Bentuk Akar Secara Geometris

Barangkali sudah kita maklumi bahwa di antara bilangan-bilangan irasional adalah bilangan bentuk akar. Sebagai dasar, bentuk akar itu adalah akar kuadrat dari suatu bilangan, yaitu $\small\sqrt{2}$, $\small\sqrt{3}$, $\small\sqrt{5}$, $\small\cdots$ dan seterusnya. Bila kita menekan tombol kalkulator untuk menemukan nilai dari bentuk-bentuk akar kuadrat tersebut, maka diperoleh

$\small\sqrt{2}=1,4142135623730950488016887242097\ldots$, 

$\small\sqrt{3}=1,7320508075688772935274463415059\ldots$, 

$\small\sqrt{5}=2,2360679774997896964091736687313\ldots$, 

$\small\cdots$

Tampak bahwa bila bentuk akar itu dinyatakan dalam bentuk desimal, maka bilangan itu memuat angka-angka di belakang koma yang tanpa batas dan tidak memuat sejumlah tertentu angka yang berulang. Jadi nilai dari tiap bentuk akar itu hanya berupa pendekatan (sekian angka di belakang koma) saja.

Lalu, bila kita diminta menggambar ruas garis tepat sepanjang (misalnya) $\small\sqrt{2}$ cm, seberapa panjangkah itu?

Nah, dari kitab Charming Proofs, A Journey into Elegant Mathematics karya Claudi Alsina dan Roger B. Nelsen dan diterbitkan oleh The Mathematical Association of America tahun 2010, pada halaman 122 saya menemukan gambar berikut ini.

Gambar di samping adalah salah satu bentuk terapan dari Dalil Satu Persegi yang menunjukkan $\small\sqrt{n}$ secara berulang oleh busur lingkaran berpusat di $\small(0,0)$ dan berjari-jari $\small\sqrt{n+1}$ dari titik $\small(\sqrt{n},1)$, yang digambar searah putar jarum jam.

Gambar itulah yang akan diulas kali ini. Kembali saya gunakan paket tkz-euclide untuk hal ini. "Kesulitannya" adalah menggambar busur searah putar jarum jam, karena (prosedur bakunya justru sebaliknya) saya harus menetapkan lebih dulu titik potong busur itu pada sumbu $\small x$, yang tiada lain mewakili bentuk akar yang dicari itu.

Inilah dokumen gambar yang saya buat.

Karena sumbu koordinat akan diperlihatkan

\tkzAxeXY

maka saya perlu menetapkan batasan nilai absis dan ordinatnya.

\tkzInit[xmax=2.5, ymax=1.5]

Demikian pula dengan noktah untuk titik, saya tetapkan

\tkzSetUpPoint[shape=circle,color=IndianRed,size=3mm,fill=Sepia,size=3mm]

dengan beberapa pewarnaan saya tetapkan dalam preamble dengan menyertakan paket xcolor.

Berikutnya saya tetapkan empat koordinat yang membentuk satu persegi.

\tkzDefPoint(0,0){O}
\tkzDefPoint(1,1){A}
\tkzDefPoint(0,1){B}
\tkzDefPoint(1,0){C}

Sedangkan untuk mewakili sumbu $\small x$ saya perlu menetapkan koordinat

\tkzDefPoint(3,0){D}

Kemudian saya menggambar noktah titik pembentuk satu persegi, menamai dua koordinat, dan menggambar wakil dari garis $\small y=1$.

\tkzDrawPoints(O,A,B,C)
\tkzLabelPoint[above](A){$A$}
\tkzLabelPoint[above right](B){$T$}
\tkzDrawLine[add= 2 and 0,color=gray!50](A,B)

Sekarang saya mulai memikirkan titik potong busur berjari-jari $\small\overline{OA}$ pada sumbu $\small x$. Tidak dapat dilakukan melalui busur! Berarti saya harus menetapkan lingkaran (tanpa menggambarnya) berjari-jari $\small\overline{OA}$, kemudian menetapkan titik potongnya itu.

\tkzCalcLength(O,A) %menetapkan panjang jari-jari
\tkzGetLength{radius} %menetapkan jari-jari
\tkzInterLC[R](O,D)(O,\radius pt)\tkzGetSecondPoint{A1}

Sekarang dapat saya gambarkan busur pertama. Lebih dulu saya gambar titik potong itu $\small(A_1)$, menamainya, barulah menggambar busurnya.

