Tabel dan Pengurutan

Bagaimana cara membuat ini?

Ketika menyusun soal Matematika, saya menemukan butir pilihan jawaban yang berupa argumentasi (penarikan kesimpulan) dan terdiri dari dua premis beserta konklusinya. Saya mencari cara agar susunannya rapi seperti tampak pada gambar.

Ternyata kita cukup membuatkan perintah dalam bentuk tabel yang akan memuat kedua premis dan kesimpulannya tersebut dengan kode sebagai berikut.

\newcommand{\logicarg}[2]{% \logicarg{}{}
  \begin{tabular}[t]{@{}l@{}}
    #1 \\ \hline #2
  \end{tabular}%
}

Untuk pengurutan ke arah samping dengan jarak tertentu kita gunakan:

itemjoin=\hspace{5em}

(Teknis dalam membuat daftar urut dapat Anda lihat di sini.)

Selanjutnya, sering kali kita memerlukan penomoran pada tabel yang kita buat. Saya ingin agar penomoran tersebut termuat secara otomatis, tanpa perlu menuliskannya satu per satu. Nah, dalam tabel dengan tabular, kita tambahkan kode berikut ini pada kolom pertama (untuk nomor).

@{\stepcounter{rowcount}\makebox[3em][c]{\therowcount.}\hspace*{\tabcolsep}}

Untuk ini kita memerlukan paket array dan penghitung.

\usepackage{array}
\newcounter{rowcount}
\setcounter{rowcount}{0}

Contoh selengkapnya dan hasilnya dapat Anda lihat berikut ini.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2014

\documentclass{article}
\usepackage{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[inline,shortlabels]{enumitem}
\usepackage{indentfirst} %untuk tanpa indentasi pada paragraf
\setlength\parindent{0pt}

%------untuk pengurutan pada tabel
\usepackage{array}
\newcounter{rowcount}
\setcounter{rowcount}{0}

% perintah argumentasi dan pengurutannya
\newcommand{\logicarg}[2]{% \logicarg{}{}
  \begin{tabular}[t]{@{}l@{}}
    #1 \\ \hline #2
  \end{tabular}%
}

\begin{document}
\section*{Contoh 1 -- Pengurutan argumentasi matematis}
Penarikan kesimpulan yang sah adalah ....\\[0.2em]
\begin{enumerate*}[a.,itemjoin=\hspace{5em}]
  \item \logicarg
    {\(p\to q\) \\ \(\sim q\)}
    {\(\therefore\ \sim q\)}
  \item \logicarg
    {\(\sim p\to q\)\\ \(q\to r\)}
    {\(\therefore\ \sim p\to r\)}
  \item \logicarg
    {\(p\to\ \sim q\)\\ \(q\)}
    {\(\therefore\ p\)}
  \item \logicarg
    {\(\sim p\to q\)\\ \(q\)}
    {\(\therefore\ \sim p\)}
  \item \logicarg
    {\(p\to\ q\)\\ \(p\)}
    {\(\therefore\ \sim q\)}    
\end{enumerate*}

\section*{Contoh 2 -- Pengurutan nomor pada tabel}
\renewcommand*{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{@{\stepcounter{rowcount}\makebox[3em][c]{\therowcount.}\hspace*{\tabcolsep}}ll}\hline
Ahmad & Bandung\\
Badrun & Jakarta\\
Cantika & Bali\\
Farhan& Makassar\\
Gabriel & Manado\\
Hilman & Surabaya\\\hline
\end{tabular}

\end{document}

TikZ: Mengarsir Daerah yang Diapit oleh Dua Kurva

Ketika guru Matematika di SMA/SMK membahas materi luas daerah di bawah kurva dan luas daerah antara dua kurva, soal yang bagus yang grafiknya tampak pada gambar di samping ini dapat ditanyakan.

Nah, bagaimana cara membuat arsiran pada daerah tersebut dengan $\small\LaTeX$

Dalam hal ini saya memilih TikZ yang merupakan paket dasar untuk menggambar. Pada contoh ini akan kita gunakan hatch seperti tampak pada gambar di samping. Untuk itu kita memerlukan pattern sebagai pendukungnya. Adapun kode perintah yang digunakan adalah sebagai berikut.

\draw[pilihan pattern, warna, dsb.] (koordinat awal arsiran) -- plot [pilihan untuk bentuk kurva pertama](koordinat tempat kedudukan (lokus) kurva pertama) -- plot [pilihan untuk bentuk kurva kedua] (koordinat tempat kedudukan (lokus) kurva kedua) 

Contoh:

\draw[pattern=north west lines, pattern color=brown!50] (0,0) -- plot[domain=0:3] (\x,{(\x)^2}) -- (3,0) -- cycle;

Bila akan digunakan pewarnaan saja, kode tersebut menjadi:

\draw [fill=cyan!50!black,fill opacity=0.5] plot [smooth,samples=100,domain=0:1](\x,{4*\x}) -- plot [smooth,samples=100,domain=1:3] (\x,{(\x)^2-6*\x+9})

Contoh pengkodean selengkapnya dan hasilnya sebagai berikut.

\documentclass{article}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{patterns}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw[-latex] (-1,0) -- (5,0) node[below right] {$x$};
\draw[-latex] (0,-1) -- (0,5) node[left] {$y$};
\draw [-,samples=100,domain=0.8:4.3] plot(\x,{(\x)^2-6*\x+9});
\draw [-,samples=100,domain=-0.3:1.3] plot(\x,{4*\x});
\draw[pattern=north west lines, pattern color=cyan!50!black] (0,0) -- plot [smooth,samples=100,domain=0:1](\x,{4*\x}) -- plot [smooth,samples=100,domain=1:3] (\x,{(\x)^2-6*\x+9});
\draw[] (1.2,5) node[below right] {$y=4x$};
\draw[] (5,1.6) node[above left] {$y=x^2-6x+9$};
\end{tikzpicture}

\vspace{2cm}
\begin{tikzpicture}
\draw[-latex] (-1,0) -- (5,0) node[below right] {$x$};
\draw[-latex] (0,-1) -- (0,5) node[left] {$y$};
\draw [-,samples=100,domain=0.8:4.3] plot(\x,{(\x)^2-6*\x+9});
\draw [-,samples=100,domain=-0.3:1.3] plot(\x,{4*\x});
\draw [fill=cyan!50!black,fill opacity=0.5] plot [smooth,samples=100,domain=0:1](\x,{4*\x}) -- plot [smooth,samples=100,domain=1:3] (\x,{(\x)^2-6*\x+9});
\draw[] (1.2,5) node[below right] {$y=4x$};
\draw[] (5,1.6) node[above left] {$y=x^2-6x+9$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Teori Bilangan dalam Round-robin

Tulisan ini sebenarnya telah saya terbitkan di sini dan kali ini dikemas dengan lebih baik oleh $\small\LaTeX$.

Materi ini berkenaan dengan penerapan Teori Bilangan dalam sistem turnamen Round-robin, yaitu dalam pemasangan (pairing) pemain catur. Sehubungan dengan itu untuk memahami tulisan ini kita akan menggunakan pemahaman terhadap konsep kekongruenan bilangan.

Beberapa hal yang saya pelajari dalam penulisan dokumen ini antara lain: penempatan judul bagian (section) tulisan pada sisi kanan, pembuatan dan pewarnaan tabel dengan TikZ, penulisan catatan kaki, dan penulisan daftar pustaka.

Dokumen ini semula saya susun dalam ShareLaTeX, tetapi jaringan internet yang lamban mengakibatkan saya beralih ke TeX Live pada komputer. Untuk mengatasi kendala teknis dalam penulisan dokumen, saya mondar-mandir belajar ke forum StackExchange.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2014

    \documentclass[oneside,a4paper,12pt]{scrartcl}
\usepackage[indonesian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[explicit,pagestyles]{titlesec}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,matrix,shapes,shadows,calc}
\usepackage[inline,shortlabels]{enumitem}
\let\ds\displaystyle

\definecolor{biruku}{RGB}{0.098, 0.098, 0.44}
\newcommand\SecTitle[5]{%
\begin{tikzpicture}[overlay,every node/.style={signal, draw, text=white, signal to=nowhere}]
  \node[teal!50!violet,fill, signal to=#1, inner sep=1em, drop shadow,
    text=white,font=\Huge\sffamily,anchor=#2,
    xshift=\the\dimexpr-\marginparwidth-\marginparsep-#3\relax] 
    at (#4,0) {#5};
\end{tikzpicture}%
}

\usepackage{tikz}
\newcommand{\mybox}[2]{%
         \begin{center}%
            \begin{tikzpicture}%
                \node[rectangle, draw=#2, top color=#2!10, bottom color=#2!90, rounded corners=5pt, inner xsep=5pt, inner ysep=6pt, outer ysep=10pt]{
                \begin{minipage}{0.85\linewidth}#1\end{minipage}};%
            \end{tikzpicture}%
         \end{center}%
}
\usepackage{concmath}
\usepackage[T1]{fontenc}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\abstractname}{}}

\titleformat{name=\section,page=odd}
{\normalfont\sffamily}{}{0em}
{\SecTitle{west}{east}{14pt}{\paperwidth}{#1}}[\addvspace{4ex}]

