Menyelesaikan Pertidaksamaan Bentuk Akar dengan Menggunakan Garis Bilangan

Mari kita ulas jawaban dari soal berikut ini.

Tentukan penyelesaian dari $\displaystyle\sqrt{3x-5}<\sqrt{2x+7}$.

Tentu kita akan selesaikan seperti ini

\begin{align*}
\sqrt{3x-5} &< \sqrt{2x+7}\\
3x-5 &< 2x+7\\
3x-2x &< 7+5\\
x &< 12\qquad\cdots\cdots\cdots\quad (1)
\end{align*}

Namun ada dua syarat lainnya yang harus dipenuhi, yaitu:

\begin{align*}
3x-5 &\ge 0\\
3x &\ge 5\\
x &\ge \frac{5}{3}\qquad\cdots\cdots\cdots\quad (2)
\end{align*}

dan

\begin{align*}
2x+7 &\ge 0\\
2x &\ge -7\\
x &\ge -\frac{7}{2}\qquad\cdots\cdots\cdots\quad (3)
\end{align*}

Nah, ketiga batasan tersebut akan menetapkan penyelesaian dari pertidaksamaan pada soal di atas, yaitu semua nilai $\small{x}$ yang memenuhi ketiga batasan itu. Hal inilah yang ditindaklanjuti dengan menggunakan garis bilangan, agar diperoleh penyelesaian yang tepat secara jelas dan mudah. Lalu, bagaimana kita menggambarkannya dengan menggunakan $\small\LaTeX$, seperti tampak pada gambar di atas?

Kita akan menggambarnya dengan menggunakan paket tikz, dalam environment gambar tikz.

\begin{tikzpicture}[scale=.5]
...
\end{tikzpicture}

Kita sengaja perkecil skalanya (dalam 50%) agar gambarnya tidak terlalu melebar.

Menggambar Ruas Garis

Sesuai dengan cakupan yang memadai, kita buat ruas garis dalam rentang $\small{-5\le{x}\le14}$, dengan memuat mata panah pada kedua ujungnya.

\draw[thick,stealth-stealth] (-5,0)--(14,0);

Agar jarak antarbatasan (berupa ruas garis berarah) relatif tampak baik, maka kita atur agar berjarak $\small1\textrm{cm}$.

Sekarang kita tunjukkan batasan (1) yang beranjak dari koordinat $\small(12,0)$ lalu ke $\small(12,1)$, kemudian lurus ke kiri (tak hingga) yang ditunjukkan oleh mata panah pada koordinat $\small(-5,1)$.

\draw[thick,-stealth,Indigo] (12,0)--(12,1)--(-5,1);

Warna Indigo (dan juga warna lainnya) digoreskan oleh paket xcolor dalam opsi svgnames.

Berikutnya kita buat ruas garis untuk batasan (2) yang beranjak dari koordinat $\small\left(\frac{5}{3},0\right)$ lalu ke $\small\left(\frac{5}{3},2\right)$, kemudian lurus ke kanan (tak hingga) yang ditunjukkan oleh mata panah pada koordinat $\small(14,2)$.

Bagaimana koordinat $\small\left(\frac{5}{3},0\right)$ dapat ditetapkan dengan tepat? Paket tikz memiliki library yang bertugas untuk melakukannya, yaitu calc. Kita tidak menggunakan kalkulator untuk menetapkan nilai $\small\frac{5}{3}$.

\draw[thick,-stealth,OrangeRed] ({5/3},0)--({5/3},2)--(14,2);

Batasan (3) kita buat dari koordinat $\small\left(-\frac{7}{2},0\right)$ ke $\small\left(-\frac{7}{2},3\right)$, kemudian lurus ke kanan (tak hingga) yang ditunjukkan oleh mata panah pada koordinat $\small(14,3)$.

