Irisan pada Bangun Ruang dalam Sistem Koordinat Ruang

Mukadimah

Kepada saya disodorkan gambar seperti tampak di samping ini. Terhadap gambar tersebut diminta untuk menentukan irisan terhadap prisma $ABC.DEF$. 

Irisan pada suatu bangun ruang adalah suatu bidang yang mengiris atau memotong semua sisi dari bangun ruang itu. 

Perluasan dari bidang itu disebut sebagai bidang pengiris. Salah satu cara untuk melukis irisan pada suatu bangun ruang adalah dengan menggunakan sumbu afinitas. 

Sumbu afinitas adalah suatu garis yang terletak pada satu sisi bangun ruang itu dan melalui dua titik yang diketahui. Sumbu afinitas merupakan garis-potong antara bidang pengiris dan salah satu sisi dari bangun ruang itu.

Pada gambar di samping diminta lukisan dari irisan tehadap prisma $ABC.DEF$ yang melalui titik $K$, $L$, dan $M$ yang diketahui. Sesuai dengan gambar yang diberikan, saya akan membuat lukisan tersebut dalam sistem koordinat ruang dengan menggunakan paket TikZ.

Menggambar Sumbu Koordinat

Pada gambar TikZ, dalam sistem koordinat ruang, sumbu-sumbu $x_+$, $y_+$, dan $z_+$ diatur menurut kaidah jari tangan kanan seperti tampak pada gambar di samping ini. 
Bagian negatif dari tiap sumbu koordinat itu kita gambar dengan garis putus-putus. Kemudian, karena bangun ruang itu "memanjang" ke arah sumbu $x_+$ dan $y_+$, maka kita buat nilai absis dan ordinatnya lebih besar. Saya tetapkan sumbu-sumbu itu sebagai berikut.

\draw[thick,dashed,gray] (-3,0,0)--(0,0,0); % sumbu x-
\draw[thick,-latex] (0,0,0)--(13,0,0) node[anchor=west]{\large$x$}; % sumbu x+
\draw[thick,dashed,gray] (0,-3,0)--(0,0,0); % sumbu y-
\draw[thick,-latex] (0,0,0)--(0,6,0) node[above]{\large$y$}; % sumbu y+
\draw[thick,dashed,gray] (0,0,-7)--(0,0,0); % sumbu z-
\draw[thick,-latex] (0,0,0)--(0,0,6) node[anchor=east]{\large$z$}; % sumbu z+

Hasilnya tampak pada gambar 1 dalam dokumen di bawah tulisan ini.

Menggambar Prisma ABC.DEF

Berdasarkan koordinat titik-titik sudut dari prisma pada gambar di atas, saya gambarkan prisma itu dan langsung menamai keenam titik sudutnya sebagai berikut.

\draw[thick] 
(0,0,0) node[above left] {A}--
(6,0,4) node[below,xshift=-.2cm,black] {B}--
(6,5,4) node[below left,black] {E}--
(0,5,0) node[left] {D} 
(6,0,4)--(6,0,0) node[above,xshift=.2cm] {C}--
(6,5,0) node[above] {F}--(0,5,0) 
(6,5,4)--(6,5,0);

Hasilnya tampak pada gambar 2 dalam dokumen di bawah tulisan ini.

Menggambar Irisan pada Prisma ABC.DEF

Untuk menggambar bidang pengiris dan irisannya, saya perlu menetapkan beberapa koordinat sebagai berikut.

\coordinate (X) at (13,0,0); % ujung sumbu x
\coordinate (A) at (0,0,0);
\coordinate (B) at (6,0,4);
\coordinate (C) at (6,0,0);
\coordinate (D) at (0,5,0);
\coordinate (E) at (6,5,4);

Kemudian, berdasarkan pada gambar di atas, saya menetapkan titik $K$, $L$, dan $M$, menamainya, dan menandainya dengan "noktah" sebagai berikut.

\path (4,0,2.68) coordinate (K) node[below,yshift=-.1cm,xshift=-.1cm] {K};
\path (6,3,0) coordinate (L) node[right,xshift=.1cm,,yshift=.1cm] {L};
\path (3,5,0) coordinate (M) node[above,yshift=.1cm] {M};
\draw[SeaGreen,thin,fill=Yellow] (K) circle (2pt) (L) circle (2pt) (M) circle (2pt);

Hasilnya tampak pada gambar 3 dalam dokumen di bawah tulisan ini.

Pada gambar di atas, titik $L$ dan $M$ terletak sebidang, yaitu pada bidang $ACFD$ atau pada bidang $xy$. Dengan demikian garis $\overleftrightarrow{LM}$ merupakan sumbu afinitas.

