Bermain Sudut

Pengantar

Anda pernah menemukan gambar seperti itu, bukan?

Tentu, mudah ditebak, masalah yang bertalian dengan gambar tersebut adalah perhitungan besar sudut dan yang ditanyakan adalah nilai sudut $\beta=\measuredangle{HAG}$. Dengan menggunakan algoritme dalam perhitungan secara aljabar kita akan menemukan bahwa $\beta=10^\circ$. Lalu bagaimana kita dapat membuat gambar tersebut?

Tampak diketahui bahwa $\triangle{ABC}$, $\triangle{BDC}$, $\triangle{CDE}$, $\triangle{DFE}$, $\triangle{EFG}$, dan $\triangle{FHG}$ masing-masing berupa segitiga sama kaki dan tiap pasang kaki yang sama panjang itu berukuran sama pada semua segitiga tersebut meskipun secara "tipuan mata" (optical illusion) tampak "janggal" untuk dikatakan sama panjang.

Kembali saya gunakan paket TikZ untuk membuat gambar tersebut. Dengan dukungan dari kepustakaan decorations.markings dan pewarnaan oleh paket xcolor dalam opsi x11names, saya gunakan makro berikut ini untuk menandai tiap kaki segitiga yang sama panjang itu. 

Menggambar Kaki Sudut A

Menunjukkan besar sudut $\beta=10^\circ$ secara visual akan menampakkan bagian cakupan-dalam sudut (interior angle) yang terlalu sempit. Oleh karena itu diperlukan suatu trik, dengan mengatur skala yang memadai, agar gambarnya tampak baik. Dalam hal ini, pada opsi gambar TikZ, saya atur skala dan pertemuan antarruas garis sebagai berikut.

Kita mulai menetapkan titik sudut (vertex) $A$ pada titik asal. Kemudian dalam arah mendatar (pada sudut $0^\circ$) kita tetapkan koordinat (sebutlah) $P$ sejarak $15\,\textrm{cm}$ dari $A$, sebagai kaki pertama dari $\angle{A}$. Berikutnya, sebagai kaki kedua dari $\angle{A}$, pada sudut $10^\circ$ kita tetapkan koordinat (sebutlah) $Q$ juga sejarak $15\,\textrm{cm}$ dari $A$. 

Sesuai dengan gambar yang diberikan, kita langsung menamai koordinat $A$ tersebut.

Mengambar Barisan Segitiga Sama Kaki

Karena tiap segitiga itu sama kaki maka dapat kita tetapkan lintasan-lintasan (path-path) lingkaran pada titik-titik $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, dan $G$ dan menetapkan perpotongannya baik terhadap $\overline{AP}$ maupun terhadap $\overline{AQ}$. Dalam hal ini saya tetapkan panjang jari-jarinya $2,5\,\textrm{cm}$. Untuk menetapkan perpotongan dari dua kurva kita memerlukan dukungan dari kepustakaan intersections. Selain itu, agar lintasan dari lingkaran-lingkaran itu tidak menyita bidang halaman maka bidang gambar itu dapat kita batasi dengan menggunakan perintah clip dalam bentuk persegi panjang.

Kita sudah menetapkan koordinat untuk $B$, lintasan untuk $\overline{AP}$, lintasan untuk $\overline{AQ}$, dan lintasan untuk lingkaran berpusat di $B$ yang berjari-jari $2,5\,\textrm{cm}$. Karena lintasan lingkaran diawali pada sudut $0^\circ$ dan dalam arah putar berlawanan dengan arah putar jarum jam, maka lebih dulu lintasan lingkaran itu akan memotong $\overline{AQ}$ dan itulah yang kita perlukan, yaitu menetapkan titik $C$.

Sekarang kita berada di titik $C$. Akan dibuat lingkaran berpusat di $C$ dan berjari-jari $2,5\,\textrm{cm}$. Tentu (dengan pemahaman tadi), terhadap $\overline{AP}$, lintasan lingkaran itu akan lebih dulu memotongnya di $B$ baru kemudian pada suatu titik kedua (ini yang kita perlukan) yang akan kita namai sebagai $D$.

