Teknis Matematis #6 Persamaan dan Penomorannya pada Align

Setelah mengulas tentang cara memberikan keterangan (anotasi) dalam environment align dari paket amsmath, kali ini akan dilanjutkan dengan teknis pengaturan "jarak" antara persamaan dan penomorannya pada suatu baris.
Agar kedua contoh yang ditunjukkan di bawah ini tampak jelas berbeda, saya gunakan opsi fleqn pada baris perintah kelas dokumen. Gunanya, agar setiap persamaan yang ditulis menjajar ke arah margin kiri halaman. Dalam hal ini saya gunakan kelas dokumen exam.

\documentclass[10pt,a4paper,fleqn]{exam}

Perhatikan persamaan-persamaan bernomor pada contoh dokumen pertama berikut ini.

Ketika persamaan-persamaan yang ditulis kita jajarkan ke kiri, penomoran bawaan (default) dari amsmath semacam itu mungkin dapat dianggap kurang bagus, karena jaraknya terlalu renggang.

Meskipun demikian kita masih dapat mengaturnya. Sekarang perhatikan perubahannya pada contoh dokumen kedua berikut ini.




Saya telah menggeser penomorannya sejauh $\small 7\, \text{cm}$ ke arah kiri dengan menyertakan perintah, paket, dan makro sebagai berikut.

\newdimen\alignnumbersep
\setlength{\alignnumbersep}{7cm}

\usepackage{etoolbox}
\makeatletter
\patchcmd{\math@cr@@@align@measure}
     {\df@tag\fi\fi}
     {\df@tag\fi\fi\kern\alignnumbersep}
     {}{}
\patchcmd{\math@cr@@@align}
    {\make@display@tag}
    {\make@display@tag\kern\alignnumbersep}
    {}{}
\makeatother

Kita dapat mengatur jarak antara persamaan dan nomornya pada baris

\setlength{\alignnumbersep}{...}

Demikian semoga bermanfaat. Dokumen di atas saya susun (compile) dalam jaringan melalui Online LaTeX Editor ShareLaTeX.

Adjie Gumarang Pujakelana 2015

Teknis Matematis #5 Tag pada Align

Pada tulisan terdahulu sudah diulas tentang cara memberikan keterangan (anotasi) pada bagian yang kita tulis. Tulisan ini pun berisi tentang hal yang sama, tetapi dikhususkan pada environment align dari paket amsmath.

Perhatikan dokumen berikut ini.

Di dalam environment align kita dapat memberikan keterangan (anotasi) pada tiap baris persamaan yang kita tulis. Ini dilakukan oleh perintah \tag. Perintah ini sebenarnya "mengambil alih" penomoran yang telah ditetapkan secara asal (default). Oleh karena itu bila keterangan tersebut tidak ingin termuat dalam tanda kurung, maka perintah tag harus bertanda "bintang".
Pada contoh dokumen di atas, saya juga tidak menomori baris-baris persamaan yang saya tulis, maka saya bubuhkan tanda "bintang" pada environment align itu.

\begin{align*}
... &= ... \\
... &= ... \tag*{...}\\
...
\end{align*}

Perintah tag mencakup tulisan dalam modus teks, oleh karena itu untuk tulisan dalam modus matematis harus diapit oleh tanda dollar $\small\$...\$$ atau kurung siku $\small\textbf{\[...\]}$.

Environment align yang digunakan dalam dokumen di atas adalah sebagai berikut.

\begin{align*}
^5\log 4+^5\log 2x-3.^5\log 4 &= 0\\
^5\log 4+^5\log 2x-^5\log 4^3 &= 0\tag*{mengingat $n\cdot ^a\log b=^a\log b^n$}\\
^5\log \frac{\cancel{4}.2x}{4^{\cancelto{2}{3}}} &= 0\tag*{mengingat $^a\log b+^a\log c=^a\log bc$ dan $\ds ^a\log p-^a\log q=^a\log\frac{p}{q}$}\\
^5\log \frac{2x}{4^2} &= 0 \tag*{hasil bagi oleh $4$}
\end{align*}
maka
\begin{align*}
\frac{2x}{4^2} &= 1 \tag*{karena $0=^5\log1$}\\
2x &= 4^2 \tag*{hasil kali kedua ruas oleh $4^2$}\\
2x &= 16\\
x &= 8 \tag*{hasil bagi kedua ruas oleh $2$}
\end{align*}

O ya, saya gunakan pula paket cancel dalam penyederhanaannya. Tentang hal ini dapat Anda pelajari di sini.