\renewcommand*{\thesubsection}{\arabic{subsection}.}

\usepackage[top=20mm, bottom=20mm, left=20mm, right=20mm]{geometry}
\usepackage{framed}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{colortbl}    
\usepackage{hyperref}    
\hypersetup{colorlinks,
             urlcolor=brown!50!red,
             linkcolor=blue}
\usepackage{graphicx} 
\usepackage{adjustbox}
\usepackage{tabu}
\usepackage{scrextend}
% Footnote mark in text
\deffootnotemark{\textsuperscript{[\thefootnotemark]}}
% Footnote mark in footer
\deffootnote{2em}{1.6em}{[\thefootnotemark]\enskip}
\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed}
\definecolor{cccolor}{rgb}{.67,.7,.67}
\usepackage{amsmath}
 \usepackage{multirow}


\begin{document}

    \begin{center}
      \LARGE \textbf{Ilmu Round Robin}
    \end{center}
\mybox{
\begin{abstract}
 \flushleft\color{yellow!20}Suatu penerapan Teori Bilangan di dalam sistem turnamen
\end{abstract}
}{biruku!50!purple}

 \begin{center}
     {\large\color{teal!50!violet}\it\textbf{Adjie Gumarang Pujakelana}}\\[0.25em]
{Sumbawa Besar, 24 Mei 2014}
    \end{center}

\vspace{1cm}%
  \section{Sistem Turnamen} 
Ada banyak sistem turnamen yang digunakan. Sistem gugur/\emph{knockout}/\emph{single elimination}/\emph{suddendeath} adalah sistem yang cukup sering digunakan dalam banyak pertandingan olahraga. Seorang pemain yang telah kalah tidak dapat melanjutkan pertandingan ke babak berikutnya.

Berikut ini contoh diagram sistem gugur untuk 8 pemain.\\
\adjustbox{valign=t}{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-1,-1) rectangle (8,4.3);
\draw (0.0,-0.0)-- (0.0,1.0);
\draw (1.0,0.0)-- (1.0,1.0);
\draw (0.0,1.0)-- (1.0,1.0);
\draw (2.0,1.0)-- (2.0,0.0);
\draw (2.0,1.0)-- (3.0,1.0);
\draw (3.0,0.0)-- (3.0,1.0);
\draw (4.0,0.0)-- (4.0,1.0);
\draw (5.0,0.0)-- (5.0,1.0);
\draw (4.0,1.0)-- (5.0,1.0);
\draw (6.0,1.0)-- (7.0,1.0);
\draw (7.0,0.0)-- (7.0,1.0);
\draw (6.0,0.0)-- (6.0,1.0);
\draw (0.5,1.0)-- (0.5,2.0);
\draw (2.5,1.0)-- (2.5,2.0);
\draw (0.5,2.0)-- (2.5,2.0);
\draw (4.5,1.0)-- (4.5,2.0);
\draw (6.5,1.0)-- (6.5,2.0);
\draw (4.5,2.0)-- (6.5,2.0);
\draw (1.5,2.0)-- (1.5,3.0);
\draw (5.5,2.0)-- (5.5,3.0);
\draw (1.5,3.0)-- (5.5,3.0);
\draw (3.5,3.0)-- (3.5,4.0);
\draw (-0.25,0) node[anchor=north west] {$A$};
\draw (0.75,0) node[anchor=north west] {$B$};
\draw (1.75,0) node[anchor=north west] {$C$};
\draw (2.75,0) node[anchor=north west] {$D$};
\draw (3.75,0) node[anchor=north west] {$E$};
\draw (4.75,0) node[anchor=north west] {$F$};
\draw (5.75,0) node[anchor=north west] {$G$};
\draw (6.75,0) node[anchor=north west] {$H$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}}%

Bila jumlah pemain sangat banyak sedangkan waktu pelaksanaan pertandingan sangat terbatas maka sistem ini bermanfaat untuk digunakan.
Pada diagram di atas tampak bahwa dari 8 pemain diperlukan 7 pertandingan untuk menentukan pemenang. Bila diperlukan juara 3 maka cukup diadakan satu pertandingan lagi sehingga banyak pertandingan seluruhnya hanya 8.

Ada kemungkinan pemain yang unggul kalah dalam babak awal, atau mungkin pada babak awal bertemu dua pemain yang tidak sebanding. Demikianlah di antara kurangan dalam sistem ini.

Untuk mengatasi hal tersebut dibentuklah sistem lain yang lebih mengacu pada poin yang diperoleh pemain, yaitu \emph{Round-robin Tournament} atau biasa juga disebut \emph{All Play All Tournament}.

  \section{Turnamen Round-robin} 
Turnamen \emph{Round-robin} adalah turnamen (pertandingan) di mana setiap pemain dipasangkan untuk melawan seluruh pemain lainnya pada tiap putarannya.

Jika tiap dua pemain bertanding satu kali maka disebut \emph{single round-robin}, sedangkan jika bertanding dua kali maka disebut \emph{double round-robin}. Sistem \emph{double} jarang digunakan karena memerlukan waktu yang cukup lama. Sistem \emph{round-robin} dengan 4 pemain kadang-kadang disebut \emph{quad}.

Sebenarnya istilah \emph{round-robin} berasal dari \emph{ruban} (bahasa Prancis) yang berarti pita (\emph{ribbon}), namun selama jangka waktu yang panjang istilah itu berubah bentuk menjadi \emph{robin}.

Berikut ini contoh pemasangan (\emph{pairing}) 8 pemain dalam \emph{single round-robin}.  

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{table}[h]
\centering
\begin{tabu}{ccccccc}
\hline
\rowfont{\color{white}}
\rowcolor{biruku!50!purple}
Round 1 & Round 2 & Round 3 & Round 4 & Round 5 & Round 6 & Round 7 \\ \hline
1 -- 7            & 1 -- 8            & 1 -- 2            & 1 -- 3            & 1 -- 4            & 1 -- 5            & 1 -- 6            \\ \hline
2 -- 6            & 2 -- 7            & 3 -- 7            & 2 -- 8            & 2 -- 3            & 2 -- 4            & 2 -- 5            \\ \hline
3 -- 5            & 3 -- 6            & 4 -- 6            & 4 -- 7            & 5 -- 7            & 3 -- 8            & 3 -- 4            \\ \hline
4 -- 8            & 4 -- 5            & 5 -- 8            & 5 -- 6            & 6 -- 8            & 6 -- 7            & 7 -- 8            \\ \hline
\end{tabu}
\caption{Round-robin dengan 8 pemain}
\end{table}

Dalam sistem ini diupayakan agar babak (\emph{round}) yang terjadi seminimum mungkin. Tampak bahwa untuk 8 pemain diperlukan hanya 7 babak dengan 4 pertandingan pada tiap babaknya. Jadi seluruhnya terdiri dari 28 pertandingan.

\emph{Pairing} yang terbentuk tidak harus seperti di atas. Banyak kemungkinan untuk membuat \emph{pairing round-robin}. Bagaimanakah cara membuat \emph{pairing round robin} seperti di atas?



  \section{Membuat Tabel Turnamen Round-robin} 
\subsection{Bentuk tabel yang sederhana}  
Tabel 1 di atas yang terlihat panjang dapat disederhanakan sebagai berikut.

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{table}[h]
\begin{tabu}{>{\centering\arraybackslash}m{2.5cm}>{\centering\arraybackslash}m{1cm}>{\centering\arraybackslash}m{1cm}>{\centering\arraybackslash}m{1cm}>{\centering\arraybackslash}m{1cm}>{\centering\arraybackslash}m{1cm}>{\centering\arraybackslash}m{1cm}>{\centering\arraybackslash}m{1cm}>{\centering\arraybackslash}m{1cm}}
\hline
\rowfont{\color{white}}
\rowcolor{biruku!50!purple}
        & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\\hline
Round 1 & 7 & 6 & 5 & 8 & 3 & 2 & 1 & 4 \\\hline
Round 2 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\\hline
Round 3 & 2 & 1 & 7 & 6 & 8 & 4 & 3 & 5 \\\hline
Round 4 & 3 & 8 & 1 & 7 & 6 & 5 & 4 & 2 \\\hline
Round 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 7 & 8 & 5 & 6 \\\hline
Round 6 & 5 & 4 & 8 & 2 & 1 & 7 & 6 & 3 \\\hline
Round 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 8 & 7\\\hline
\end{tabu}
\caption{Bentuk lain Tabel 1}
\end{table}
  
  \subsection{Pemain buatan/kosong (\emph{dummy})} 
Perlu diketahui bahwa jika banyak pemain berjumlah ganjil maka harus dibuat satu pemain \emph{dummy}. Pemain yang dipasangkan dengan pemain \emph{dummy} tidak bermain pada babak tersebut.

Berikut ini contoh tabel \emph{Round-robin} untuk 7 pemain.
  