Perhatikan bahwa penetapan kedua titik potong itu berurutan, $T1$ sebagai titik potong pertama dan $D$ sebagai titik potong kedua. Sebenarnya sudah ada $B$ sebagai titik potong pertama itu, tetapi dalam penetapan perpotongan itu tetap harus kita cantumkan (oleh nama lain) keduanya.

Demikianlah dengan cara serupa kita tetapkan lintasan-lintasan lingkaran lainnya untuk titik-titik berikutnya beserta perpotongannya pada salah satu kaki $\angle A$ yang diperlukan.

Nah, dengan menggunakan tiga koordinat terkait untuk membentuk sudut, sekarang kita dapat menandai sudut senilai $\beta$ dan sudut senilai $70^\circ$ itu. Untuk hal ini kita memerlukan dukungan dari kepustakaan angles.

Berikutnya kita akan menandai ruas-ruas garis sebagai kaki-kaki segitiga yang sama panjang. Untuk hal ini kita menetapkannya pada lintasan-lintasan dari tiap ruas garis tersebut.

Akhirnya, sekarang dapat kita gambarkan semua ruas yang tampak pada gambar di atas. (Sebenarnya, untuk sementara, langkah ini dapat kita lakukan sebelum ini. Gambar dari tiap ruas garis dibuat belakangan agar tidak tertimpa oleh penandaan ruas-ruas garis yang sama panjang itu.) 

Penutup

Ketepatan dalam menetapkan titik potong yang diperlukan untuk gambar ini merupakan salah satu kunci dalam membuat gambar tersebut. Hal penting lainnya adalah penggunaan perintah clip untuk membatasi bidang gambar agar tidak meluas, juga imajinasi/penalaran untuk keperluan gambar tersebut.
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2017

Persegi, Busur, dan Pengarsiran

Pengantar

Pada beberapa naskah soal sering kita temui butir soal yang berkaitan dengan gambar seperti tampak di samping ini. Terasa bahwa kecakapan yang harus dimiliki sehubungan dengan menggambar persegi, menggambar busur, dan mengarsir daerah seperti yang ditunjukkan itu.

Untuk gambar tersebut saya gunakan paket TikZ sedangkan pewarnaan dengan menggunakan paket xcolor disertai oleh ketiga opsinya.

\usepackage[x11names,dvipsnames,svgnames]{xcolor}

Selain itu saya juga gunakan warna bistre yang ditetapkan lebih dulu pada mukadimah.

\definecolor{bistre}{RGB}{61,43,31}

Gambar juga didukung oleh kepustakaan TikZ intersections, patterns, dan angles.

Koordinat-koordinat dan Persegi

Koordinat $A$, $B$, $C$, dan $D$ saya tetapkan beserta penamaannya. Mula-mula saya tempatkan koordinat $A$ pada titik asal kemudian diikuti oleh tiga koordinat lainnya demikian sehingga membentuk suatu persegi dengan panjang sisi (saya tetapkan) $7\,\textrm{cm}$.

Hasilnya terlihat pada Gambar 1.

Menggambar Busur

Busur pertama kita buat dengan mengacu pada koordinat $A$ sebagai pusat, kemudian busur dibuat dari sudut awal $0^\circ$ dan berakhir pada sudut $90^\circ$ dengan jari-jari $7\,\textrm{cm}$. Busur kedua kita buat dengan mengacu pada koordinat $B$ sebagai pusat, kemudian busur dibuat dari sudut awal $180^\circ$ dan berakhir pada sudut $90^\circ$ dengan jari-jari $7\,\textrm{cm}$. Perhatikan kode pada baris 9 dan 10 berikut ini.

Hasilnya terlihat pada Gambar 2.

Mengarsir Daerah Busur

Pada kenyataannya kedua busur itu berpotongan pada sudut $60^\circ$ dari pusat $A$. Untuk itu pengarsiran dapat diawali pada lintasan (tanpa menggambarkan garisnya) dari koordinat $B$ dengan sudut awal $0^\circ$ dan berakhir pada sudut $60^\circ$ kemudian, dengan mengacu pada pusat $B$, dilanjutkan oleh sudut awal $120^\circ$ dan berakhir pada sudut $180^\circ$. Tentu saja, jari-jarinya $7\,\textrm{cm}$. (Pengarsiran memerlukan dukungan dari kepustakaan patterns dalam paket Tikz.)