\draw[thick,-stealth,RoyalBlue] ({-7/2},0)--({-7/2},3)--(14,3);

Mengarsir "Daerah" Penyelesaian

Nah, penyelesaian dari pertidaksamaan pada soal di atas, tentu saja, adalah semua nilai $\small{x}$ pada garis bilangan yang "terlintasi" oleh bagian dari ketiga ruas garis berarah tersebut. Dalam hal ini penyelesaiannya terletak pada selang $\small\frac{5}{3}\le{x} < 12$. Untuk menandainya kita arsir daerah persegi panjang yang mencakup bagian dari ketiga ruas garis berarah dalam selang tersebut dan untuk hal ini kita memerlukan library patterns dari tikz.

\path[pattern=north west lines,opacity=.8,pattern color=LightSlateGray] ({5/3},0)--({5/3},3)--(12,3)--(12,0)--cycle;

Menandai "Noktah" Absis

Sekarang kita tandai absis-absis yang menjadi pembatas pada penyelesaian terhadap soal di atas. Penanda ini berupa bulatan (circle) yang kita isi warna hitam atau putih secara bersesuaian dengan penyelesaiannya. Untuk hal ini kita gunakan perintah filldraw.

\filldraw[black,fill=white] (12,0) node[below,yshift=-.05cm] {$12$} circle (0.5em) ;

\filldraw[black] ({5/3},0) node[below,yshift=-.05cm] {$\frac{5}{3}$} circle (0.5em) ;

\filldraw[black] ({-7/2},0) node[below,yshift=-.05cm] {$-\frac{7}{2}$} circle (0.5em);

Perhatikan bahwa kita sekaligus menempatkan nilai-nilainya (oleh perintah node), masing-masing di bawah bulatan tersebut dengan menyusutkannya ke arah bawah sejauh $\small0,05\textrm{cm}$.

Menamai Pembatas

Terakhir kita tunjukkan nama-nama pembatas (1), (2), dan (3) pada langkah-langkah penyelesaian dari pertidaksamaan pada soal di atas. Kita letakkan nama-nama ini masing-masing pada koordinat mata panahnya, di kiri atau kanannya.

\node[right] at (14,3) {(3)} node[right] at (14,2) {(2)} node[left] at (-5,1) {(1)};

Pengkodean dan Hasilnya

Berikut ini pengkodean selengkapnya untuk menggambar penyelesaian dari pertidaksamaan pada soal di atas dengan menggunakan garis bilangan, kemudian hasilnya dapat Anda lihat dalam dokumen terlampir di bawahnya.

\documentclass{article}
\usepackage{geometry}
\usepackage[dvipsnames,svgnames]{xcolor}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{utopia,mathpazo}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,patterns}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\begin{tikzpicture}[scale=.5]

\draw[thick,stealth-stealth] (-5,0)--(14,0);

\draw[thick,-stealth,Indigo] (12,0)--(12,1)--(-5,1);

\draw[thick,-stealth,OrangeRed] ({5/3},0)--({5/3},2)--(14,2);

\draw[thick,-stealth,RoyalBlue] ({-7/2},0)--({-7/2},3)--(14,3);

\path[pattern=north west lines,opacity=.8,pattern color=LightSlateGray] ({5/3},0)--({5/3},3)--(12,3)--(12,0)--cycle;

\filldraw[black,fill=white] (12,0) node[below,yshift=-.05cm] {$12$} circle (0.5em) ;

\filldraw[black] ({5/3},0) node[below,yshift=-.05cm] {$\frac{5}{3}$} circle (0.5em) ;

\filldraw[black] ({-7/2},0) node[below,yshift=-.05cm] {$-\frac{7}{2}$} circle (0.5em);

\node[right] at (14,3) {(3)} node[right] at (14,2) {(2)} node[left] at (-5,1) {(1)};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Penutup

Demikianlah, dokumen tersebut saya susun dalam jaringan melalui Online LaTeX Editor ShareLaTeX. 

Semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2015