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{table}[ht]
\begin{tabu}{>{\centering\arraybackslash}m{2.5cm}>{\centering\arraybackslash}m{1cm}>{\centering\arraybackslash}m{1cm}>{\centering\arraybackslash}m{1cm}>{\centering\arraybackslash}m{1cm}>{\centering\arraybackslash}m{1cm}>{\centering\arraybackslash}m{1cm}>{\centering\arraybackslash}m{1cm}}
\hline
\rowfont{\color{white}}
\rowcolor{biruku!50!purple}
        & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7  \\\hline
Round 1 & 7 & 6 & 5 & \emph{bye} & 3 & 2 & 1 \\\hline
Round 2 & \emph{bye} & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2  \\\hline
Round 3 & 2 & 1 & 7 & 6 & \emph{bye} & 4 & 3  \\\hline
Round 4 & 3 & \emph{bye} & 1 & 7 & 6 & 5 & 4  \\\hline
Round 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 7 & \emph{bye} & 5  \\\hline
Round 6 & 5 & 4 & \emph{bye} & 2 & 1 & 7 & 6  \\\hline
Round 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & \emph{bye} \\\hline
\end{tabu}
\caption{ Round-robin dengan 7 pemain, termasuk \emph{dummy}}
\end{table}

Tampak bahwa tabel untuk 7 pemain dibuat seperti tabel untuk 8 pemain dengan cara membuang kolom ke-8 dan setiap pemain yang akan bertanding melawan pemain \emph{dummy} (nomor 8) diberi tanda "\emph{bye}", sehingga pada babak tersebut dia tidak bermain. Misalnya, pada babak 4, pemain bernomor 2 tidak bermain.

Jadi banyak pemain harus berjumlah genap, sehingga jika ganjil maka harus ditambahkan pemain \emph{dummy} pada saat menyusun \emph{pairing}.

\subsection{ALGORITMA FREUND} 
Algoritma Freund\footnote{John E. Freund adalah anggota \emph{Mathematical Association of America} (MAA) sejak 1949, penulis buku yang produktif, dan seorang pendidik yang bergairah. Dia meninggal dunia pada tanggal 14 Agustus 2004 dalam usia 83 tahun.} berupa kekongruenan modulo yang dapat digunakan untuk menyusun \emph{pairing} turnamen \emph{Round-robin}.

\begin{mdframed}[outerlinecolor=black,outerlinewidth=2pt,linecolor=cccolor,middlelinewidth=3pt,roundcorner=10pt]
Misalkan jumlah pemain sebanyak $N$ dengan $N$ genap. 
 Jika pada babak (\emph{round}) ke-$R$, pemain bernomor i akan melawan pemain bernomor $j$ maka berlaku:
 \boldmath
\[ i + j \equiv R\ \textrm{mod}(N-1)\]
 dengan syarat:
 \begin{enumerate}
 \item $i\neq j$
 \item Jika nilai $j$ sudah digunakan pada petak dengan nilai $i$ yang lebih kecil, maka kosongkan nilai $j$ (agar tidak terjadi bentrok).
 \item Jika terdapat 2 nilai $j$ yang memenuhi, maka pilihlah nilai $j$ yang lebih kecil.
 \end{enumerate}
\end{mdframed}

Berikut ini contoh penggunaan algoritma Freund untuk jumlah pemain $N = 8$. 

(Lihat Tabel 4)

\tikzset{ 
table/.style={
  matrix of nodes,font=\small,
  row sep=-\pgflinewidth,
  column sep=-\pgflinewidth,
  nodes={rectangle,draw=white,text width=3.7em,align=center},
  text depth=1.25ex,
  text height=2.5ex,
  nodes in empty cells
},
row 1/.style={nodes={fill=teal!50!violet}},
column 1/.style={nodes={fill=teal!50!violet}}
}
\begin{table}
\begin{tikzpicture}
\boldmath
\matrix (mat) [table]
{
& \color{white}1  & \color{white}2 & \color{white}3 & \color{white}4 & \color{white}5 & \color{white}6 & \color{white}7 & \color{white}8\\
\color{white} Round 1 & $\color{teal!50!violet}a$ & ... & $\color{teal!50!violet}b$ & $\color{teal!50!violet}c$ & ... & $\color{teal!50!violet}x$ & ... & ...\\\hline
\color{white}Round 2 & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ...\\\hline
\color{white}Round 3 & $\color{teal!50!violet}y$ & $\color{teal!50!violet}z$ & ... & ... & ... & ... & ... & ...\\\hline
\color{white}Round 4 & ... & $\color{teal!50!violet}m$ & ... & ... & ... & ... & ... & $\color{teal!50!violet}n$\\\hline
\color{white}Round 5 &... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ...\\\hline
\color{white}Round 6 &... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ...\\\hline
\color{white}Round 7 &... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ...\\
};
\draw[white] (mat-1-1.north west) -- (mat-1-1.south east);
\node at ([xshift=-7pt,yshift=-4.5pt]mat-1-1) {$\color{white}R$};
\node at ([xshift=7pt,yshift=4.5pt]mat-1-1) {$\color{white}i$};
\node[rotate=90,anchor=south,font=\bfseries] at (mat.west) {Babak};
\node[anchor=south,font=\bfseries] at (mat.north) {Nomor pemain dan lawan};
\end{tikzpicture}
\caption{Contoh penyusunan \emph{pairing} dengan algoritma Freund}
\end{table}

\begin{itemize}[\boldmath$\circ$]
\item Untuk sel $a$ diketahui $R = 1$ dan $i = 1$, maka $1 + j \equiv 1\ \textrm{mod}\ 7$ sehingga yang memenuhi adalah $j = 7$.
\item Untuk sel $b$ diketahui $R = 1$ dan $i = 3$, maka $3 + j \equiv 1\ \textrm{mod}\ 7$ sehingga yang memenuhi adalah $j = 5$.
\item Untuk sel $c$ diketahui $R = 1$ dan $i = 4$, maka $4 +  j \equiv 1\ \textrm{mod}\ 7$ sehingga yang memenuhi adalah $j = 4$. Karena nilai $i = j$ (berarti nomor pemain yang sama), maka kosongkan dulu sel $c$ ini.
\item Untuk sel $x$ diketahui $R = 1$ dan $i = 8$, maka $8 + j \equiv 1\ \textrm{mod}\ 7$ sehingga yang memenuhi adalah $j = 7$. Karena nilai j = 7 sudah digunakan pada sel $a$, maka kosongkan dulu sel $x$ ini.
\item Untuk sel $y$ diketahui $R = 3$ dan $i = 1$, maka $1 + j \equiv 3\ \textrm{mod}\ 7$ sehingga yang memenuhi adalah $j = 2$.
\item Untuk sel $z$ diketahui $R = 3$ dan $i = 2$, maka $2 + j \equiv 3\ \textrm{mod}\ 7$ sehingga yang memenuhi adalah $j = 1$ dan $j = 8$. Dalam hal ini dipilih yang lebih kecil, yaitu $j = 1$.
\item Untuk sel $m$ diketahui $R = 4$ dan $i = 2$, maka $2 + j \equiv 4\ \textrm{mod}\ 7$ sehingga yang memenuhi adalah $j = 2$. Karena nilai $i = j$ (berarti nomor pemain yang sama), maka kosongkan dulu sel m ini.
\item Untuk sel $n$ diketahui $R = 4$ dan $i = 8$, maka $8 + j \equiv 4\ \textrm{mod}\ 7$ sehingga yang memenuhi adalah $j = 3$.
\item ... demikian seterusnya.
\end{itemize}

\begin{table}[ht]
\begin{tikzpicture}
\boldmath
\matrix (mat) [table]
{
& \color{white}1  & \color{white}2 & \color{white}3 & \color{white}4 & \color{white}5 & \color{white}6 & \color{white}7 & \color{white}8\\
\color{white} Round 1 & 7 & ... & 5 & |[fill=purple!10]| & ... & ... & ... & |[fill=purple!10]|\\\hline
\color{white}Round 2 & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ...\\\hline
\color{white}Round 3 & 2 & 1 & ... & ... & ... & ... & ... & ...\\\hline
\color{white}Round 4 & ... & |[fill=purple!10]| & ... & ... & ... & ... & ... & 3\\\hline
\color{white}Round 5 &... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ...\\\hline
\color{white}Round 6 &... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ...\\\hline
\color{white}Round 7 &... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ...\\
};
\draw[white] (mat-1-1.north west) -- (mat-1-1.south east);
\node at ([xshift=-7pt,yshift=-4.5pt]mat-1-1) {$\color{white}R$};
\node at ([xshift=7pt,yshift=4.5pt]mat-1-1) {$\color{white}i$};
\node[rotate=90,anchor=south,font=\bfseries] at (mat.west) {Babak};
\node[anchor=south,font=\bfseries] at (mat.north) {Nomor pemain dan lawan};
\end{tikzpicture}
\caption{Contoh hasil penghitungan dalam \emph{pairing} dengan algoritma Freund}
\end{table}

(Lihat Tabel 5)

\bigskip
Bila sel-sel telah diisi sesuai dengan persyaratan dalam algoritma Freund, maka sel-sel lainnya yang masih kosong diisi dengan cara mengatur nomor-nomor para pemain yang belum terpasangkan.

Misalnya, pada babak 1, pemain bernomor 4 dan 8 keduanya belum terpasangkan, maka dapat dibuat 4 melawan 8 dan 8 melawan 4. 

\subsection{Pemutaran (ROTASI)}
Cara lain yang digunakan untuk menyusun \emph{pairing} turnamen \emph{Round-robin} adalah dengan pemutaran (rotasi) nomor pemain.

Langkah pertama, buatlah (sembarang) \emph{pairing} untuk babak (\emph{round}) 1.  