Agar pengarsiran itu tidak menutupi/menindas/menimpa gambar ruas garis yang telah dilukis sebelumnya maka opsi pengarsiran (dalam perintah path) diletakkan sebelum perintah menggambar (draw) ruas garis untuk persegi dan busur. Perhatikan kode pada baris 7 berikut ini.

Hasilnya terlihat pada Gambar 3.

Melengkapi Gambar

Sekarang kita akan menetapkan titik potong dari kedua busur. Karena itulah pada saat memberikan perintah untuk menggambar busur kita namai tiap busur itu oleh opsi name path=.... Perhatikan baris 12 dan 13. (Penetapan perpotongan dari dua garis memerlukan dukungan dari kepustakaan intersections dalam paket Tikz.) Penetapan opsi pada baris 12 dan 13 itu terkait dengan penetapan perpotongan dari lintasan (path) kedua busur seperti ditunjukkan oleh kode pada baris 15.

Perhatikan baris 16. Perintah utamanya sebenarnya adalah menggambar ruas garis terputus-putus dari $B$ ke $E$ kemudian ke $A$ oleh

\draw[bistre,densely dashed] (B)--(E)--(A) ;

tetapi, setelah koordinat $E$, sekalian saja disisipkan peletakkan nama untuk $E$ oleh

node[above,black]{$E$}

dan peletakkan nama untuk panjang ruas garis $\overline{BE}$ oleh

node[above,midway,sloped,black] {$7$\,cm}

juga, setelah koordinat $A$, disisipkan peletakkan nama untuk panjang ruas garis $\overline{EA}$ oleh

node[above,midway,sloped,black] {$7$\,cm}

Baris 17 menyatakan penandaan dan peletakkan nama ukuran sudut sebagai

\pic[draw=..., angle eccentricity=..., angle radius=...,pic text=...]{angle=...};

Untuk penandaan dan peletakkan nama ukuran sudut kita memerlukan dukungan dari kepustakaan angles dalam paket Tikz.
Nah, hasil akhirnya terlihat pada Gambar 4.

Penutup

Dalam hal ini, barangkali, ukuran tingkat kerumitannya terletak pada saat kita akan menggambar busur dan ketika kita akan menetapkan daerah pengarsiran yang diapit oleh kedua busur itu. Untuk hal itu kita perlu berimajinasi.
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2017

Menggunakan Panjang Ruas Garis sebagai Jari-jari

Pendahuluan

Kali ini kita akan meninjau masalah berikut ini.

Gambar 1 adalah konsep sebuah masjid yang akan dibangun. Penampang kubah berupa setengah lingkaran dan menyinggung segitiga siku-siku $ABC$ dengan $\measuredangle A=90^\circ$. Jika diketahui $PC=5$ meter, maka radius kubah adalah ... meter.

Menggambar busur tersebut memerlukan suatu trik karena kita harus memanfaatkan panjang ruas garis sebagai jari-jari dari suatu lingkaran. Dalam hal ini masalah tersebut akan diulas dengan mengacu pada penggunaan paket TikZ.

Koordinat-koordinat dan Gambar Dasar

Kita tetapkan dulu koordinat $A$ pada titik asal.

\coordinate[label=above:$A$](A) at (0,0);

Karena sudut $A$ itu siku-siku dan (dalam hal ini) kedua kaki dari $\angle A$ itu sama panjang, maka kita tetapkan koordinat $B$ pada sudut $225^\circ$ dan koordinat $C$ pada sudut $315^\circ$ dan panjang kakinya masing-masing saya tetapkan sebagai $3\,\textrm{cm}$ dari pusat acuan $A$.