1. Tarik $\overleftrightarrow{LM}$ sehingga memotong sumbu $x$, misalkan, di titik $P$.
2. Bidang $ABC$ terletak pada bidang $xz$. Titik $K$ terletak pada bidang $ABC$ atau pada bidang $xz$ dan sebidang dengan titik $P$. Tarik $\overleftrightarrow{PK}$ sehingga memotong $\overleftrightarrow{BC}$, misalkan, di titik $Q$.
3. Titik $L$, titik $Q$, dan $\overleftrightarrow{EB}$ sebidang, yaitu pada bidang $BCFE$. Tarik $\overleftrightarrow{LQ}$ sehingga memotong $\overleftrightarrow{EB}$, misalkan, di titik $R$.
4. Titik $R$, titik $K$, dan $\overleftrightarrow{DE}$ sebidang, yaitu pada bidang $ABED$. Tarik $\overleftrightarrow{RK}$ sehingga memotong $\overleftrightarrow{DE}$, misalkan, di titik $S$.
5. Sekarang kita sudah mendapatkan bidang pengiris terhadap prisma $ABC.DEF$, yang melalui titik $K$, $L$, dan $M$, yaitu bidang $KQLMS$.

Sekarang kita buat ruas garis $MN$ dan memanjangkannya pada kedua ujungnya.

\draw[densely dashed,LimeGreen] (M)--(L); %membuat ruas garis ML
\path[darkgray] ($(M)!-2cm!(L)$) node[left,yshift=.1cm] {1} coordinate (U); % memanjangkan ke kiri dari M
\path ($(L)!-6cm!(M)$) coordinate (V); % memanjangkan ke kanan dari L
\draw[LimeGreen] (U)--(M) (L)--(V);

Kemudian kita tetapkan perpotongan dari $\overleftrightarrow{ML}$ dan $\overleftrightarrow{OX_+}$ sebagai titik $P$, menandainya oleh "noktah", dan menamainya.

\coordinate[label=above:P] (P) at (intersection of A--X and L--V);
\draw[SeaGreen,thin,fill=Yellow] (P) circle (2pt) ;

Hasilnya tampak pada gambar 4 dalam dokumen di bawah tulisan ini.
Berikutnya kita tetapkan titik $Q$ sebagai perpotongan dari $\overline{BC}$ dan $\overline{PK}$, menggambar $\overline{PQ}$, dan memanjangkannya pada kedua ujungnya.

\coordinate[label=below right:Q] (Q) at (intersection of C--B and P--K);
\draw[densely dashed,Tomato] (K)--(Q);
\draw[Tomato] (Q)--($(P)!-2cm!(Q)$) node[right,yshift=.1cm,darkgray] {2}; % memanjangkan ke arah P
\draw[Tomato] (K)--($(K)!-2cm!(Q)$); % memanjangkan ke arah sumbu z
\draw[SeaGreen,thin,fill=Yellow] (Q) circle (2pt) ;

Hasilnya tampak pada gambar 5 dalam dokumen di bawah tulisan ini.

Untuk menghubungkan titik $L$ dan $Q$ yang sebidang, lebih dulu kita perpanjangkan $\overline{EB}$ ke arah $B$ oleh

\draw[darkgray] (B)--($(B)!-5cm!(E)$) node[below] {3} coordinate (T);

sekaligus menetapkan titik ujungnya sebagai $T$. Barulah memperpanjang $\overline{LQ}$ pada kedua arah sekaligus oleh

\draw[DodgerBlue] ($(L)!-2cm!(Q)$) node[above,darkgray] {4}--($(Q)!-6cm!(L)$) coordinate (G);

dan menetapkan titik ujungnya sebagai $G$. Ini dilakukan karena ruas garis ini tidak diselangi oleh bagian ruas garis putus-putus. Lalu menetapkan titik potong dari $\overleftrightarrow{EB}$ dan $\overleftrightarrow{LQ}$ sebagai $R$.

\coordinate[label=right:R] (R) at (intersection of B--T and L--G);
\draw[SeaGreen,thin,fill=Yellow] (R) circle (2pt) ;

Hasilnya tampak pada gambar 6 dalam dokumen di bawah tulisan ini.

Sekarang kita menggambar dan memperpanjang $\overline{RK}$ pada kedua arah sekaligus oleh

\draw[SlateBlue] ($(R)!-2cm!(K)$) node[below] {5}--($(K)!-7cm!(R)$) coordinate (H);

sekaligus menetapkan titik ujungnya sebagai $H$. Kemudian menetapkan titik potong dari $\overleftrightarrow{RK}$ dan $\overline{DE}$ sebagai $S$.

\coordinate[label=below left:S] (S) at (intersection of R--H and D--E);
\draw[SeaGreen,thin,fill=Yellow] (S) circle (2pt) ;

Kemudian kita menggambar dan memperpanjang $\overline{SM}$ pada kedua arah sekaligus oleh

\draw[Crimson] ($(S)!-1.25cm!(M)$)--($(M)!-2cm!(S)$) node[right,darkgray,yshift=.1cm] {6};

Hasilnya tampak pada gambar 7 dalam dokumen di bawah tulisan ini.

Terakhir kita akan menandai irisan pada prisma $ABC.DEF$, yaitu bidang $KQLMS$ oleh suatu arsiran. Kita buat arsiran itu oleh

\path[pattern=north west lines,pattern color=RosyBrown] (K)--(Q)--(L)--(M)--(S)--(K);

Hasilnya tampak pada gambar 8 dalam dokumen di bawah tulisan ini. 

Penutup

Untuk keperluan gambar tersebut, pada mukadimah harus kita siapkan

\usepackage[svgnames,dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,intersections,patterns}

Demikianlah pengkodean selengkapnya dapat Anda peroleh di sini.

Semoga tulisan ini bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2016