Demikian semoga bermanfaat. Dokumen di atas saya susun (compile) dalam jaringan melalui Online LaTeX Editor ShareLaTeX.

Adjie Gumarang Pujakelana 2015

Soal Lomba Setingkat Sekolah Dasar

Saya awali tulisan ini dengan menunjukkan salah satu soal dalam lomba setingkat sekolah dasar. Namun (sayangnya) saya tidak mengingat lagi sumber dokumen soal itu, sehingga saya tidak dapat menyertakan tautan rujukannya.

Penyelesaian untuk soal ini terlampir dalam dokumen pada bagian bawah tulisan ini dan ulasan ini pun akan mengacu pada dokumen tersebut.

Untuk gambar, kembali saya gunakan paket tikz. Dalam preamble saya sertakan pula paket xcolor dan amsmath.

\usepackage[svgnames,dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{amssymb,amsmath}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{patterns}

Silakan perhatikan gambar 1 pada bagian jawaban.

Mula-mula saya menggambar persegi panjang besar, dengan ukuran sesuai dengan ukuran pada soal asal tetapi skalanya diperkecil hingga 50%.

\begin{tikzpicture}[scale=.5]
\draw[pattern=north west lines,pattern color=CadetBlue!50!Gray] (0,0)--(12,0)--(12,8)--(0,8)--cycle;
...
\end{tikzpicture}

(Sebagai opsi) saya mengarsirnya dengan garis miring ke kiri 

pattern=north west lines

dan mewarnai arsiran (warna asal adalah hitam) dengan warna dari svgnames paket xcolor. 

Saya gunakan pencampuran warna.

pattern color=CadetBlue!50!Gray

Kemudian saya menggambar keempat persegi panjang kecil yang ukurannya masing-masing bersesuaian dengan koordinat dalam persegi panjang besar. Pada tiap persegi panjang saya isikan warna putih untuk menimpa arsiran tadi.

\draw[fill=white] (0,0)--(10,0)--(10,1)--(0,1)--cycle;
\draw[fill=white] (0,1)--(4,1)--(4,8)--(0,8)--cycle;
\draw[fill=white] (10,0)--(12,0)--(12,5)--(10,5)--cycle;
\draw[fill=white] (4,5)--(12,5)--(12,8)--(4,8)--cycle;

Berikutnya saya tempatkan ukuran lebar untuk tiap persegi panjang ini. Penjelasan tentang teknisnya dapat Anda lihat dalam tulisan ini.

\path (0,0)--(0,1) node[left,midway] {$1$};
\path (10,0)--(12,0) node[below,midway] {$2$};
\path (12,5)--(12,8) node[right,midway] {$3$};
\path (4,8)--(0,8) node[above,midway] {$4$};

Terakhir, saya letakkan ukuran panjang pada persegi panjang besar. Ukuran ini diletakkan tepat pada tengah-tengah path (ruas garis) dengan melatarinya dengan warna putih.

\draw[stealth-stealth,yshift=1cm] (0,8)--(12,8) node[midway,fill=white] {$12$};

Sebagai tambahan, saya tunjukkan noktah dari 12 titik. Dalam tikz, ini dilakukan oleh perintah circle dengan ukuran dan pewarnaan sesuai selera. Dalam hal ini sekaligus saya lakukan penamaan titik-titik tersebut.

