Koordinat Kutub

Pengantar

Secara umum kita mengenal dua tata koordinat, yaitu koordinat kartesius dan koordinat kutub. Pada tulisan ini akan kita bahas tentang penggunaan koordinat kutub dalam menggambar prisma (seperti tampak pada gambar di samping) dengan menggunakan paket TikZ. Gambar itu dibuat berdasarkan pada butir soal Ujian Nasional Tahun 2005 Matematika SMK Teknologi berikut ini.

Diketahui prisma ${ABC.DEF}$, $AB=8\ \textrm{cm}$, $AC=6\ \textrm{cm}$, $AB\perp AC$, dan volume prisma $240\,\textrm{cm}^3$. Tinggi prisma tersebut adalah ....
A. $5\ \textrm{cm}$
B. $10\ \textrm{cm}$
C. $15\ \textrm{cm}$
D. $20\ \textrm{cm}$
E. $30\ \textrm{cm}$

Langkah awal dalam menggambarnya, tentu, dengan menetapkan koordinat titik $A$.  Menetapkan koordintat titik $D$, dengan panjang $AD$ tertentu, mungkin bukan masalah karena $\overline{AD}$ tegak (vertikal), tetapi tidak demikian dalam hal menetapkan koordinat titik $B$. Hal lain, tentu kita ketahui bahwa besar sudut bertanda negatif dalam arah searah putar jarum jam, demikian pula sebaliknya.


Untuk contoh konstruksi ini disyaratkan

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,intersections}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=newest}

sedangkan untuk menandai sudut siku-siku digunakan makro

\newcommand{\siku}[4][.3cm]
{\coordinate (tempa) at ($(#3)!#1!(#2)$);
 \coordinate (tempb) at ($(#3)!#1!(#4)$);
 \coordinate (tempc) at ($(tempa)!0.5!(tempb)$);%midpoint
 \draw[gray] (tempa) -- ($(#3)!2!(tempc)$) -- (tempb);
}

Menetapkan koordinat kutub suatu titik

Dalam $\LaTeX$, koordinat kutub dari suatu titik $P$ menyatakan pasangan dari besar sudut $\theta=\angle{X_+OP}$ dan $r=OP$. Suatu koordinat kutub ditetapkan oleh

(besar sudut:panjang jari-jari)

Sebagai contoh, kita tetapkan dulu titik $\small{A}$ pada titik asal (origin) dengan

\coordinate (A) at (0:0);

Bagaimana cara menetapkan koordinat lainnya? Bayangkan, kita tetapkan sumbu $\overrightarrow{OX_+}$ sebagai kaki tetap/diam (invariant). Kemudian dengan berpusat di $O$, dari suatu titik pada $\overrightarrow{OX_+}$ kita buat busur dengan sudut pusat sebesar $\theta$ dan berakhir di titik $P'$, maka kita peroleh ruas garis $\overline{OP}$ dengan $OP'=r$.
Berdasarkan konsep itu, titik $B$ dibuat dengan membentuk sudut pusat $10^\circ$ searah putar jarum jam dengan jari-jari $4,5\ \textrm{cm}$. Kita tetapkan

\coordinate (B) at (-10:4.5);

dan titik $C$ dibuat dengan membentuk sudut pusat $50^\circ$ berlawanan arah putar jarum jam dengan jari-jari $1,75\ \textrm{cm}$, sehingga kita tetapkan

\coordinate (C) at (50:1.75);

sedangkan titik $D$ dibuat dengan membentuk sudut pusat $90^\circ$ berlawanan arah putar jarum jam dengan jari-jari $1,75\ \textrm{cm}$, sehingga kita tetapkan

\coordinate (D) at (90:3.5);

Untuk "melihat apa yang terjadi", kita hubungkan ketiga titik $A$, $C$, dan $B$ dalam garis putus-putus (dashed) yang "tipis" (help lines).