\coordinate[label=left:$B$] (B) at (225:3cm);
\coordinate[label=right:$C$] (C) at (315:3cm);

Kemudian dari $C$ kita tetapkan koordinat $D$, saya pilih, sejarak $1,8\,\textrm{cm}$ dari titik $C$ dengan $\overline{CD}\perp\overline{CB}$.

\coordinate (D) at ($(C)!1.8cm!90:(B)$);

Dalam cara yang sama, kita tetapkan koordinat $E$ sejarak $1,8\,\textrm{cm}$ dari titik $B$ dengan $\overline{BE}\perp\overline{BC}$.

\coordinate (E) at ($(B)!1.8cm!-90:(C)$);

Sekarang dapat kita buat Gambar 3 sebagai berikut.

\draw[densely dashed,bistref!50] (B)--(A)--(C);
\draw[thick] (B)--(C)--(D)--(E)--cycle;

Panjang Ruas Garis sebagai Jari-jari

Perhatikan Gambar 1 pada soal di atas. Kubah tersebut berupa busur dari suatu lingkaran yang berpusat di tengah-tengan $\overline{BC}$. Kita misalkan titik pusat lingkaran ini sebagai $O$ dan kita tetapkan

\coordinate (O) at ($(B)!.5!(C)$);

Bagaimanakah kita dapat menggambarkan busur tersebut?

Pertama, kita pikirkan jar-jarinya. Karena $\overline{AB}$ merupakan garis singgung pada lingkaran itu maka jari-jarinya kita tetapkan sebagai ruas garis yang menghubungkan $O$ terhadap proyeksinya pada $\overline{AB}$. Jari-jari demikian kita nyatakan sebagai

( $ ( $ (A)!(O)!(B) $ )-(O) $ )

Kita tidak akan menggambarkan lingkarannya, tetapi untuk menggambar suatu busur kita memerlukan titik pusat, koordinat awal, koordinat akhir, dan panjang jari-jarinya. Untuk gambar busur tersebut, kedua koordinat awal dan akhir itu merupakan titik potong dari lingkaran berpusat di $O$ itu dan ruas garis $\overline{BC}$. Oleh karena itu, tanpa menggambar, kita tetapkan lintasan (path) untuk $\overline{BC}$

\path[name path=g1] (B)--(C);

dan lintasan untuk lingkaran itu

\path[name path=L]
  let 
  \p1=( $ ( $ (A)!(O)!(B) $ )-(O) $ )% jari-jari
  in
  (O) circle ({veclen(\x1,\y1)});% panjang jari-jari

Kemudian kita tetapkan perpotongannya (salah satunya, kita memerlukan nama $P$)

\path [name intersections={of = L and g1, by={P,Q}}];

dan menunjukkan nama koordinat $P$

\node[below] at (P) {$P$};

Nah, sekarang kita dapat melukis suatu busur yang berawal dari $Q$ dan berakhir di $P$ dengan jari-jari sepanjang $OP$. Ini berarti, dengan pusat $O$, kita berjalan dari sudut $180^\circ$ ke sudut $0^\circ$. Hal itu kita nyatakan sebagai

\draw[thick] 
let 
\p1=($(O)-(P)$),% jari-jari
\n1={veclen(\x1,\y1)}% panjang jari-jari
      in (Q) arc (180:0:\n1);

dan hasilnya tampak sebagai berikut.

Terakhir akan kita buat "tonggak" dari puncak kubah dan berujung di $A$. Untuk hal ini saya buat lintasan (path) busur, dalam jari-jari $OP$, dari $P$ hingga mencapai sudut $90^\circ$. Koordinat dari titik ujung busur ini saya tetapkan sebagai $F$.

\path 
let \p1=($(O)-(P)$),
\n1={veclen(\x1,\y1)}
      in (P) arc (0:90:\n1) coordinate (F);

dan menggambar "tonggak" $\overline{AF}$ itu

\draw[thick] (A)--(F);

Hasil akhirnya terlihat sebagai berikut.

Penutup

Untuk menyelesaikan masalah semacam ini, ada hal pokok yang harus kita ingat, yaitu dalam penetapan panjang ruas garis sebagai jari-jari beserta cara menggambarkan busur atau lingkarannya.
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2017