Daun Descartes

Ketertarikan saya bermula dari jawaban atas sebuah pertanyaan di Quora. Pada jawaban tersebut ditampilkan kurva seperti tampak pada gambar di samping.

Itu adalah bagian grafik dari Folium Descartes. Dalam geometri, Folium Descartes adalah kurva yang ditentukan oleh persamaan \[x^3+y^3-3axy=0\]

Descartes menyebutnya pada tahun 1638 ketika dia bersama Fermat mengembangkan geometri koordinat. Mereka telah memahami dengan baik tentang garis lurus dan irisan kerucut, yang membentuk kurva berderajat 1 dan 2. Ini adalah salah satu kurva kubik pertama yang dipelajari. Koordinat negatif belum dipahami sepenuhnya ketika itu. Descartes membuat sketsa grafik fungsi ini dalam kuadran pertama, di mana kedua unsur koordinat bertanda positif. Kurva ini tampak seperti daun, yang dalam bahasa Latin adalah folium, dan rupanya diduga terlihat mirip dengan kurva berderajat tiga lainnya. Dia mengajukan pertanyaan untuk menemukan garis singgung kepada Fermat dan Roberval (1602-1675). Rupanya mereka masih mengalami kesulitan dengan aturan tanda-tanda untuk perkalian.

Kemudian Fermat mengembangkan metode, yang sekarang disebut adequality, untuk menemukan garis singgung kurva. Ternyata, Descartes meragukan Fermat dapat menemukan garis singgung tersebut, sehingga dia mengirimnya tantangan. Dia tidak memintanya untuk menemukan garis singgung terhadap irisan kerucut - yang berupa kurva-kurva kuadrat dan garis-garis singgungnya telah mereka diketahui - sehingga dia memintanya untuk menemukan garis singgung terhadap fungsi kubik. Kurva kubik tersebut di ataslah yang dimaksud. Metode Fermat berhasil. Dia menemukan garis singgung tersebut.

Folium Descartes memiliki asimtot $x+y+a=0$ dan sumbu simetri $x+y+a=0$. 

Untuk menggambar kurva Folium Descartes dapat dilakukan dengan persamaan parametrik atau koordinat kutub. Semula saya beranggapan bahwa kurva ini dapat digambarkan oleh paket tikz, tetapi ternyata tidak bisa. Kemudian saya beralih dengan menggunakan paket pstrick-add dan pst-func, tetapi saya temui kesulitan dalam mewarnai daunnya. Setelah mengadukan masalah ini di forum, saya peroleh jawaban yang tepat dari Bernard yang menunjukkan cara menggambarnya dengan persamaan parametrik dan dari g.kov yang menunjukkan cara menggambarnya dengan koordinat kutub dengan menggunakan paket asymptote.

Dokumen di bawah ini saya susun dalam Online LaTeX Editor ShareLaTeX dengan menggunakan compiler LaTeX. Pada halaman pertama dan kedua ditunjukkan hasil penggunaan paket pstrick-add dan pada halaman tiga dan empat ditunjukkan hasil penggunaan paket asymptote. Pada halaman 4, g.kov menampilkan hasil yang sangat indah dalam pengembangan lebih lanjut atas Daun Descartes oleh asymptote.

Berikut ini pengkodean selengkapnya beserta dokumen yang dihasilkannya.

Demikian semoga bermanfaat. 

Adjie Gumarang Pujakelana 2015

\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{fourier}
\usepackage{pstricks-add}
\pagestyle{empty}
\usepackage{pst-func}
\usepackage[labelformat=empty]{caption}
\usepackage{asymptote}

\begin{document}

\begin{figure}[!ht]
\centering
\psset{algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25,plotpoints=2000,unit=6}
\begin{pspicture*}(-.25,-.25)(1.9,1.9)
\pscustom[fillstyle = solid, fillcolor =DarkTurquoise!50]{
 \parametricplot{0}{5}{3*t/(1 + t^3) | 3*t^2/(1 + t^3)}
 \parametricplot{5}{200}{3*t/(1 + t^3) | 3*t^2/(1 + t^3)}
 \closepath
 }
 \psaxes[linecolor=gray,xAxis=true,yAxis=true,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-.25,-.25)(1.9,1.9)
 \uput[0](1,1.65){\color{DarkSlateGray}\Large\em Daun Descartes}
\end{pspicture*}
\end{figure}