\draw[dashed,help lines] (A)--(C)--(B) ;

Kemudian kita hubungkan pula titik $D$, $A$, dan $B$ dalam bentuk garis utuh yang "normal" (thick).

\draw[thick] (D)--(A)--(B);

Muncul masalah, bukan? Bagaimana cara menetapkan koordinat titik $F$ agar $\overline{CF}\parallel\overline{AD}$?
Untuk hal ini kita memerlukan titik bantu $T$. Kita tetapkan suatu ruas garis dari $D$ ke arah $C$ yang menyiku di $T$, sehingga

\coordinate (T) at ($(D -| C)$);

Koordinat titik $F$ diperoleh sebagai ujung ruas garis $\overline{CT}$ yang dibuat sepanjang $3,5\ \textrm{cm}$.

\path ($(C)!3.5cm!(T)$) coordinate (F);

Untuk melihat apa yang terjadi, kita hubungkan $C$, dan $F$ dalam garis putus-putus.

\draw[dashed] (C)--(F);

Dengan cara yang sama, kita buat ruas garis $\overline{BE}$ yang sejajar dengan $\overline{AD}$ dan $\overline{CF}$.

\coordinate (P) at ($(D -| B)$);
\path ($(B)!3.5cm!(P)$) coordinate (E);
\draw[thick] (B)--(E);

Sekarang sudah "aman", tinggal melakukan "sentuhan akhir". Membuat sisi atas

\draw[thick] (D)--(E)--(F)--cycle;

lalu menandai sudut siku-siku di $A$

\siku{B}{A}{C}

dan menamai titik-titik $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, dan $F$.

\node[below] at (A) {$A$} node[right] at (B) {$B$} node[right,yshift=.1cm] at (C) {$C$} node[left] at (D) {$D$} node[right] at (E) {$E$} node[above] at (F) {$F$};

Penutup

Dari uraian di atas, diharapkan Anda sudah dapat:

• menetapkan dan menggunakan koordinat-koordinat titik yang dinyatakan dalam koordinat kutub
• membuat garis yang sejajar dengan garis lain dan melalui suatu titik di luar garis yang diketahui
• menandai sudut siku-siku dengan menggunakan makro

Adapun pengkodean selengkapnya beserta dokumen yang dihasilkannya dari contoh kontruksi di atas dapat Anda lihat di bawah ini.

Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2016

\documentclass{article}
\usepackage{fourier}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,intersections}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=newest}
\newcommand{\siku}[4][.3cm]
{\coordinate (tempa) at ($(#3)!#1!(#2)$);
 \coordinate (tempb) at ($(#3)!#1!(#4)$);
 \coordinate (tempc) at ($(tempa)!0.5!(tempb)$);%midpoint
 \draw[gray] (tempa) -- ($(#3)!2!(tempc)$) -- (tempb);
}
\usepackage[active,tightpage]{preview}
\PreviewEnvironment[]{tikzpicture}

\begin{document}

\centering

\begin{tikzpicture}[scale=1.5,line join=rounded]
\coordinate (A) at (0:0) coordinate (B) at (-10:4.5) coordinate (C) at (50:1.75) coordinate (D) at (90:3.5);
\draw[dashed,help lines] (A)--(C)--(B) ;
\draw[thick] (D)--(A)--(B);
\coordinate (T) at ($(D -| C)$);
\path ($(C)!3.5cm!(T)$) coordinate (F);
\draw[dashed] (C)--(F);

\coordinate (P) at ($(D -| B)$);
\path ($(B)!3.5cm!(P)$) coordinate (E);
\draw[thick] (B)--(E);

\draw[thick] (D)--(E)--(F)--cycle;
\siku{B}{A}{C}
\node[below] at (A) {$A$} node[right] at (B) {$B$} node[right,yshift=.1cm] at (C) {$C$} node[left] at (D) {$D$} node[right] at (E) {$E$} node[above] at (F) {$F$};
\end{tikzpicture}

\end{document}