Sebagai contoh, untuk 8 pemain, babak 1 disusun sebagai berikut.
\begin{table}[h]
\centering
\begin{tabular}{
>{\columncolor{biruku!50!purple}}c l|}\hline
\cellcolor{biruku!50!purple}                          & 1 -- 5 \\
\cellcolor{biruku!50!purple}                          & 2 -- 6 \\
\cellcolor{biruku!50!purple}                          & 3 -- 7 \\
\multirow{-4}{*}{\cellcolor{biruku!50!purple}{\bfseries\color{white} Round 1}} & 4 -- 8\\\hline
\end{tabular}
\end{table}

Untuk babak 2, dengan menganggap pemain bernomor 1 sebagai titik pusat rotasi, rotasikan pemain lainnya sebagai berikut.

\adjustbox{valign=t}{\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\centering
\definecolor{qqqqtt}{rgb}{0.0,0.0,0.2}
\definecolor{ccqqqq}{rgb}{0.8,0.0,0.0}
\definecolor{qqttzz}{rgb}{0.0,0.2,0.6}
\begin{tikzpicture}[x=1.0cm,y=1.0cm]
\centering
\clip(1,-3.5) rectangle (7,5);
\fill[color=qqttzz,fill=qqttzz,fill opacity=0.1] (5.0,-3.0) -- (6.0,-3.0) -- (6.0,-2.0) -- (5.0,-2.0) -- cycle;
\fill[color=qqttzz,fill=qqttzz,fill opacity=0.1] (5.0,-1.0) -- (6.0,-1.0) -- (6.0,0.0) -- (5.0,0.0) -- cycle;
\fill[color=qqttzz,fill=qqttzz,fill opacity=0.1] (5.0,2.0) -- (6.0,2.0) -- (6.0,1.0) -- (5.0,1.0) -- cycle;
\fill[color=qqttzz,fill=qqttzz,fill opacity=0.1] (6.0,3.0) -- (6.0,4.0) -- (5.0,4.0) -- (5.0,3.0) -- cycle;
\fill[color=qqttzz,fill=qqttzz,fill opacity=0.1] (3.0,-3.0) -- (3.0,-2.0) -- (2.0,-2.0) -- (2.0,-3.0) -- cycle;
\fill[color=qqttzz,fill=qqttzz,fill opacity=0.1] (3.0,-1.0) -- (3.0,0.0) -- (2.0,0.0) -- (2.0,-1.0) -- cycle;
\fill[color=qqttzz,fill=qqttzz,fill opacity=0.1] (2.0,2.0) -- (3.0,2.0) -- (3.0,1.0) -- (2.0,1.0) -- cycle;
\fill[color=qqqqtt,fill=white] (2.0,3.0) -- (3.0,3.0) -- (3.0,4.0) -- (2.0,4.0) -- cycle;
\draw [color=qqttzz] (5.0,-3.0)-- (6.0,-3.0);
\draw [color=qqttzz] (6.0,-3.0)-- (6.0,-2.0);
\draw [color=qqttzz] (6.0,-2.0)-- (5.0,-2.0);
\draw [color=qqttzz] (5.0,-2.0)-- (5.0,-3.0);
\draw [color=qqttzz] (5.0,-1.0)-- (6.0,-1.0);
\draw [color=qqttzz] (6.0,-1.0)-- (6.0,0.0);
\draw [color=qqttzz] (6.0,0.0)-- (5.0,0.0);
\draw [color=qqttzz] (5.0,0.0)-- (5.0,-1.0);
\draw [color=qqttzz] (5.0,2.0)-- (6.0,2.0);
\draw [color=qqttzz] (6.0,2.0)-- (6.0,1.0);
\draw [color=qqttzz] (6.0,1.0)-- (5.0,1.0);
\draw [color=qqttzz] (5.0,1.0)-- (5.0,2.0);
\draw [color=qqttzz] (6.0,3.0)-- (6.0,4.0);
\draw [color=qqttzz] (6.0,4.0)-- (5.0,4.0);
\draw [color=qqttzz] (5.0,4.0)-- (5.0,3.0);
\draw [color=qqttzz] (5.0,3.0)-- (6.0,3.0);
\draw [-stealth,color=ccqqqq] (5.5,-1.0) -- (5.5,-2.0);
\draw [-stealth,color=ccqqqq] (5.5,1.0) -- (5.5,0.0);
\draw [-stealth,color=ccqqqq] (5.5,3.0) -- (5.5,2.0);
\draw [color=qqttzz] (3.0,-3.0)-- (3.0,-2.0);
\draw [color=qqttzz] (3.0,-2.0)-- (2.0,-2.0);
\draw [color=qqttzz] (2.0,-2.0)-- (2.0,-3.0);
\draw [color=qqttzz] (2.0,-3.0)-- (3.0,-3.0);
\draw [color=qqttzz] (3.0,-1.0)-- (3.0,0.0);
\draw [color=qqttzz] (3.0,0.0)-- (2.0,0.0);
\draw [color=qqttzz] (2.0,0.0)-- (2.0,-1.0);
\draw [color=qqttzz] (2.0,-1.0)-- (3.0,-1.0);
\draw [color=qqttzz] (2.0,2.0)-- (3.0,2.0);
\draw [color=qqttzz] (3.0,2.0)-- (3.0,1.0);
\draw [color=qqttzz] (3.0,1.0)-- (2.0,1.0);
\draw [color=qqttzz] (2.0,1.0)-- (2.0,2.0);
\draw [-stealth,color=ccqqqq] (5.0,-2.5) -- (3.0,-2.5);
\draw [-stealth,color=ccqqqq] (2.5,-2.0) -- (2.5,-1.0);
\draw [-stealth,color=ccqqqq] (2.5,0.0) -- (2.5,1.0);
\draw [-stealth,color=ccqqqq] (2.5,2.0) -- (5.0,3.5);
\draw [color=qqqqtt] (2.0,3.0)-- (3.0,3.0);
\draw [color=qqqqtt] (3.0,3.0)-- (3.0,4.0);
\draw [color=qqqqtt] (3.0,4.0)-- (2.0,4.0);
\draw [color=qqqqtt] (2.0,4.0)-- (2.0,3.0);
\draw [dotted] (3.0,3.5)-- (5.0,3.5);
\draw [dotted] (3.0,1.5)-- (5.0,1.5);
\draw [dotted] (3.0,-0.5)-- (5.0,-0.5);
\draw (2.271553942144072,3.8) node[anchor=north west] {$1$};
\draw (5.25,3.8) node[anchor=north west] {$5$};
\draw (5.25,1.75) node[anchor=north west] {$6$};
\draw (2.25,1.75) node[anchor=north west] {$2$};
\draw (2.25,-0.25) node[anchor=north west] {$3$};
\draw (5.25,-0.25) node[anchor=north west] {$7$};
\draw (5.25,-2.25) node[anchor=north west] {$8$};
\draw (2.25,-2.25) node[anchor=north west] {$4$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}}%
    \hfill
\adjustbox{valign=t}{\begin{minipage}{0.4\textwidth}
sehingga diperoleh:

\medskip
\begin{tabular}{
>{\columncolor{biruku!50!purple}}c l|}\hline
\cellcolor{biruku!50!purple}                          & 1 -- 2 \\
\cellcolor{biruku!50!purple}                          & 3 -- 5 \\
\cellcolor{biruku!50!purple}                          & 4 -- 6 \\
\multirow{-4}{*}{\cellcolor{biruku!50!purple}{\bfseries\color{white} Round 2}} & 8 -- 7\\\hline
\end{tabular}

\bigskip
Penyusunan pairing untuk babak-babak selanjutnya dilakukan dengan cara seperti itu, hasilnya akan tampak seperti dalam tabel berikut ini.
\end{minipage}}%

\begin{table}[ht]
\centering
\begin{tabular}{
>{\columncolor[HTML]{680100}}c l
>{\columncolor[HTML]{680100}}c l|l|l|}\hline
\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 1 -- 5 & \cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 1 -- 4 & \multicolumn{1}{c}{\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }}                                   & 1 -- 6 \\
\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 2 -- 6 & \cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 8 -- 3 & \multicolumn{1}{c}{\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }}                                   & 5 -- 7 \\
\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 3 -- 7 & \cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 7 -- 2 & \multicolumn{1}{c}{\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }}                                   & 2 -- 8 \\
\multirow{-4}{*}{\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} \textbf{Round 1}}} & 4 -- 8 & \multirow{-4}{*}{\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} \textbf{Round 4}}} & 6 -- 5 & \multicolumn{1}{c}{\multirow{-4}{*}{\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} \textbf{Round 7}}}} & 3 -- 4 \\\hline
\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 1 -- 2 & \cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 1 -- 8 &                                                                                                       &        \\
\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 3 -- 5 & \cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 7 -- 4 &                                                                                                       &        \\
\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 4 -- 6 & \cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 6 -- 3 &                                                                                                       &        \\
\multirow{-4}{*}{\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} \textbf{Round 2}}} & 8 -- 7 & \multirow{-4}{*}{\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} \textbf{Round 5}}} & 5 -- 2 &                                                                                                       &        \\\hline
\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 1 -- 3 & \cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 1 -- 7 &                                                                                                       &        \\
\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 4 -- 2 & \cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 6 -- 8 &                                                                                                       &        \\
\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 8 -- 5 & \cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 5 -- 4 &                                                                                                       &        \\
\multirow{-4}{*}{\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} \textbf{Round 3}}} & 7 -- 6 & \multirow{-4}{*}{\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} \textbf{Round 6}}} & 2 -- 3 &                                                                                                       &       \\\hline
\end{tabular}
\caption{Contoh penyusunan \emph{pairing} dengan rotasi}
\end{table}

Silakan bandingkan cara rotasi dengan cara Freund, manakah yang lebih mudah dan lebih cepat?

