Teknis Matematis #7 Kekongruenan Bilangan

Mukadimah

Pada suatu saat mungkin Anda perlu menuliskan kekongruenan bilangan seperti tampak di samping ini. Secara teks, tentu, hal itu dapat dituliskan secara langsung. Namun demikian apakah Anda akan menghitung hasil kekongruenan itu lebih dulu?

Tidak perlu, $\LaTeX$ memiliki sumber daya untuk hal itu baik dalam penulisan maupun dalam penentuan hasilnya. Berapakah sisa pembagian dari $349$ oleh $8$?

Akan kita ulas teknis penulisan kekongruenan bilangan untuk bilangan yang "sederhana" (seperti contoh pada gambar tersebut), bukan bilangan dalam bentuk pangkat atau bilangan "rumit" lainnya. Ada $4$ paket yang dapat kita pilih untuk digunakan dalam hal itu, yaitu calculator, pgf, fp, dan expl3.

Teknis Penulisan

Menggunakan Paket Calculator

Bila kita kita akan menuliskan dan menetapkan nilai sisa pembagian dari $349$ oleh $8$ oleh paket calculator maka pada mukadimah kita cantumkan

\usepackage{calculator}

Kemudian perintah penulisan dan hasil perhitungannya oleh paket calculator kita nyatakan dengan

\MODULO{349}{8}{\sol}

Hasilnya akan tampak seperti pada gambar di atas.

Menggunakan Paket Pgf

Bila kita kita akan menuliskannya oleh paket pgf maka pada mukadimah kita cantumkan

\usepackage{pgf}

Bila kita ingin penulisan dan perhitungan nilai seperti tampak pada gambar di atas, maka lebih dulu kita perlu menetapkan suatu perintah baru, misalnya

\pgfmathtruncatemacro{\hitung}{\pgfmathresult}

Kemudian pencetakan teks dan hasilnya diperintahkan oleh

$349\equiv\hitung\pmod{8}$

Hasilnya akan tampak seperti pada gambar di atas.
Bila kita hanya ingin menunjukkan hasil perhitungannya saja maka cukup kita nyatakan

\pgfmathparse{mod(349,8)} \pgfmathresult

dan paket pgf akan memberikan hasilnya dalam satu tempat desimal sebagai $5.0$.

Menggunakan Paket Fp

Pilihan ketiga adalah dengan menggunakan paket fp. Selain mencantumkan paketnya (dalam opsi nomessages), kita masih harus menetapkan dulu perintah baru untuk penulisan teks dan perhitungannya.

\usepackage[nomessages]{fp}
\newcommand{\modulo}[2]{%
  \FPeval{\result}{trunc(#1-(#2*trunc(#1/#2,0)),0)}\result
}

Dengan perintah \modulo tersebut maka pencetakan teks dan hasilnya itu diberikan oleh

$349\equiv\modulo{349}{8}\pmod{8}$

dan hasilnya akan tampak seperti pada gambar di atas.

Menggunakan Paket Expl3

Pilihan keempat adalah dengan menggunakan paket expl3. Seperti dalam penggunaan paket fp, selain pencantuman paketnya, lebih dulu kita masih harus menetapkan suatu perintah baru.

\usepackage{expl3}
\ExplSyntaxOn
\newcommand{\modulonya}[2]{\int_mod:nn{#1}{#2}}
\ExplSyntaxOff

Dengan perintah \modulonya tersebut maka pencetakan teks dan hasilnya itu diberikan oleh

$349\equiv\modulonya{349}{8}\pmod{8}$

Hasilnya akan tampak seperti pada gambar di atas.

Bila kita hanya ingin menunjukkan hasil perhitungannya saja maka cukup kita nyatakan

$\modulonya{349}{8}$

Penutup

Tentu banyak "pernak-pernik" dalam hal teknis penulisan dokumen yang perlu kita ketahui agar dokumen yang kita tulis tercetak secara optimal. Karena untuk hal itu kita harus merancangnya sendiri maka kita perlu mempelajarinya. Dua situs, CTAN dan StackExchange (SE), merupakan sumber belajar yang diperlukan.
Demikian semoga bermanfaat. 

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2017

Teknis Matematis #2 Bentuk Akar, Penyimpulan, Kurung Kurawal Bawah, Pembuktian

Kupasan kali ini akan mengulas tentang penulisan:

• bentuk akar
• tanda "titik-tiga"
• kurung kurawal di bawah modus matematis
• algoritme pembuktian

Mari kita lihat contoh dokumen berikut ini.

Paket amsmath selalu saya gunakan karena merupakan dasar dalam penulisan berbagai modus matematika. Selain itu hingga saat ini saya lebih suka membedakan penggunaan jenis huruf untuk modus matematika dan untuk modus teks. Ini dinyatakan dalam preamble sebagai berikut.

\usepackage{mathpazo}
\renewcommand{\rmdefault}{put}
\usepackage{amsmath,amssymb}

Dalam contoh ini, untuk modus matematika digunakan paket mathpazo sedangkan untuk modus teks digunakan paket utopia dengan nama famili put (Anda dapat memeriksanya pada halaman 38-39).

