Riwayat Sebuah Gambar

Perhatikan gambar di samping ini.

$ABCD$ suatu persegi. Titik $P$, $Q$, $R$, dan $S$ terletak pada sisi $ABCD$, $DS=AP$, $\overline{PQ}$ dan $\overline{RS}$ berpotongan tegak lurus di titik $X$. Carilah dengan tepat luas daerah $ABCD$, jika $PX=7$, $XQ=6$, $RX=8$, dan $XS=5$.

Untuk menggambarnya, Anda harus lebih dulu memastikan ukuran sisi persegi, bukan? Oleh karena itu, mula-mula, Anda akan menjawab soal tersebut. Perhatikan kedua gambar di bawah ini. Gambar 1 adalah gambar yang diketahui dan Gambar 2 adalah gambar yang dirujuk dalam perhitungan panjang sisi $ABCD$.

Melalui titik $X$ tariklah garis $\overline{EF}\perp\overline{AB}$. Dari titik $P$ tariklah garis $\overline{PG}\perp\overline{EF}$ sehingga memotong $\overline{EF}$ di titik $G$. Dari titik $Q$ tariklah garis $\overline{QH}\perp\overline{EF}$ sehingga memotong $\overline{EF}$ di titik $H$. 

Misalkan $\measuredangle GPX=\alpha$, maka $\measuredangle HQX=\measuredangle FXS=\alpha$, bukan? Karena $EF=AD=CD$ dan $AP=DS$ maka GF=CS$, sehingga

$$\begin{align*} GX+XF &= QH+FS\\ 7\sin\alpha+5\cos\alpha &= 6\cos\alpha+5\sin\alpha\\ 2\sin\alpha &= \cos\alpha\\ \tan\alpha &= \tfrac{1}{2} \end{align*}$$

Dengan konstruksi nilai $\tan\alpha$ itu pada segitiga siku-siku, Anda peroleh $\displaystyle\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}$. Akhirnya Anda tahu bahwa $AB=13\cos\alpha=\displaystyle\frac{26}{\sqrt{5}}$ dan  $$[ABCD]=\displaystyle\frac{26^2}{5}=\frac{676}{5}=\frac{1352}{10}=135,2\hspace{2mm}\mathrm{satuan\ luas}$$

Konstruksi Gambar

Anda sudah mengetahui panjang sisi persegi, maka Anda dapat menetapkan penghitungan panjang $AB$, $AP=DS$ dan $BR=CQ$ oleh

\pgfmathsetmacro\s{26/sqrt(5)} % panjang sisi persegi
\pgfmathsetmacro\x{9/sqrt(5)} % panjang AP=DS
\pgfmathsetmacro\y{sqrt(64-16*16/5)}
\pgfmathsetmacro\a{\s-14/sqrt(5)-\y} % panjang BR=CQ

Anda tetapkan saja titik $C$ pada pusat koordinat.

\coordinate[label=below:$C$] (C) at (0,0);

Anda dapat menetapkan koordinat titik $D$ dengan memilih kemiringan sisi $\overline{CD}$ tertentu, misalnya $60^\circ$.

\coordinate[label=right:$D$] (D) at (60:\s);

Untuk menetapkan titik $A$, dari $D$ Anda tetapkan garis tegak lurus $\overline{DC}$ sepanjang sisi persegi (didukung oleh kepustakaan calc). 

\coordinate[label=above:$A$] (A) at ($(D)!{\s*1cm}!-90:(C)$);

Untuk menetapkan titik $B$, dari $C$ Anda tetapkan garis tegak lurus $\overline{CD}$ sepanjang sisi persegi. 

\coordinate[label=left:$B$] (B) at ($(C)!{\s*1cm}!90:(D)$);

Anda sudah dapat menggambar persegi $ABCD$. Boleh ditunda dulu, sekarang tetapkan titik $P$ sejarak $AP$ dari $A$ oleh

\coordinate[label=above:$P$] (P) at ($(A)!{\x*1cm}!(D)$);

titik $S$ sejarak $AP$ dari $D$ oleh

\coordinate[label=right:$S$] (S) at ($(D)!{\x*1cm}!(C)$);

titik $R$ sejarak $BR$ dari $B$ oleh

\coordinate[label=left:$R$] (R) at ($(B)!{\a*1cm}!(A)$);

dan titik $Q$ sejarak $BR$ dari $C$ oleh

\coordinate[label=below:$Q$] (Q) at ($(C)!{\a*1cm}!(B)$);

Anda sudah dapat menggambar ruas garis $\overline{PQ}$ dan $\overline{RS}$. Boleh ditunda dulu, Sekarang Anda tetapkan titik potong (didukung oleh kepustakaan intersections) $\overline{PQ}$ dan $\overline{RS}$ sebagai $X$ oleh 

	\path[name path=g1] (P)--(Q) ;
	\path[name path=g2] (R)--(S);
	\path [name intersections={of = g2 and g1, by={X}}];

view raw perpotongan dua garis hosted with ❤ by GitHub

Dengan menggunakan makro

\newcommand{\siku}[4][4mm]
{\coordinate (tempa) at ($(#3)!#1!(#2)$);
\coordinate (tempb) at ($(#3)!#1!(#4)$);
\coordinate (tempc) at ($(tempa)!0.5!(tempb)$);
\draw[gray] (tempa) -- ($(#3)!2!(tempc)$) -- (tempb);
} %

Anda gambar tanda siku-siku di titik/sudut $X$.

\siku{P}{X}{R}

Kemudian dengan dukungan dari kepustakaan decorations.markings dan makro 

\tikzset{
    sama/.style={postaction={decorate,decoration={
        markings,
        mark=at position .485 with {\arrow[scale=1.5]{|}},
        mark=at position .515 with {\arrow[scale=1.5]{|}}
      }}}
}

Anda tandai ruas garis $\overline{AP}$ dan $\overline{DS}$ yang sama panjang oleh

\path[sama] (A)--(P);    
\path[sama] (D)--(S);

Atas dasar pertimbangan tumpang tindihnya gambar, barulah sekarang Anda berikan perintah untuk menggambar persegi dan ruas-ruas garisnya.

\draw[thick] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle (P)--(Q) (R)--(S);

Terakhir, Anda berikan penamaan untuk titik $X$ oleh

\node[above,xshift=2mm] at (X) {$X$};

meletakkan ukuran-ukuran ruas garis oleh

\path (R)--(X) node[below,midway,sloped] {$8$};
\path (S)--(X) node[below,midway,sloped] {$5$};
\path (P)--(X) node[left,midway] {$7$};
\path (Q)--(X) node[left,midway] {$6$}; 

dan menggambar noktah-noktah titik tertentu oleh 

\foreach \t in {P,Q,R,S,X}   
\fill (\t) circle (2.5pt);

Selesai. Gambar Anda tampak seperti pada Gambar 1 di atas.

Demikian semoga bermanfaat.

Bila Anda berminat untuk mempelajari $\LaTeX$ secara khusyuk, silakan bergabung ke Indonesia Digital Teacher atau hubungi @Kalakay via Telegram. 

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2020