\subsection{Pengaturan Putih dan Hitam}
Pekerjaan menyusun \emph{pairing} di atas belumlah selesai karena ada satu tahap lagi yang harus dilakukan, yaitu mengatur buah Putih dan Hitam yang akan dipegang para pemain agar terjadi proporsi yang seimbang. Warna buah yang dipegang pemain secara signifikan akan mempengaruhi perencanaan dan permainan yang terjadi.

Agar pengaturan warna buah ini tidak terlalu lama maka digunakan patokan berikut ini.

\begin{mdframed}[outerlinecolor=black,outerlinewidth=2pt,linecolor=cccolor,middlelinewidth=3pt,roundcorner=10pt]
Untuk pemain bernomor $i$ melawan pemain bernomor $j$ berlaku:
\begin{itemize}[\boldmath$\circ$]
\item Jika $i + j$ ganjil maka pemain bernomor lebih kecil memegang buah Putih.
\item Jika $i + j$ genap maka pemain bernomor lebih besar memegang buah Putih.
\end{itemize}
\end{mdframed}

Sebagai contoh, perhatikan tabel 6 di atas.

Pada babak 1, tampak 2 -- 6. Karena 2 + 6 genap maka haruslah pemain bernomor 6 memegang buah Putih, sehingga susunan itu harus diganti menjadi 6 -- 2.

Pada babak 2, tampak 8 -- 7. Karena 8 + 7 ganjil maka haruslah pemain bernomor 7 memegang buah Putih, sehingga susunan itu harus diganti menjadi 7 -- 8.

Pada babak 6, tampak 2 -- 3. Karena 2 + 3 ganjil maka haruslah pemain bernomor 2 memegang buah Putih, sehingga susunan itu sudah benar.

Dengan demikian hasil \emph{pairing} berdasarkan tabel 6 adalah sebagai berikut.

\begin{table}[ht]
\centering
\begin{tabular}{
>{\columncolor[HTML]{680100}}c l
>{\columncolor[HTML]{680100}}c l|l|l|}\hline
\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 5 -- 1 & \cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 1 -- 4 & \multicolumn{1}{c}{\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }}                                   & 1 -- 6 \\
\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 6 -- 2 & \cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 3 -- 8 & \multicolumn{1}{c}{\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }}                                   & 7 -- 5 \\
\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 7 -- 3 & \cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 2 -- 7 & \multicolumn{1}{c}{\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }}                                   & 8 -- 2 \\
\multirow{-4}{*}{\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} \textbf{Round 1}}} & 8 -- 4 & \multirow{-4}{*}{\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} \textbf{Round 4}}} & 5 -- 6 & \multicolumn{1}{c}{\multirow{-4}{*}{\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} \textbf{Round 7}}}} & 3 -- 4 \\\hline
\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 1 -- 2 & \cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 1 -- 8 &                                                                                                       &        \\
\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 5 -- 3 & \cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 4 -- 7 &                                                                                                       &        \\
\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 6 -- 4 & \cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 3 -- 6 &                                                                                                       &        \\
\multirow{-4}{*}{\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} \textbf{Round 2}}} & 7 -- 8 & \multirow{-4}{*}{\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} \textbf{Round 5}}} & 2 -- 5 &                                                                                                       &        \\\hline
\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 3 -- 1 & \cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 7 -- 1 &                                                                                                       &        \\
\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 4 -- 2 & \cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 8 -- 6 &                                                                                                       &        \\
\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 5 -- 8 & \cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} }                                   & 4 -- 5 &                                                                                                       &        \\
\multirow{-4}{*}{\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} \textbf{Round 3}}} & 6 -- 7 & \multirow{-4}{*}{\cellcolor[HTML]{680100}{\color[HTML]{FFFFFF} \textbf{Round 6}}} & 2 -- 3 &                                                                                                       &       \\\hline
\end{tabular}
\caption{Hasil penyusunan \emph{pairing}}
\end{table}

\section{Penutup}
Demikianlah sistem \emph{Round-robin} yang sering digunakan dalam pertandingan dan kemudian seringkali digabungkan dengan sistem gugur menjelang babak-babak akhir pertandingan.

Bila kita ingin membuat pairing untuk turnamen \emph{Round-robin} tanpa direpotkan dalam penyusunannya, maka kita dapat memilih layanan pada internet yang menyediakan perangkat untuk keperluan tersebut. Salah satunya (yang gratis) adalah dari \href{http://www.teamopolis.com/tools/round-robin-generator.aspx}{teampolis}.

\begin{thebibliography}{}

\bibitem{a} Everything About Math, \url{http://hendrydext.blogspot.com/2009/06/round-robin-tournament.html} (diakses pada 7 s.d. 13 November 2012)

\bibitem{b} Mathematical Association of America (MAA) \url{http://www.maa.org/news/inmemoriam_archive.html} (diakses pada 10 s.d. 12 November 2012)

\bibitem{c} Wikipedia, \url{http://en.wikipedia.org/wiki/Round-robin_tournament} (diakses pada 7 s.d. 12 November 2012)

\bibitem{d} Teampolis, \url{http://www.teamopolis.com/tools/round-robin-generator.aspx} (diakses pada 11 s.d. 12 November 2012)

\end{thebibliography}

\pagebreak

\begin{center}
    \includegraphics[width=15cm]{raja.png} 
\end{center}


\end{document}

Catatan Kaki (Footnote)

Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI),

catatan kaki adalah keterangan yang dicantumkan pada margin bawah pada halaman buku (biasanya dicetak dengan huruf yang lebih kecil daripada huruf di dalam teks guna menambahkan rujukan uraian di dalam naskah pokok).

Dalam hal ini saya akan menunjukkan salah satu pilihan yang menurut saya cukup mudah, yaitu dengan menggunakan paket scrextend. Berikut ini contoh pengkodean dan hasilnya dari tampilan bentuk atau gaya (style) pada catatan kaki. Bila diperlukan penomoran pada catatan kaki dapat dibuat dengan perintah \setcounter{footnote}{diisi nomor}.

\documentclass{article}
\title{Catatan kaki}
\usepackage{tgschola}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{scrextend}

% Footnote mark in text
\deffootnotemark{\textsuperscript{[\thefootnotemark]}}

% Footnote mark in footer
\deffootnote{2em}{1.6em}{[\thefootnotemark]\enskip}

\begin{document}

.... bla bla bla.\footnote{Sidi Gazalba, Maut: Batas Kebudayaan dan Agama (Jakarta: Penerbit Tintamas Indonesia, 1972), 100} .... bla bla bla.\footnote{Sidi Gazalba, Op.Cit., 200}

\end{document}

Membuat Skripsi dengan $\small\LaTeX$

Secara global tiap perguruan tinggi memiliki dan menyediakan contoh (template) tersendiri, baik untuk artikel, jurnal, skripsi, tesis, dan lainnya, dengan menyertakan logo masing-masing. Dengan demikian terdapat beberapa perbedaan di dalamnya, misalnya template untuk Harvard akan berbeda dengan template untuk Cambridge.

Beberapa perguruan tinggi di Indonesia juga sudah menggunakan templatenya untuk penulisan Tugas Akhir (skripsi) ini. Di antaranya ITB, UGM, Gunadarma. Bagaimana dengan perguruan tinggi Anda, sudahkah memiliki template $\small\LaTeX$ untuk skripsi? 

Bagaimana pula cara membuat format skripsi dengan $\small\LaTeX$?

Nah, contoh pengkodean dan dokumen yang dihasilkannya berikut ini saya dapatkan dari Tedy Tirtawidjaja yang merampungkan tugas akhirnya pada tahun 2006 di Institut Teknologi Bandung. Dari contoh ini Anda dapat mengembangkannya sesuai dengan unsur-unsur yang dipersyaratkan oleh perguruan tinggi Anda.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2014

\documentclass[a4paper,12pt]{book}
%==============================================================================================
% Bagian deklarasi paket-paket LaTeX yang dibutuhkan
%==============================================================================================
\usepackage{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}
\usepackage[indonesian]{babel}

\title{Skripsi}
\usepackage{ctable}
\usepackage{fancyhdr}

\usepackage{floatflt}
\usepackage{listings}
\usepackage{subfig}
\usepackage{caption}
\usepackage{eurosym}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{paralist}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{multicol}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[top=4cm, left=4cm, right=2.5cm, bottom=3.5cm]{geometry} % silakan disesuaikan dengan aturan margin buku skripsi yang diberikan oleh universitas Anda.

