Barangkali Anda pernah menemukan soal dengan dilatari oleh konstruksi seperti tampak pada gambar di samping ini.
A dan B adalah titik-titik pusat dari dua lingkaran yang identik. Berapakah perbandingan luas daerah kuning dan merah?
Nah, Anda harus melukisnya, bukan? Bagaimana Anda dapat melukis gambar itu dengan tepat?
Mula-mula Anda temukan bahwa △ABC sama sisi. Kemudian, dengan tanpa kesulitan, Anda melukis busur dari B ke C sejauh 60∘ berpusat di A dan busur dari A ke C sejauh 60∘ berpusat di B, juga menghubungkan A ke B. Kesulitan baru muncul ketika Anda akan melukis kedua lingkaran itu. Di manakah letak (koordinat) untuk kedua pusat lingkaran itu?
Anda bersiap untuk berhitung. Melalui C, Anda tarik garis sehingga memotong tegak lurus ¯AB di titik (sebutlah) D. Misalkan lingkaran kuning menyinggung busur AC⏜ di titik K dan lingkaran merah menyinggung busur \overparen{AC} di titik L. Hubungkan B ke K sehingga \overline{BK}\cap\overline{CD}=O_1, yang merupakan titik pusat lingkaran kuning.
Berikutnya hubungkan B ke L sehingga \overline{BL}\cap\overline{CD}=O_2, yang merupakan titik pusat lingkaran merah.
Sekarang misalkan jari-jari busur adalah R, jari-jari lingkaran kuning adalah r_1, dan jari-jari lingkaran merah adalah r_2. Anda peroleh
\begin{align*} BD &= \tfrac{1}{2}R\\ DO_1 &= r_1\\ O_1O_2 &= r_1+r_2\\ BO_1 &= R-r_1\\ BO_2 &= R-r_2 \end{align*}
Dengan demikian pada \triangle DBO_1 Anda peroleh
\begin{align*} \left(R-r_1\right)^2 &= {r_1}^2+\left(\tfrac{1}{2}R\right)^2\\ R^2-2Rr_1+{r_1}^2 &= {r_1}^2+\tfrac{1}{4}R^2\\ 2Rr_1 &= \tfrac{3}{4}R^2\\ r_1 &= \tfrac{3}{8}R \end{align*}
dan pada \triangle DBO_1 Anda peroleh
\begin{align*} \left(R-r_2\right)^2 &= \left(2r_1+r_2\right)^2+\left(\tfrac{1}{2}R\right)^2\\ \left(R-r_2\right)^2 &= \left(\tfrac{3}{4}R+r_2\right)^2+\left(\tfrac{1}{2}R\right)^2\\ R^2-2Rr_2+{r_2}^2 &= \tfrac{9}{16}R^2+\tfrac{3}{2}Rr_2+{r_2}^2+\tfrac{1}{4}R^2\\ \tfrac{7}{2}Rr_2 &= R^2-\tfrac{13}{16}R^2=\tfrac{3}{16}R^2\\ r_2 &= \tfrac{2}{7}\cdot\tfrac{3}{16}\cdot R\\ r_2 &=\tfrac{1}{7}r_1\\ r_1 &= 7r_2 \end{align*}
Jadi perbandingan luas daerah lingkaran kuning dan merah adalah
\frac{\pi{r_1}^2}{\pi{r_2}^2}=\frac{{r_1}^2}{{r_2}^2}=\frac{(7r_2)^2}{{r_2}^2}=\frac{49}{1}Lukisan
Anda letakkan titik A pada koordinat (0,0) dan Anda ambil jari-jari busur (misalnya) R=6, maka Anda peroleh r_1=\frac{3}{8}\times6=\frac{9}{4} dan r_2=\frac{1}{7}\times\frac{9}{4}=\frac{9}{28}. Dengan demikian (sebaiknya) dapat Anda tetapkan
\def\r{9/4} % ini nilai r1
\def\rr{9/28} % ini nilai r2
Karena R=6 dan A(0,0) maka D(3,0), sehingga koordinat titik pusat dari kedua lingkaran itu adalah
(3,\r) % pusat lingkaran kuning (O1)
(3,{2*\r+\rr}) % pusat lingkaran merah (O2)
Lebih dulu Anda lakukan pengisian warna pada daerah dari kedua lingkaran itu.
Berikutnya Anda gambar kedua busur dan ruas gari \overline{AB} sebagai path tertutup, sekaligus menamai titik pusatnya dan titik potongnya.
Terakhir Anda gambar kedua lingkaran itu (sekaligus dalam satu baris perintah agar lebih ringkas).
\fill[electricyellow] (3,\r) circle (\r);
\fill[electriccrimson] (3,{2*\r+\rr}) circle (\rr);Berikutnya Anda gambar kedua busur dan ruas gari \overline{AB} sebagai path tertutup, sekaligus menamai titik pusatnya dan titik potongnya.
\draw (0,0) node[left]{$A$} arc (180:120:6) node[above]{$C$} arc (60:0:6) node[right]{$B$}--cycle;Terakhir Anda gambar kedua lingkaran itu (sekaligus dalam satu baris perintah agar lebih ringkas).
\draw[semithick] (3,\r) circle (\r) (3,{2*\r+\rr}) circle (\rr);
Penutup
Agar memudahkan Anda, berikut ini pengkodean selengkapnya untuk gambar tikz tersebut.\begin{tikzpicture}[font=\footnotesize,scale=1,thick]
\def\r{9/4}
\def\rr{9/28}
\fill[electricyellow] (3,\r) circle (\r);
\fill[electriccrimson] (3,{2*\r+\rr}) circle (\rr);
\draw (0,0) node[left]{$A$} arc (180:120:6) node[above]{$C$} arc (60:0:6) node[right]{$B$}--cycle;
\draw[semithick] (3,\r) circle (\r) (3,{2*\r+\rr}) circle (\rr);
\end{tikzpicture}\square Adjie Gumarang Pujakelana 2019