\tkzDrawPoint(A1)
\tkzLabelPoint[below](A1){$\ds\sqrt{2}$}
\tkzDrawArc[varying radius,color=biruku](O,A1)(A)

Selanjutnya menggambar jari-jari $\small\overline{OA}$ dan garis tinggi $\small\overline{CA}$.

\tkzDrawSegment[color=gray!50](A,C)
\tkzDrawSegment[color=biruku!50,dashed](O,A)

Untuk menggambar busur kedua, kembali saya memerlukan dua titik. Salah satunya adalah titik potong garis tinggi dari $\small A_1$ terhadap garis $\small y=1$. Saya tetapkan titik potong ini sebagai $\small A_2$, mengambar noktahnya, menamainya, kemudian mengambar garis tingginya.

\tkzDefLine[orthogonal=through A1](O,D) 
\tkzInterLL(A,B)(A1,tkzPointResult)\tkzGetPoint{A2} 
\tkzDrawPoints(A2) \tkzLabelPoint[above](A2){$B$}
\tkzDrawSegment[color=gray!50,opacity=.8](A1,A2)

Langkah berikutnya adalah pengulangan langkah, yaitu saya harus menetapkan lingkaran (tanpa menggambarnya) berjari-jari $\small\overline{OB}$, kemudian menetapkan titik potongnya pada sumbu $\small x$. Titik potong ini saya tetapkan sebagai $\small A_3$, mengambar noktahnya, menamainya, menggambar jari-jari $\small\overline{OB}$, kemudian mengambar busurnya.

\tkzCalcLength(O,A2) %menetapkan panjang jari-jari
\tkzGetLength{radius} %menetapkan jari-jari
\tkzInterLC[R](O,D)(O,\radius pt)\tkzGetSecondPoint{A3} \tkzDrawPoint(A3)
\tkzLabelPoint[below](A3){$\ds\sqrt{3}$}
\tkzDrawSegment[color=biruku!50,dashed](O,A2)
\tkzDrawArc[varying radius,color=biruku](O,A3)(A2)

Demikianlah seterusnya. Berikut ini sisa pengkodean berulang untuk melengkapi gambar pada contoh dokumen di atas.

\tkzDefLine[orthogonal=through A3](O,D) 
\tkzInterLL(A,B)(A3,tkzPointResult)\tkzGetPoint{A4} 
\tkzDrawPoints(A4) \tkzLabelPoint[above](A4){$C$}
\tkzDrawSegment[color=gray!50,opacity=.8](A3,A4)
%-------------------------------------------------------
\tkzCalcLength(O,A4) %menetapkan panjang jari-jari
\tkzGetLength{radius} %menetapkan jari-jari
\tkzInterLC[R](O,D)(O,\radius pt)\tkzGetSecondPoint{A5} \tkzDrawPoint(A5)

\tkzDrawSegment[color=biruku!50,dashed](O,A4)
\tkzDrawArc[varying radius,color=biruku](O,A5)(A4)

\tkzDefLine[orthogonal=through A5](O,D) 
\tkzInterLL(A,B)(A5,tkzPointResult)\tkzGetPoint{A6} 
\tkzDrawPoints(A6) \tkzLabelPoint[above](A6){$D$}
\tkzDrawSegment[color=gray!50,opacity=.8](A5,A6)
%-------------------------------------------------------
\tkzCalcLength(O,A6) %menetapkan panjang jari-jari
\tkzGetLength{radius} %menetapkan jari-jari
\tkzInterLC[R](O,D)(O,\radius pt)\tkzGetSecondPoint{A7} \tkzDrawPoint(A7)
\tkzLabelPoint[below](A7){$\ds\sqrt{5}$}

\tkzDrawSegment[color=biruku!50,dashed](O,A6)
\tkzDrawArc[varying radius,color=biruku](O,A7)(A6)

\tkzDefLine[orthogonal=through A7](O,D) 
\tkzInterLL(A,B)(A7,tkzPointResult)\tkzGetPoint{A8} 
\tkzDrawPoints(A8) \tkzLabelPoint[above](A8){$E$}
\tkzDrawSegment[color=gray!50,opacity=.8](A7,A8)

\tkzDrawSegment[color=biruku!50,dashed](O,A8)
\tkzCalcLength(O,A8) %menetapkan panjang jari-jari
\tkzGetLength{radius} %menetapkan jari-jari
\tkzInterLC[R](O,D)(O,\radius pt)\tkzGetSecondPoint{A9} 
\tkzLabelPoint[below right,yshift=-.2cm](A9){\ldots}

Dokumen di atas saya susun (compile) dalam jaringan melalui Online LaTeX Editor ShareLaTeX. 
Demikian semoga bermanfaat. 