%==============================================================================================
% Bagian deklarasi tampilan caption pada gambar atau tabel
%==============================================================================================
\DeclareCaptionStyle{italic}
{labelfont={rm,bf},textfont={rm},indention=18pt,labelsep=period,justification=centering}
\captionsetup[figure]{style=italic}
\captionsetup{style=default,labelfont={rm,bf}, format=hang}
%==============================================================================================
% Bagian input data untuk keterangan file PDF yang dihasilkan
%==============================================================================================
\pdfinfo{
/Author ( ) % silakan diisi dengan nama pembuat skripsi
/CreationDate (D:20060311110000) % D:YYYYMMDDhhmmss (diisi dengan tanggal pembuatan skripsi)
/ModDate (D:20060311110000) % diisi dengan tanggal modifikasi skripsi
/Creator (LaTeX) 
/Producer (pdfLaTeX)
/Title ( ) % diisi dengan nama file skripsi
/Subject ( ) % diisi dengan judul skripsi
/Keywords ( ) % diisi dengan kata-kata kunci isi skripsi
}
%==============================================================================================
% Bagian pengaturan hyperref
%==============================================================================================
\hypersetup{
pdftitle={ }, % diisi dengan judul akhir skripsi
pdfauthor={ }, % diisi dengan nama penulis skripsi
pdfkeywords={ }, % diisi dengan kata-kata kunci dari isi skripsi
bookmarksnumbered,
pdfstartview={FitH},
urlcolor=cyan, % warna URL yang ditampilkan, boleh diganti selain CYAN.
}

%==============================================================================================
% Koleksi pemenggalan kata, isi bagian ini bisa ditambah jika Anda mendapati kata yang salah pemenggalannya
%==============================================================================================
\hyphenation{deng-an}
\hyphenation{lang-uage}

\hyphenation{kon-fi-gu-ra-si}
\hyphenation{me-nang-an-i}
\hyphenation{ter-se-but}
\hyphenation{kom-pu-ter}
\hyphenation{ber-sa-ma-an}
\hyphenation{di-mi-liki}
\hyphenation{pa-sien}
\hyphenation{bia-sa-nya}
%==============================================================================================
% Bagian pengaturan paragraf
%==============================================================================================
\setlength{\parindent}{0in} % jika awal paragraf ingin dibuat menjorok ke dalam, ganti angka 0 nya.
\newcommand{\marginal}[1]{\leavevmode\marginpar{\color{cyan}\footnotesize\raggedright#1\par}}
%==============================================================================================
% BAGIAN ISI DOKUMEN
%==============================================================================================
\begin{document}  
%==============================================================================================
% Bagian pembuatan halaman judul
%==============================================================================================
\pagestyle{empty}
     
    \begin{titlepage}
      \begin{center}
      {\Large\textbf{    }}\\ % diisi dengan judul skripsi
      \par
      \vspace{3cm}
     
      \textbf{\large SKRIPSI}
      \end{center}
        \vspace{1cm}
      \hspace{6,8cm}oleh :\\
      \hspace{5,5cm} Nama Penulis \\ % ganti Nama Penulis dengan nama Anda sendiri
      \hspace{4,3cm}  NIM / Jurusan % ganti NIM dan Jurusan dengan nomor induk mahasiswa dan jurusan tempat Anda kuliah
     
      \begin{center}
      \par   
      \vfill 
        \begin{figure}[h]
          \hspace{6cm} 
          \includegraphics[width=2cm]{strate} % isi dengan nama file logo Universitas Anda
        \end{figure}
        \vspace*{3cm}
      {\bf \large NAMA PROGRAM STUDI}\\ % isi dengan program studi yang Anda ikuti
      {\bf \large NAMA FAKULTAS}\\ % isi dengan nama fakultas tempat Anda kuliah
      {\bf \large NAMA UNIVERSITAS}\\ % isi dengan nama universitas tempat Anda kuliah
      {\bf  \large 2006 } % sesuaikan tahun dengan tahun kelulusan
      \end{center}
\end{titlepage}

%==============================================================================================
% Bagian pembuatan halaman pengesahan skripsi
%==============================================================================================
\thispagestyle{empty}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Halaman Pengesahan}
\begin{center}{%\fontfamily{phv}\selectfont
%\vspace*{0.5cm}
\textbf{\large HALAMAN PENGESAHAN\\[1.3cm]
  {\normalsize \textbf{JUDUL SKRIPSI}}}\\[1.5cm]

  \textbf{\large LAPORAN SKRIPSI}
     
      \par
      \vspace{0.8cm}
      {oleh :
      \\
      \large \textbf{NAMA PENULIS}\\
      NIM / Nama Jurusan
     
      }
\vspace{1.5cm}
Telah disetujui dan disahkan untuk persyaratan memperoleh gelar\\[0.2cm]
SARJANA\\[0.2cm]
pada\\[0.2cm]
Nama Program Studi\\[0.2cm]
Nama Jurusan\\[0.2cm]
Nama Universitas\\[2cm]
Bandung, Juni 2006\\[0.2cm] % sesuaikan tempat dan tanggal kelulusan
Telah diperiksa, disetujui, dan disahkan oleh :\\
Pembimbing I\\[2.3cm]
\textbf{\bfseries \underline{Nama Pembimbing}}\\[0.2cm]
NIP Pembimbing\\

}\end{center}
%==============================================================================================
% Bagian pengaturan header dan footer
%==============================================================================================
\pagestyle{fancy}\fancyhead{}
\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}}
\renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{\thesection\ #1}}
\fancyhf{}
\fancyfoot[R]{\bfseries\thepage}
\fancyfoot[L]{\bfseries Buku Skripsi}
\fancyhead[R]{\bfseries \rightmark}
\renewcommand{\headrulewidth}{1pt}
\renewcommand{\headrule}{{\color{black}%
\hrule width\headwidth height\headrulewidth \vskip-\headrulewidth}}
\renewcommand{\footrulewidth}{1pt}\addtolength{\headheight}{13.6pt}
\fancypagestyle{plain}{
\fancyhead{}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
}
%==============================================================================================
% ISI SKRIPSI
%==============================================================================================
\pagenumbering{roman}
\setcounter{tocdepth}{4}
%==============================================================================================
% AWAL KATA PENGANTAR
%==============================================================================================
\chapter*{KATA PENGANTAR}\addcontentsline{toc}{chapter}{Kata Pengantar}

% isi kata pengantar
% isi kata pengantar
% isi kata pengantar
% isi kata pengantar
\vspace*{2cm}
\begin{flushright}
Bandung, Juni 2006\\ % sesuaikan dengan tempat dan tanggal penulisan skripsi
Penulis,\hspace{0.8cm}
\vspace*{1.5cm}
Nama Penulis % ganti dengan nama pembuat skripsi
\end{flushright}
%==============================================================================================
% AKHIR KATA PENGANTAR
%==============================================================================================
\tableofcontents  %perintah untuk menampilkan daftar isi
\addcontentsline{toc}{chapter}{Daftar Isi}
\listoftables %perintah untuk menampilkan daftar tabel
\addcontentsline{toc}{chapter}{Daftar Tabel}
\listoffigures %perintah untuk menampilkan daftar gambar
\addcontentsline{toc}{chapter}{Daftar Gambar}
%==============================================================================================
% MULAI BAB I
%==============================================================================================
\chapter{PENDAHULUAN} %JUDUL BAB
\label{pendahuluan}
\pagenumbering{arabic}

%==============================================================================================
% Subbab latar belakang
%==============================================================================================
\section{Latar Belakang} %Judul subbab
\label{latarbelakang} 
%isi subbab latar belakang
    \subsection{judul sub subbab}
      %isi sub subbab
      %isi sub subbab
      %isi sub subbab
     
%isi subbab latar belakang
%isi subbab latar belakang
% ISI DARI BAB I INI DAPAT DIKEMBANGKAN TERUS DAN DILANJUTKAN DENGAN BAB-BAB BERIKUTNYA DENGAN
FORMAT YANG SAMA,
% UNTUK MENGHEMAT TEMPAT DALAM CONTOH INI, HANYA DITUNJUKKAN 1 BAB SAJA SEBAGAI CONTOH
%==============================================================================================
% AKHIR BAB I
%==============================================================================================
%==============================================================================================
% Bagian daftar isi
%==============================================================================================
\bibliographystyle{ieeetr}
\bibliography{daftarpustaka}%memasukkan file BibTeX dengan nama "daftarpustaka" yang berisi
kumpulan referensi
\addcontentsline{toc}{chapter}{Daftar Pustaka}

%==============================================================================================
% MULAI BAB LAMPIRAN
%==============================================================================================
\appendix % dengan menggunakan appendix nomor bab akan ditampilan dengan menggunakan huruf;
menjadi Lampiran A

\chapter{Data Pendukung} % contoh ini akan menampilkan bab baru yaitu Lampiran A - Data
Pendukung
%==============================================================================================
% AKHIR DOKUMEN
%==============================================================================================
\newpage
\pagestyle{empty}
\vspace*{7cm}
\centering
\resizebox{7cm}{1cm}{\textrm{\textbf{SELESAI}}}
  \par   
      \vfill 
     
\end{document}

Bagaimana Saya Belajar $\mathbf\small\LaTeX$?

Selaku penjelajah internet yang relatif sudah cukup lama, saya seringkali menemukan halaman-halaman yang berkaitan dengan teknis penulisan lambang-lambang Matematika dengan menggunakan $\small\LaTeX$. Hal tersebut lebih terasa setelah saya mulai membuat dan mengelola blog. Keingintahuan itu semakin menguat. Saya ingin dapat menulis dokumen (naskah) secara utuh dengan $\small\LaTeX$, bukan sekadar menuliskan rumusnya saja (seperti yang sudah dapat saya lakukan di wordpress maupun di blogspot). 

Waktu demi waktu membawa saya pada beberapa situs yang memperkaya pengetahuan saya tentang $\small\LaTeX$, berupa referensi dokumen $\small\LaTeX$ (ebook), situs penyedia layanan penulisan dokumen $\small\LaTeX$, dan forum pengguna $\small\LaTeX$.