Baiklah, kita mulai dengan teknis penulisan. Bentuk akar yang ditulis secara inline dengan teks sebaiknya dalam bentuk displaystyle, untuk hasil terbaik. Bentuk akar dibuat oleh perintah \sqrt{...}. Adapun tanda "titik-tiga" dibuat oleh perintah ldots (atau cdots).

$\ds\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{\cdots}}}}= 2$

Untuk menandai tulisan matematis dengan menggunakan kurung kurawal ke arah bawah, kita gunakan perintah \underbrace{...}_{...}.

\underbrace{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{\cdots}}}}_x

algoritme/al·go·rit·me/ n 1 prosedur sistematis untuk memecahkan masalah matematis dl langkah-langkah terbatas: pd sistem FM ini osilator dirangkaikan menurut pola modulasi frekuensi yg disebut --; 2 Man urutan logis pengambilan keputusan untuk pemecahan masalah

Dalam suatu algoritme pembuktian, sesuatu (misalnya dalil atau teorema) yang telah dapat dibuktikan, diakhiri dengan ungkapan "terbukti", yang berasal dari frasa bahasa Latin quod erat demonstrandum (Q.E.D.) yang berarti "yang harus dibuktikan". Dalam bahasa $\small\TeX$, Donald Ervin Knuth telah menyediakan lambang untuk hal ini, yaitu "kotak-hitam" yang ditulis dalam modus matematis oleh perintah \blacksquare. Memang ada beberapa versi lain untuk melambangkan Q.E.D. dalam $\small\LaTeX$, salah satunya berupa "kotak-putih" yang ditulis dalam modus matematis oleh perintah \Box.

$\blacksquare$
$\Box$

Terakhir, kadang (misalnya dalam algoritme pembuktian) kita perlu menyingkat urutan baris-baris berhingga yang tersusun ke arah bawah. Ini juga diwakili oleh lambang "titik-tiga", tetapi ke arah bawah (vertikal). Untuk ini kita gunakan perintah \vdots. Berikut ini yang tertulis pada bagian kanan dalam Jawaban di atas.

\begin{align*}
\sqrt{2} &= 2^{\frac{1}{2}}\\
\sqrt{2\sqrt{2}} &= \sqrt{2}\cdot\sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}\\
\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}} &= \sqrt{2}\cdot\sqrt{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{4}}\cdot2^{\frac{1}{8}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}}\\
 &\vdots \\
\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{\cdots}}}} &= 2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots} 
\end{align*}

Demikian semoga bermanfaat. Dokumen di atas saya susun (compile) dalam jaringan melalui Online LaTeX Editor ShareLaTeX.

Adjie Gumarang Pujakelana 2015

Teknis Matematis #1 Displaystyle, Limit, Align, Cancel

Banyak hal tentang teknis penulisan matematis dalam $\small\LaTeX$. Beberapa di antaranya akan saya kupas melalui blog ini. Kita awali dengan apa yang tampak dalam contoh berikut ini.

Bila kita menulis dalam modus matematis dan menyatu dalam satu baris (inline) dengan modus teks, maka kita gunakan tanda dollar atau tanda kurung.

$...$ atau \(...\)

Perhatikan huruf $b$ pada baris pertanyaan di atas.

Adakah nilai $b$ demikian sehingga ....

Nah, untuk menuliskan operasi limit kita perlu menambahkan perintah \displaystyle, bila kita menuliskannya secara inline dengan modus teks, agar hasilnya tampil secara "normal". Karena perintah ini sering digunakan maka, biasanya, saya menetapkannya di dalam preamble.

\let\ds\displaystyle

Berikut ini cara menyatakan limit tersebut.

$\ds\lim_{x\to -1} \frac{2x^2+bx+3b}{x^2-x-2}$

Selanjutnya, untuk menjajarkan tanda "sama dengan" agar tampil lurus, kita gunakan environment align dari paket amsmath. Karena saya tidak ingin menomori tiap baris persamaan di dalamnya, maka pada environment align ini saya bubuhkan tanda "bintang".

\begin{align*}
2(-1)^2+b(-1)+3b &=0\\
2-b+3b &= 0\\
2+2b &=0\\
b &= -1
\end{align*}

dan berikutnya

\begin{align*}
\lim_{x\to -1} \frac{2x^2+bx+3b}{x^2-x-2} &= \lim_{x\to -1} \frac{2x^2-x-3}{x^2-x-2}\\
&= \lim_{x\to -1} \frac{(2x-3)\cancel{(x+1)}}{(x-2)\cancel{(x+1)}}\\
&= \lim_{x\to -1} \frac{2x-3}{x-2}\\
&= \frac{2(-1)-3}{-1-2}\\
&= \frac{-5}{-3}\\
&= \frac{5}{3}
\end{align*}

Perhatikan yang terakhir. Dalam proses perhitungan nilai tersebut saya lakukan penyederhanaan dengan ditandai pencoretan berwarna biru. Ini dilakukan oleh paket cancel. Tentang teknis penggunaan paket cancel dapat Anda pelajari dalam tulisan ini.

Tentang bingkai jawaban sudah saya ulas di sana.

Demikian semoga bermanfaat. Dokumen di atas saya susun (compile) dalam jaringan melalui Online LaTeX Editor ShareLaTeX.

Adjie Gumarang Pujakelana 2015