Adjie Gumarang Pujakelana 2015

Teknis Matematis #2 Bentuk Akar, Penyimpulan, Kurung Kurawal Bawah, Pembuktian

Kupasan kali ini akan mengulas tentang penulisan:

• bentuk akar
• tanda "titik-tiga"
• kurung kurawal di bawah modus matematis
• algoritme pembuktian

Mari kita lihat contoh dokumen berikut ini.

Paket amsmath selalu saya gunakan karena merupakan dasar dalam penulisan berbagai modus matematika. Selain itu hingga saat ini saya lebih suka membedakan penggunaan jenis huruf untuk modus matematika dan untuk modus teks. Ini dinyatakan dalam preamble sebagai berikut.

\usepackage{mathpazo}
\renewcommand{\rmdefault}{put}
\usepackage{amsmath,amssymb}

Dalam contoh ini, untuk modus matematika digunakan paket mathpazo sedangkan untuk modus teks digunakan paket utopia dengan nama famili put (Anda dapat memeriksanya pada halaman 38-39).

Baiklah, kita mulai dengan teknis penulisan. Bentuk akar yang ditulis secara inline dengan teks sebaiknya dalam bentuk displaystyle, untuk hasil terbaik. Bentuk akar dibuat oleh perintah \sqrt{...}. Adapun tanda "titik-tiga" dibuat oleh perintah ldots (atau cdots).

$\ds\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{\cdots}}}}= 2$

Untuk menandai tulisan matematis dengan menggunakan kurung kurawal ke arah bawah, kita gunakan perintah \underbrace{...}_{...}.

\underbrace{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{\cdots}}}}_x

algoritme/al·go·rit·me/ n 1 prosedur sistematis untuk memecahkan masalah matematis dl langkah-langkah terbatas: pd sistem FM ini osilator dirangkaikan menurut pola modulasi frekuensi yg disebut --; 2 Man urutan logis pengambilan keputusan untuk pemecahan masalah

Dalam suatu algoritme pembuktian, sesuatu (misalnya dalil atau teorema) yang telah dapat dibuktikan, diakhiri dengan ungkapan "terbukti", yang berasal dari frasa bahasa Latin quod erat demonstrandum (Q.E.D.) yang berarti "yang harus dibuktikan". Dalam bahasa $\small\TeX$, Donald Ervin Knuth telah menyediakan lambang untuk hal ini, yaitu "kotak-hitam" yang ditulis dalam modus matematis oleh perintah \blacksquare. Memang ada beberapa versi lain untuk melambangkan Q.E.D. dalam $\small\LaTeX$, salah satunya berupa "kotak-putih" yang ditulis dalam modus matematis oleh perintah \Box.

$\blacksquare$
$\Box$

Terakhir, kadang (misalnya dalam algoritme pembuktian) kita perlu menyingkat urutan baris-baris berhingga yang tersusun ke arah bawah. Ini juga diwakili oleh lambang "titik-tiga", tetapi ke arah bawah (vertikal). Untuk ini kita gunakan perintah \vdots. Berikut ini yang tertulis pada bagian kanan dalam Jawaban di atas.

\begin{align*}
\sqrt{2} &= 2^{\frac{1}{2}}\\
\sqrt{2\sqrt{2}} &= \sqrt{2}\cdot\sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}\\
\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}} &= \sqrt{2}\cdot\sqrt{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{4}}\cdot2^{\frac{1}{8}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}}\\
 &\vdots \\
\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{\cdots}}}} &= 2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots} 
\end{align*}

Demikian semoga bermanfaat. Dokumen di atas saya susun (compile) dalam jaringan melalui Online LaTeX Editor ShareLaTeX.

Adjie Gumarang Pujakelana 2015