\draw[fill=Sepia!90!CadetBlue!5] 
(0,0) node[below] {$A$} circle(.4em)
(12,0) node[right] {$B$} circle(.4em)
(12,8) node[right] {$C$} circle(.4em)
(0,8) node[left] {$D$} circle(.4em)

(10,0) node[below] {$E$} circle(.4em)
(12,5) node[right] {$F$} circle(.4em)
(4,8) node[above] {$G$} circle(.4em)
(0,1) node[above left] {$H$} circle(.4em)

(4,1) node[below] {$P$} circle(.4em)
(10,1) node[right] {$Q$} circle(.4em)
(10,5) node[above] {$R$} circle(.4em)
(4,5) node[left] {$S$} circle(.4em);

Nah, tentang gambar sudah selesai saya jelaskan. Sekarang saya ingin mengulas tentang teknis penulisan matematis pada jawaban.

Seperti ditunjukkan dalam dokumen di bawah ini, kita dapat menyandingkan persamaan (equation) dalam algoritme penyelesaian soal ke dalam dua (atau lebih) bilah. Ini dilakukan oleh environment flalign dari paket amsmath.

\begin{flalign*}
ruas kiri bilah-kiri &= ruas kanan bilah-kiri & ruas kiri bilah-kanan &= ruas kanan bilah-kanan\\
...
\end{flalign*}

Tanda "bintang" digunakan bila persamaan tidak disertai dengan penomorannya. Kedua bilah disekat oleh tanda $\small\&$. Sesuai dengan keperluannya, tanda $\small =$ dapat pula diganti oleh $\small <$, $\small >$, $\small\leq$, atau $\small\geq$.

\begin{flalign*}
ER &= BF & \because EQ=AH &= 1,\, \text{maka}\\
&= BC-FC & QR &= ER-EQ\\
&= 8-3 & &= 5-1\\
&= 5 & &= 4 \\[.5em]
HQ &= AE & \because HP=DG &= 4,\, \text{maka}\\
&= AB-EB & PQ &= HQ-HP\\
&= 12-2 & &= 10-4\\
&= 10 & &= 6
\end{flalign*}

Demikianlah, dokumen di bawah ini saya susun (compile) dalam jaringan melalui Online LaTeX Editor ShareLaTeX. 

Semoga bermanfaat. 

Adjie Gumarang Pujakelana 2015

Teknis Matematis #2 Bentuk Akar, Penyimpulan, Kurung Kurawal Bawah, Pembuktian

Kupasan kali ini akan mengulas tentang penulisan:

• bentuk akar
• tanda "titik-tiga"
• kurung kurawal di bawah modus matematis
• algoritme pembuktian

Mari kita lihat contoh dokumen berikut ini.

Paket amsmath selalu saya gunakan karena merupakan dasar dalam penulisan berbagai modus matematika. Selain itu hingga saat ini saya lebih suka membedakan penggunaan jenis huruf untuk modus matematika dan untuk modus teks. Ini dinyatakan dalam preamble sebagai berikut.

\usepackage{mathpazo}
\renewcommand{\rmdefault}{put}
\usepackage{amsmath,amssymb}

Dalam contoh ini, untuk modus matematika digunakan paket mathpazo sedangkan untuk modus teks digunakan paket utopia dengan nama famili put (Anda dapat memeriksanya pada halaman 38-39).

Baiklah, kita mulai dengan teknis penulisan. Bentuk akar yang ditulis secara inline dengan teks sebaiknya dalam bentuk displaystyle, untuk hasil terbaik. Bentuk akar dibuat oleh perintah \sqrt{...}. Adapun tanda "titik-tiga" dibuat oleh perintah ldots (atau cdots).

$\ds\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{\cdots}}}}= 2$

Untuk menandai tulisan matematis dengan menggunakan kurung kurawal ke arah bawah, kita gunakan perintah \underbrace{...}_{...}.

\underbrace{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{\cdots}}}}_x

algoritme/al·go·rit·me/ n 1 prosedur sistematis untuk memecahkan masalah matematis dl langkah-langkah terbatas: pd sistem FM ini osilator dirangkaikan menurut pola modulasi frekuensi yg disebut --; 2 Man urutan logis pengambilan keputusan untuk pemecahan masalah

Dalam suatu algoritme pembuktian, sesuatu (misalnya dalil atau teorema) yang telah dapat dibuktikan, diakhiri dengan ungkapan "terbukti", yang berasal dari frasa bahasa Latin quod erat demonstrandum (Q.E.D.) yang berarti "yang harus dibuktikan". Dalam bahasa $\small\TeX$, Donald Ervin Knuth telah menyediakan lambang untuk hal ini, yaitu "kotak-hitam" yang ditulis dalam modus matematis oleh perintah \blacksquare. Memang ada beberapa versi lain untuk melambangkan Q.E.D. dalam $\small\LaTeX$, salah satunya berupa "kotak-putih" yang ditulis dalam modus matematis oleh perintah \Box.