Bila Anda tertarik dan akan belajar menulis dengan $\small\LaTeX$ secara mandiri (otodidak), saya sarankan beberapa hal berikut ini.

1. Apa sih $\mathbf\small\LaTeX$ itu? Banyak situs yang menjelaskan tentang ini, salah satunya adalah Wikibooks.
2. Apa sih keunggulan dan kelemahan $\mathbf\small\LaTeX$ bila dibandingkan dengan pengolah kata semacam microsoft word? Salah satu penjelasannya ada di halaman ini.
3. Pasang (install) software $\mathbf\small\LaTeX$ di komputer. Untuk ini $\TeX$ Live sangat efektif, karena semua paket $\small\LaTeX$ yang terdaftar di Com­pre­hen­sive $\TeX$ Archive Net­work (CTAN) secara otomatis dapat terpasang pada $\TeX$ Live. Pada dasarnya $\LaTeX$ bersifat terbuka (open source), sehingga memang ada beberapa paket baru yang belum terdaftar di CTAN dan harus dipasang sendiri pada $\TeX$ Live atau pada tulisan yang dibuat. Secara berkala (bila tersedia) paket-paket dalam $\TeX$ Live dapat diperbarui (update). Panduan dalam pemasangan $TeX$ Live pada komputer dapat dipelajari di sini.
4. Com­pre­hen­sive $\mathbf\TeX$ Archive Net­work (CTAN) adalah gudangnya paket-paket $\small\LaTeX$ yang diperlukan dalam penulisan dokumen $\small\LaTeX$. Sangat tepat bila, sebelum menggunakan suatu paket, dipelajari lebih dulu berbagai hal tentang paket tersebut. Dalam $TeX$ Live semua dokumen yang menyertai suatu paket langsung terpasang pula di komputer. Kita dapat mencarinya, misalnya dengan menggunakan mesin pencari Everything dari voidtools, untuk mempelajarinya.
5. Bergabunglah dengan forum pengguna $\mathbf\LaTeX$, misalnya TeX Users Group (TUG), StackExchange, atau $LaTeX$ Community. Di dalamnya juga tergabung para pengembang, praktisi, dan penerbit software dan dokumen $\LaTeX$. Di forum tersebut kita dapat bertanya tentang hal-hal yang belum dipahami tentang $\LaTeX$, mencari unsur-unsur yang diperlukan dalam penulisan dokumen, dan menjawab pertanyaan dari anggota lain.
6. Gunakan situs penyedia layanan penulisan dokumen $\small\mathbf\LaTeX$, misalnya ShareLaTeX atau writeLaTeX, untuk mempraktikkan $\small\LaTeX$ dalam tulisan. Dalam hal ini situs writeLaTeX hanya dapat melayani jenis pengetikan (typeset) pdflatex. Jenis pengetikan lainnya: LuaLaTeX, XeLaTeX, dan ConTeXt dapat dilakukan dengan $TeX$ Live pada komputer. Keuntungan dalam menulis secara daring (online) adalah kita dapat sekaligus memanfaatkan kelima unsur di atas dalam penulisan dokumen.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2014

$\mathbf\small\LaTeX$ dan Geogebra: Transformasi Geometri

Mencari pembanding, saya berjalan-jalan untuk mencari uraian materi "dari luar" tentang Transformasi Geometri dan akhirnya menemukan ini. Setelah saya pelajari, saya pikir bagus juga bila saya tulis ulang dalam Bahasa Indonesia.

Isinya memang tak selengkap Hanafiah, Djohandi, Drs. dkk. 1992. Geometri. Bandung: Pakar Raya, seperti tampak di samping, tetapi tulisan ini saya pandang cukup baik untuk dijadikan pelengkap dalam pembelajaran konsep Transformasi Geometri dengan memanfaatkan GeoGebra sebagai media utamanya.

Secara umum dokumen di bawah ini menunjukkan contoh pembuatan buku, contoh penyuntingan gambar dalam $\small\LaTeX$ hasil ekspor dari GeoGebra, dan penyusunan beberapa environment dalam $\small\LaTeX$. Dokumen tersebut saya susun dalam ShareLaTeX.

Demikian semoga bermanfaat!

Adjie Gumarang Pujakelana 2014

\documentclass[
bibliography=totoc,
headings=big,
captions=tableheading,
chapterprefix=true% like in standard class "report"
]{scrreprt}
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2.5cm,bottom=3cm]{geometry}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{minitoc}
\usepackage{setspace}
\usepackage{notoccite}
\usepackage[indonesian]{babel}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    colorlinks,
    linkcolor={red!50!black},
    citecolor={blue!50!black},
    urlcolor={DarkSlateGray}
}
\usepackage{pgf,tikz}
\usetikzlibrary{arrows}
\usepackage{concmath}
\usepackage[T1]{fontenc}
\renewcommand*\sectfont{\normalcolor}
\usepackage{adjustbox}
\setcounter{secnumdepth}{3} % number subsubsections
\setcounter{tocdepth}{3} % list subsubsections
\let\ds\displaystyle
\newcommand{\degre}{\ensuremath{^\circ}}
\usepackage[inline,shortlabels]{enumitem}

%----------------------------------------------------------------------------------------
% TITLE PAGE
%----------------------------------------------------------------------------------------

\newcommand*{\titleGM}{\begingroup % Create the command for including the title page in the document
\hbox{ % Horizontal box
\hspace*{0.2\textwidth} % Whitespace to the left of the title page
\rule{2pt}{\textheight} % Vertical line
\hspace*{0.05\textwidth} % Whitespace between the vertical line and title page text
\parbox[b]{0.75\textwidth}{ % Paragraph box which restricts text to less than the width of the page

{\noindent\Huge\bfseries Transformasi \\[0.5\baselineskip] Geometri}\\[2\baselineskip] % Title
\\[4\baselineskip] % Tagline or further description
{\large NATHAN WISDOM}\\[1\baselineskip] % Author name
Alihbahasa:\\[1\baselineskip]
{\large SULAEMAN, S.Pd.}

\vspace{0.5\textheight} % Whitespace between the title block and the publisher
{\noindent SMK Negeri 2 Sumbawa Besar}\\[\baselineskip] % Publisher and logo
}}
\endgroup}

\title{Transformasiku}

\begin{document}

\pagestyle{empty} % Removes page numbers

\titleGM % This command includes the title page

\pagenumbering{roman}

\cleardoublepage 
\dominitoc
\pdfbookmark[1]{Contents}{}
\tableofcontents
\cleardoublepage

\addchap{KATA PENGANTAR}

Ini semacam "versi-luar" tentang pemaparan konsep Tranformasi Geometri. Tulisan ini dialihbahasakan dari \href{http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Fa08/Wisdom/EMAT6690/Trans%20Geometry%20NJW/Transformation%20Geometry.htm}{\emph{Transformation Geometry and Symmetry for High School}} karya {\bf Nathan Wisdom} dari \href{http://jwilson.coe.uga.edu}{The University of Georgia, Mathematics Education}.

Tulisan ini tidak menyertakan soal-soal pelatihan yang bersesuaian dan hanya ringkasan pokok materi. Memang materi ini akan lebih menarik dalam pembelajaran bila disajikan secara visual dan dinamis. Dalam hal ini penulis mengacu pada penggunaan \href{http://www.keycurriculum.com}{\emph{The Geometer's Sketchpad (GSP)}} -- yang berbayar, sedangkan saya mengacu pada penggunaan \href{http://www.geogebra.org/cms/en/}{GeoGebra} -- yang gratis.

Semoga tulisan ini bermanfaat.\\

\begin{flushright}SULAEMAN, S.Pd.\end{flushright} 

Sumbawa Besar, 14 Mei 2014. 

\clearpage

\pagestyle{headings}
\pagenumbering{arabic}

%%%%%%%%%%%%%% Chapter Style Controls
\addtokomafont{chapterprefix}{\raggedleft \linespread{1}}
\addtokomafont{chapter}{\fontsize{35}{30}\selectfont}
\addtokomafont{section}{\fontsize{20}{11}\selectfont}
\addtokomafont{subsection}{\fontsize{18}{11}\selectfont}
\addtokomafont{subsubsection}{\fontsize{16}{11}\selectfont}

\renewcommand*{\chapterformat}{%
\mbox{\scalebox{0.80}{\chapappifchapterprefix{\nobreakspace}}%
\scalebox{2.5}{\color{gray}\thechapter\autodot}\enskip}}

\chapter{Pendahuluan}
Transformasi menjelaskan hubungan antara setiap titik (atau objek) dan bayangannya. Trans-formasi merupakan suatu pemetaan satu-ke-satu (\emph{one-to-one}) dari semua titik pada objek ke titik yang sesuai pada bayangannya. Dengan \emph{satu-satu} dimaksudkan bahwa jika diberikan dua titik berbeda $A$ dan $B$ pada suatu bidang (yaitu bidang datar), maka (oleh suatu transformasi) bayangan titik $A$ berbeda dari bayangan titik $B$.

Jika $P$ adalah titik di bidang dan $T$ adalah transformasi, maka $T (P) = P'$ dan dikatakan bahwa $T$ mengubah (\emph{transforms}) $P$ ke $P'$.

