Tumpukan Lingkaran

Mukadimah

Gambar di samping ini saya temukan pada "Aha! Solutions" karya dari Martin Erickson yang diterbitkan pada tahun 2009 oleh Mathematical Association of America. 

Kembali kita akan menggambarnya oleh paket TikZ dengan didukung oleh kepustakaan calc dan intersections. Pewarnaan didukung oleh paket xcolor dalam opsi x11names.

Seperti kita ketahui, titik pusat dari lingkaran (singgung) dalam pada suatu segitiga dibentuk oleh perpotongan garis-garis bagi sudutnya. Secara teknis, kita cukup mengambil dua titik sudut dan menetapkan garis-garis bagi pada keduanya. Tindakan ini dilakukan berulang untuk tiap lingkaran yang kita gambarkan itu.

Agar sintaks kode untuk konstruksi gambar tersebut menjadi lebih ringkas, saya gunakan makro berikut ini untuk menetapkan garis bagi pada suatu sudut.

\newcommand{\bagisudut}[6][]{%
    \path[#1] let
        \p1 = ($(#3)!1cm!(#2)$),
        \p2 = ($(#3)!1cm!(#4)$),
        \p3 = ($(\p1) + (\p2) - (#3)$)
    in
        ($(#3)!#6!(\p3)$) -- ($(\p3)!#5!(#3)$) ;
    }

Sebagai contoh, untuk membagi sudut $A$ kita nyatakan

\bagisudut[draw,CadetBlue4!50,name path=g3] {B}{A}{C}{1.5}{5}

Perhatikan bahwa dalam makro tersebut garis bagi sudut dibuat dalam perintah path sehingga garis baginya tidak tercetak. Opsi draw menampakkan garis bagi itu, semata-mata hanya untuk keperluan dalam tulisan ini, juga disertai oleh pewarnaannya. Opsi nama path diperlukan untuk menetapkan perpotongan dengan garis bagi lainnya. Nilai $1.5$ (dalam sentimeter) menyatakan jarak dari titik sudut $A$ ke belakangnya dan nilai $5$ (dalam sentimeter) menyatakan jarak dari titik sudut $A$ ke depannya.

Lukisan Segitiga

Seperti tampak pada Gambar 1 dalam dokumen terlampir, kita melihat suatu tumpukan lingkaran (a stack of circles) di dalam suatu segitiga sama kaki. Sebagaimana ukuran yang diberikan, kita buat segitiga sama kaki $ABC$ dengan panjang sisi alas $AB=10\,\textrm{cm}$ dan panjang dari kedua kaki itu $AC=BC=13\,\textrm{cm}$. Jelas mudah dalam menetapkan koordinat untuk $C$ karena kita cukup menerapkan tiga bilangan Pythagoras $5$, $12$, $13$, sehingga tinggi segitiga itu adalah $12\,\textrm{cm}$. Dengan demikian dapat kita tetapkan

\coordinate[label=below:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B$] (B) at (10,0);
\coordinate[label=above:$C$] (C) at (5,13);

dan kita gambar segitiganya

\draw[thick](A)--(B)--(C)--cycle;

dan untuk menunjukkan ukuran dari sisi-sisi segitiga itu, kita nyatakan

\path (A)--(B) node[below,midway,yshift=-.1cm] {$10$};
\path (A)--(C) node[left,midway,xshift=-.1cm] {$13$};
\path (C)--(B) node[right,midway,xshift=.1cm] {$13$};

Hasilnya terlihat pada Gambar 1 dalam dokumen terlampir.

Lukisan Lingkaran Pertama

Berikutnya, kita memerlukan koordinat (sebutlah) $D$ dan garis tinggi $\overline{CD}$, yang akan menetapkan perpotongan-perpotongannya pada lingkaran-lingkaran itu. Agar lebih jelas, kita tampakkan saja garis tinggi ini.

\coordinate[label=below:$D$] (D) at (5,0);
\path[draw,Salmon2!50,name path=g0] (D)--(C);

Kita juga memerlukan path dari sisi $\overline{AC}$ dan $\overline{BC}$ untuk menetapkan perpotongan-perpotongan yang digunakan dalam lukisan ini.

\path[name path=g1] (A)--(C);
\path[name path=g2] (B)--(C);

Sekarang kita bersiap untuk membuat lingkaran pertama, yang menyinggung ketiga sisi segitiga. Untuk menetapkan titik pusatnya, kita buat garis bagi pada sudut $A$ dan pada sudut $B$.

\bagisudut[draw,CadetBlue4!50,name path=g3] {B}{A}{C}{1.5}{5}
\bagisudut[draw,CadetBlue4!50,name path=g4] {C}{B}{A}{1.5}{5}

Kemudian kita tetapkan titik pusat itu sebagai titik potong dari kedua garis bagi tersebut.

