukungan dari kepustakaan TikZ intersections. Sedangkan pewarnaan didukung oleh paket xcolor dengan ketiga opsinya: dvipsnames, svgnames, x11names.

	\clip (-1.2,-2.6) rectangle (8,2.6);%membatasi cakupan bidang gambar
	\draw[thick,name path=L1,PineGreen] (A) circle (1cm);
	\draw[thick,name path=L2,PineGreen] (B) circle (2cm);
	\draw[name path=L3,PaleVioletRed1,dashed]
	let
	\p1=($(O)-(A)$), %jari-jari
	\n1={veclen(\x1,\y1)} %panjang jari-jari
	in
	(O) circle (\n1);

view raw Menggambar lingkaran v2 hosted with ❤ by GitHub

Berikutnya, karena $L_1$ berjari-jari $1\,\textrm{cm}$ dan $L_2$ berjari-jari $2\,\textrm{cm}$ maka kita buat lingkaran keempat yang berpusat di $A$ dan berjari-jari (misalnya) $3\,\textrm{cm}$. Kemudian kita tetapkan perpotongannya terhadap lingkaran $O$ sebagai $C$ dan $D$.

	\draw[name path=L4,PaleVioletRed1,dashed] (A) circle (3cm);
	\path [name intersections={of = L3 and L4, by={C,D}}];

view raw Menetapkan perpotongan dari dua lingkaran v2 hosted with ❤ by GitHub

Hubungkan masing-masing $\overline{AC}$ dan $\overline{AD}$ sehingga memotong lingkaran $L_1$. Namai masing-masing lintasan ruas garis ini kemudian tetapkan masing-masing perpotongan ruas garis itu terhadap lingkaran $L_1$ sebagai $E$ dan $F$.

	\draw[name path=g1,PaleVioletRed1,dashed] (A)--(C);
	\draw[name path=g2,PaleVioletRed1,dashed] (A)--(D);
	\path [name intersections={of = L1 and g1, by={E}}];
	\path [name intersections={of = L1 and g2, by={F}}];

view raw Menetapkan perpotongan garis dan lingkaran v2 hosted with ❤ by GitHub

Sekarang, berpusat di $E$, kita buat lingkaran berjar-jari $CB$ kemudian tetapkan perpotongannya terhadap $L_2$ sebagai (misalnya) $G$ dan $H$.

Sekali lagi, berpusat di $F$, kita buat lingkaran berjar-jari $CB$ kemudian tetapkan perpotongannya terhadap $L_2$ sebagai (misalnya) $K$ dan $L$.

	\draw[name path=L6,PaleVioletRed1,dashed]
	let
	\p1=($(C)-(B)$), %jari-jari
	\n1={veclen(\x1,\y1)} %panjang jari-jari
	in
	(F) circle (\n1);
	\path [name intersections={of = L6 and L2, by={K,L}}];

view raw Menetapkan perpotongan dari dua lingkaran v4 hosted with ❤ by GitHub

Nah, sekarang sudah kita peroleh dua pasang titik singgung masing-masing $E$ dan $H$ dan $F$ dan $K$. Untuk sedikit memperpanjangkannya, buatlah koordinat sejauh (misalnya) $-1\,\textrm{cm}$ dari $E$ ke arah $H$ dan $-1\,\textrm{cm}$ dari $H$ ke arah $E$ tetapi dalam arah berlawanan. Hal itu kita tetapkan sebagai berikut. Kedua garis singgung itu kita buat sebagai berikut. Dengan cara serupa, demikian pula untuk garis singgung $\overleftrightarrow{FK}$.

	\draw[Orange2] ($(E)!-1cm!(H)$)--($(H)!-1.2cm!(E)$);
	\draw[Orange2] ($(F)!-1cm!(K)$)--($(K)!-1cm!(F)$);

view raw Menggambar garis singgung hosted with ❤ by GitHub

Sebagai pelengkap, dapat kita tunjukkan noktah untuk tiap koordinat $O$, $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, $K$, dan $L$ secara sekaligus sebagai berikut.

	\foreach \p in {O,A,B,C,D,E,F,G,H,K,L}
	\draw[fill] (\p) circle[radius=1pt];

view raw Menggambar noktah koordinat v2 hosted with ❤ by GitHub

Kemudian menempatkan nama untuk tiap koordinat tersebut sebagai berikut.

	\foreach \p in {O,A,B,C,D,E,F,G,H,K,L}
	\node[right] at (\p) {$\p$};

view raw Menamai dan menempatkan nama koordinat v2 hosted with ❤ by GitHub

Akhirnya kita peroleh lukisannya sebagai berikut.

Penutup

Bila diinginkan hanya lingkaran $A$, lingkaran $B$, dan kedua garis singgung itu yang ditunjukkan, maka gantilah perintah \draw oleh \path untuk tiap lingkaran dan ruas garis yang ingin "disembunyikan". Kemudian hapus perintah untuk menggambar noktah koordinat dan hapus juga perintah \node untuk penamaan koordinat tersebut. Hasilnya tampak sebagai berikut.

Untuk gambar tersebut diperlukan imajinasi/penalaran terutama berkaitan dengan penetapan perpotongan (intersections) dari dua kurva dan penetapan koordinat yang diperlukan.
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2017