\begin{figure}[!ht]
\centering
\psset{algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25,unit=3,plotpoints = 2000,unit=1.5}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(2,2)
 \psset{linecolor=DarkSlateGray, linewidth = 1.2pt}
 \parametricplot{-0.99}{0}{3*t/(1 + t^3) | 3*t^2/(1 + t^3)}
 \parametricplot{-600}{-1.01}{3*t/(1 + t^3) | 3*t^2/(1 + t^3)}
\pscustom[fillstyle = solid, fillcolor =DarkTurquoise!50]{
 \parametricplot{0}{5}{3*t/(1 + t^3) | 3*t^2/(1 + t^3)}
 \parametricplot{5}{200}{3*t/(1 + t^3) | 3*t^2/(1 + t^3)}
 \closepath
 }
 \psline[linewidth = 0.4pt, linecolor = black,linestyle=dashed](-2.5; 45)(2.5 ; 45)
 \psline[linewidth = 0.4pt, linecolor = black](-2,1)(2,-3)
\psaxes[linecolor=gray,xAxis=true,yAxis=true,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-2,-2)(2,2)
\uput[0](-1.2,.5){\color{DarkSlateGray}$x^3+y^3-3xy=0$}
\uput[0](-1.8,.25){\color{Gray}$x+y+1=0$}
\uput[0](-1,-1){\color{Gray}$y=x$}
\end{pspicture*}
\caption{\Large\em Daun Descartes}
\end{figure}

\begin{figure}[!ht]
\centering
\begin{asy}
// file fod.asy
// 
// to get fod.pdf, run `asy -f pdf fod.asy` 
//
size(17cm);
import graph;
import fontsize;
defaultpen(fontsize(9pt));

texpreamble("\usepackage{lmodern}");

pen curvepen=darkblue+0.8bp;
pen linepen=darkred+0.8bp;
pen fillpen=orange+opacity(0.5);

real 
xmin=-20, xmax=-xmin, 
ymin=-20, ymax=-ymin; 

xaxis(xmin,xmax,RightTicks(Step=10,step=5,OmitTick(0)));
yaxis(ymin,ymax, LeftTicks(Step=10,step=5,OmitTick(0)));

real a=10;

real r(real t){return 3*a*sin(t)*cos(t)/(sin(t)^3+cos(t)^3);}; 

real tmin=-0.16pi, tmax=pi/2-tmin;

guide 
loop=polargraph(r,0,pi/2)--cycle,
curve=polargraph(r,tmin,tmax);

fill(loop, fillpen);
draw(curve,curvepen);

pair 
p=point(curve,0),
q=point(curve,length(curve));

draw((p.x,-p.x-a)--(-q.y-a,q.y),linepen);
\end{asy}
\end{figure}

\begin{figure}[!ht]
\centering
\begin{asy}
// file fodsp.asy
// 
// to get fodsp.pdf, run `asy -f pdf fodsp.asy` 
//
size(17cm);
import graph;
import fontsize; defaultpen(fontsize(12pt));
texpreamble("\usepackage{lmodern}");

pen[] fillpen={
  red, orange, yellow, green, lightblue, blue, darkblue
};

real 
xmin=0, xmax=20, 
ymin=0, ymax=20; 

xaxis(xmin,xmax,RightTicks(Step=10,step=5));
yaxis(ymin,ymax, LeftTicks(Step=10,step=5));

real ra(real t, real a){return 3*a*sin(t)*cos(t)/(sin(t)^3+cos(t)^3);}; 
real r(real);
guide loop;

real a, a0=10, da=1;
int n=fillpen.length;

real t; pair p;
a=a0;
for(int i=0;i