\path [name intersections={of = g3 and g4, by={O1}}];

Kita namai titik pusat lingkaran pertama itu sebagai $O_1$. Sekarang kita dapat melukiskan lingkaran pertama itu, yang berpusat di $O_1$ dan berjari-jari sepanjang $O_1D$.

\draw[thick,name path=L1]
  let 
  \p1=($(O1)-(D)$),\n1={veclen(\x1,\y1)}
  in
  (O1) circle (\n1);

Untuk menentukan perpotongan berikutnya, kita tetapkan nama path untuk lingkaran ini sebagai $L_1$. Sekalian juga kita tandai oleh noktah titik pusat dari lingkaran pertama ini dan kita letakkan namanya.

\draw[fill] (O1) node[right,xshift=.1cm]{$O_1$} circle(2pt);

Hasilnya tampak pada Gambar 2 dalam dokumen terlampir.

Lukisan Lingkaran Kedua dan Seterusnya

Untuk menggambar lingkaran kedua, kita dapat "menciptakan segitiga baru" dengan sisi alasnya melalui "titik puncak" lingkaran pertama dan sejajar dengan sisi alas. Untuk hal itu, lebih dulu kita tetapkan perpotongan garis tinggi $\overline{CD}$ pada lingkaran pertama, sebutlah $E$.

\path [name intersections={of = g0 and L1, by={E}}];

Untuk membuat ruas garis melalui $E$ dan sejajar dengan $\overline{AB}$, kita memerlukan satu koordinat sebagai acuan, sebutlah $T_1$.

\coordinate[] (T1) at ($(A)!(E)!90:(B)$);

Sekarang kita berdiri di $E$ dan menatap $T_1$. Akan kita buat ruas garis dari $T_1$ ke suatu koordinat yang berjarak $5\,\textrm{cm}$ di belakang $E$.

\path[draw,Purple2!50,name path=g5] (T1)--($(E)!-5cm!(T1)$);

Ruas garis itu sudah dibuat. Untuk menetapkan perpotongannya pada kedua kaki, sebutlah $P$ dan $Q$, kita nyatakan

\path [name intersections={of = g5 and g1, by={P}}];
\path [name intersections={of = g5 and g2, by={Q}}];

Kita dapat menandai oleh noktah dan menamai ketiga titik $E$, $P$, dan $Q$ itu.

\draw[fill] (E) node[below,xshift=.15cm]{$E$} circle(2pt);
\draw[fill] (P) node[above,xshift=-.1cm]{$P$} circle(2pt);
\draw[fill] (Q) node[above,xshift=.1cm]{$Q$} circle(2pt);

Dengan demikian sekarang kita memperoleh "segitiga baru", yaitu $\triangle{CPQ}$, sehingga lingkaran kedua merupakan lingkaran (singgung) dalam pada segitiga ini. Cara menetapkan titik pusat lingkaran kedua dan menggambar lingkarannya persis seperti langkah-langkah yang telah dilakukan di atas.
Kita tetapkan garis bagi pada kedua sudutnya.

\bagisudut[name path=g6]{Q}{P}{C}{1.5}{5}
\bagisudut[name path=g7]{C}{Q}{P}{1.5}{5}

Kita tetapkan perpotongan dari kedua garis bagi itu, sebagai pusat dari lingkaran kedua

\path [name intersections={of = g6 and g7, by={O2}}];

lalu kita gambarkan lingkarannya, dengan pusat di $O_2$ dan berjari-jari sejarak $O_2E$

\draw[thick,name path=L2]
  let 
  \p1=($(O2)-(E)$),\n1={veclen(\x1,\y1)}
  in
  (O2) circle (\n1);

dan kita munculkan noktah dan nama titik pusatnya

\draw[fill] (O2) node[right,xshift=.1cm]{$O_2$} circle(2pt);

Hasilnya tampak pada Gambar 3 dalam dokumen terlampir.

Demikianlah seterusnya, pekerjaan dalam melukis lingkaran kedua diulangi lagi untuk melukis lingkaran ketiga dan keempat sehingga diperoleh hasil seperti tampak pada Gambar 4 dan Gambar 5.

Penutup

Dengan memperoleh hasil seperti tampak pada Gambar 5 berarti kita sudah berhasil dalam membuat tumpukan lingkaran di dalam segitiga itu. Meskipun demikian, agar gambar kita persis seperti yang ditunjukkan oleh gambar pada awal tulisan ini, maka perintah-perintah \draw kita ganti oleh perintah \path, kecuali perintah untuk gambar segitiga, lingkaran-lingkaran, dan nama ukuran sisi segitiga. Sedangkan perintah untuk membuat noktah dan nama titik pusat lingkaran dihapus saja. Dengan demikian akan diperoleh gambar seperti tampak pada Gambar 6.

Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2017