$\blacksquare$
$\Box$

Terakhir, kadang (misalnya dalam algoritme pembuktian) kita perlu menyingkat urutan baris-baris berhingga yang tersusun ke arah bawah. Ini juga diwakili oleh lambang "titik-tiga", tetapi ke arah bawah (vertikal). Untuk ini kita gunakan perintah \vdots. Berikut ini yang tertulis pada bagian kanan dalam Jawaban di atas.

\begin{align*}
\sqrt{2} &= 2^{\frac{1}{2}}\\
\sqrt{2\sqrt{2}} &= \sqrt{2}\cdot\sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}\\
\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}} &= \sqrt{2}\cdot\sqrt{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{4}}\cdot2^{\frac{1}{8}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}}\\
 &\vdots \\
\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{\cdots}}}} &= 2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots} 
\end{align*}

Demikian semoga bermanfaat. Dokumen di atas saya susun (compile) dalam jaringan melalui Online LaTeX Editor ShareLaTeX.

Adjie Gumarang Pujakelana 2015

Teknis Matematis #1 Displaystyle, Limit, Align, Cancel

Banyak hal tentang teknis penulisan matematis dalam $\small\LaTeX$. Beberapa di antaranya akan saya kupas melalui blog ini. Kita awali dengan apa yang tampak dalam contoh berikut ini.

Bila kita menulis dalam modus matematis dan menyatu dalam satu baris (inline) dengan modus teks, maka kita gunakan tanda dollar atau tanda kurung.

$...$ atau \(...\)

Perhatikan huruf $b$ pada baris pertanyaan di atas.

Adakah nilai $b$ demikian sehingga ....

Nah, untuk menuliskan operasi limit kita perlu menambahkan perintah \displaystyle, bila kita menuliskannya secara inline dengan modus teks, agar hasilnya tampil secara "normal". Karena perintah ini sering digunakan maka, biasanya, saya menetapkannya di dalam preamble.

\let\ds\displaystyle

Berikut ini cara menyatakan limit tersebut.

$\ds\lim_{x\to -1} \frac{2x^2+bx+3b}{x^2-x-2}$

Selanjutnya, untuk menjajarkan tanda "sama dengan" agar tampil lurus, kita gunakan environment align dari paket amsmath. Karena saya tidak ingin menomori tiap baris persamaan di dalamnya, maka pada environment align ini saya bubuhkan tanda "bintang".

\begin{align*}
2(-1)^2+b(-1)+3b &=0\\
2-b+3b &= 0\\
2+2b &=0\\
b &= -1
\end{align*}

dan berikutnya

\begin{align*}
\lim_{x\to -1} \frac{2x^2+bx+3b}{x^2-x-2} &= \lim_{x\to -1} \frac{2x^2-x-3}{x^2-x-2}\\
&= \lim_{x\to -1} \frac{(2x-3)\cancel{(x+1)}}{(x-2)\cancel{(x+1)}}\\
&= \lim_{x\to -1} \frac{2x-3}{x-2}\\
&= \frac{2(-1)-3}{-1-2}\\
&= \frac{-5}{-3}\\
&= \frac{5}{3}
\end{align*}

Perhatikan yang terakhir. Dalam proses perhitungan nilai tersebut saya lakukan penyederhanaan dengan ditandai pencoretan berwarna biru. Ini dilakukan oleh paket cancel. Tentang teknis penggunaan paket cancel dapat Anda pelajari dalam tulisan ini.

Tentang bingkai jawaban sudah saya ulas di sana.

Demikian semoga bermanfaat. Dokumen di atas saya susun (compile) dalam jaringan melalui Online LaTeX Editor ShareLaTeX.

Adjie Gumarang Pujakelana 2015