Ada enam jenis transformasi dasar: 
\begin{enumerate}
\item Pergeseran (\emph{Translation}), dilambangkan dengan $T$
\item Pencerminan (\emph{Reflection}), dilambangkan dengan $M$ (untuk \emph{Mirror}, yaitu cermin)
\item Pemutaran (\emph{Rotation}), dilambangkan dengan $R$
\item Pelebaran (\emph{Dilation}) atau Pembesaran (\emph{Enlargement}), dilambangkan dengan $E$.\\
Catatan:\\ Pelebaran (Dilatasi) adalah istilah yang lebih disukai, karena Pembesaran membawakan pengertian "semakin besar", sedangkan suatu bangun (\emph{ figure}) dapat berubah lebih besar atau lebih kecil bergantung pada faktor skalanya.
\item Gusuran (\emph{Shearing}), dilambangkan dengan $H$
\item Regangan (\emph{Stretching}), dilambangkan dengan $S$
\end{enumerate}
 
{\bf Kesamaan} (\emph{identity}) adalah menduduki tempat teratas dalam hierarki transformasi, dengan syarat segala hal tidak berubah (\emph{invariant}) oleh transformasi. Hanya translasi dan rotasi yang dapat memenuhi kondisi ini. Jadi translasi dan rotasi keduanya merupakan transformasi kekong-ruenan (\emph{congruency}).

Setelah identitas adalah {\bf isometris}. Ini adalah transformasi kekekalan (\emph{preserving}) jarak atau panjang. Libeskind (2008), mendefinisikan isometris sebagai transformasi yang mengekalkan jarak. Translasi, refleksi, dan rotasi adalah isometris, karena ketiganya mengekalkan panjang. Oleh karena itu translasi, refleksi, dan rotasi merupakan transformasi kekongruenan. 

Sekarang jika kita membiarkan sudut dikekalkan sedangkan panjangnya tidak, maka kita peroleh {\bf dilatasi}. Dilatasi, bersama-sama dengan isometris, merupakan {\bf transformasi kesebangunan} (\emph{similarity}).

Selanjutnya jika kita hanya mensyaratkan garis sejajar dipetakan ke garis sejajar, kita peroleh gusuran dan regangan. Semua transformasi dasar yang telah disebutkan digolongkan sebagai {\bf transformasi afin} (\emph{affine}).

Jika hanya urutan titik-titik pada garis, dan urutan simpul (\emph{node}) sebagai invarian terpenting, maka kita peroleh {\bf transformasi topologi} jaringan.

\chapter{Pergeseran (Translasi)}
Translasi adalah transformasi bidang di mana suatu bangun datar bergeser sepanjang garis lurus, dan mengubah posisinya tanpa terbalik. Setiap titik berpindah dalam jarak dan arah yang sama. Oleh karena itu semua titik yang diperlakukan terhadap translasi yang sama mengalami perpindahan yang sama.

Transformasi ini sepenuhnya ditentukan oleh satu titik. Menurut Libeskind (2008) Transformasi $P$ ke $P'$ sedemikian rupa sehingga jika $P$ tidak terletak pada garis yang memuat vektor transformasi $\overrightarrow{AB}$, maka $P'$ adalah titik pada bidang di mana $ABP'P$ adalah jajargenjang, dan jika $P$ terletak pada $\overleftrightarrow{AB}$ maka $P'$ adalah titik di mana $ABP'P$ adalah jajargenjang yang kehilangan sifat-sifatnya (\emph{degenerate}). Ingat bahwa besaran vektor memiliki besar dan arah, sehingga translasi vektor memiliki besar dan arah.

\section{Sifat Transformasi} 
Ketika mempelajari berbagai jenis transformasi, kita mencoba untuk menemukan sifat-sifat bangun yang tetap tidak berubah setelah transformasi. \href{http://www.geogebra.org/cms/en/}{GeogeGebra} adalah alat yang berguna untuk menyelidikinya.\\

\adjustbox{valign=t}{\begin{minipage}{\textwidth}
\definecolor{ccccff}{rgb}{0.8,0.8,1.0}
\definecolor{zzttqq}{rgb}{0.6,0.2,0.0}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0.0,0.0,1.0}
\definecolor{cqcqcq}{rgb}{0.7529411764705882,0.7529411764705882,0.7529411764705882}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.9,line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\draw [color=cqcqcq,dash pattern=on 3pt off 3pt, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-9.621208451279132,-3) grid (5,6);
\draw[->,color=black] (-9.621208451279132,0.0) -- (5,0.0);
\foreach \x in {-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->,color=black] (0.0,-3) -- (0.0,6);
\foreach \y in {-2,-1,1,2,3,4,5}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
\clip(-9.621208451279132,-3) rectangle (5,6);
\fill[line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (-5,-2) -- (-2,-2) -- (-2,1) -- (-7,1) -- cycle;
\fill[color=ccccff,fill=ccccff,fill opacity=0.4] (-3,4) -- (-1,1) -- (2,1) -- (2,4) -- cycle;
\draw [->] (-9,2) -- (-5,5);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq] (-5,-2)-- (-2,-2);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq] (-2,-2)-- (-2,1);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq] (-2,1)-- (-7,1);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq] (-7,1)-- (-5,-2);
\draw [color=ccccff] (-3,4)-- (-1,1);
\draw [color=ccccff] (-1,1)-- (2,1);
\draw [color=ccccff] (2,1)-- (2,4);
\draw [color=ccccff] (2,4)-- (-3,4);
\draw [dash pattern=on 3pt off 3pt] (-5,-2)-- (-1,1);
\draw [dash pattern=on 3pt off 3pt] (-2,-2)-- (2,1);
\draw [dash pattern=on 3pt off 3pt] (-2,1)-- (2,4);
\draw [dash pattern=on 3pt off 3pt] (-7,1)-- (-3,4);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=qqqqff] (-9,2) circle (1.5pt);
\draw (-9,1.6) node {$A (-9, 2)$};
\draw [fill=qqqqff] (-5,5) circle (1.5pt);
\draw (-4.4,5.322107714242232) node {$B (-5, 5)$};
\draw[color=black] (-7.488722580597559,3.9977217524505195) node {$\bar{u}= (4\quad 3)$};
\draw [fill=SaddleBrown] (-5,-2) circle (1.5pt);
\draw[color=SaddleBrown] (-4.368559043495049,-2.4) node {$C (-5, -2)$};
\draw [fill=SaddleBrown] (-7,1) circle (1.5pt);
\draw[color=SaddleBrown] (-7.8,0.7653221168910845) node {$F (-7, 1)$};
\draw [fill=SaddleBrown] (-2,-2) circle (1.5pt);
\draw[color=SaddleBrown] (-1.248395506392538,-2.3099469808286557) node {$D (-2, -2)$};
\draw [fill=SaddleBrown] (-2,1) circle (1.5pt);
\draw[color=SaddleBrown] (-2.6,1.3) node {$E (-2, 1)$};
\draw [fill=SteelBlue] (-1,1) circle (1.5pt);
\draw[color=SteelBlue] (-0.3,0.65) node {$C' (-1, 1)$};
\draw [fill=SteelBlue] (-3,4) circle (1.5pt);
\draw[color=SteelBlue] (-2.3,4.311982828129909) node {$F' (-3, 4)$};
\draw [fill=SteelBlue] (2,1) circle (1.5pt);
\draw[color=SteelBlue] (2.881892916822297,0.9000054350393943) node {$D' (1.9, 1)$};
\draw [fill=SteelBlue] (2,4) circle (1.5pt);
\draw[color=SteelBlue] (2.836998477439527,4.311982828129909) node {$E' (1.9, 4)$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
    \end{minipage}}%

\vspace{1cm}
Trapesium $C'D'E'F'$ adalah bayangan dari trapesium $CDEF$ oleh transformasi. Ruas-ruas garis $\overline{CC'}$, $\overline{DD'}$, $\overline{EE'}$, dan $\overline{FF'}$ semuanya sejajar dan sama. Perpindahan yang bersesuaian atas vektor-vektor $\overrightarrow{CC'}$, $\overrightarrow{DD'}$, $\overrightarrow{EE'}$, dan $\overrightarrow{FF'}$ semuanya sama.
\[\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{EE'}=\overrightarrow{FF'}\]
\[\textrm{atau}\]
\[CC'=DD'=EE'=FF'\]
Jadi salah satu dari empat vektor perpindahan itu menggambarkan suatu transformasi.\\

Kita dapat menyimpulkan: 
\begin{enumerate}
\item Semua titik yang dikenai translasi yang sama mengalami (\emph{undergo}) perpindahan yang sama. Titik-titik itu berpindah dalam jarak yang sama dan dalam arah yang sama.
\item Translasi yang sama adalah translasi atas jarak yang sama dan dalam arah yang sama.
\item Dalam suatu translasi, bayangan dari setiap ruas garis adalah ruas garis yang sama panjang dan sejajar dengan ruas garis dari objek semula.\\ Sisi-sisi yang bersesuaian (\emph{corresponding}) adalah sama dan sejajar.
\item Translasi mengekalkan jarak antara dua titik. Translasi mengekalkan panjang.
\item Garis sejajar tetap sejajar. Translasi mengekalkan kesejajaran.
\item Luas daerah tetap sama. Translasi mengekalkan luas daerah.
\item Urutan titik potong (\emph{vertices}) tetap sama. Translasi mengekalkan urutan titik.
\item Translasi mengekalkan arah (\emph{orientation}). 
\item Translasi adalah transformasi kekongruenan.
\end{enumerate}
 
\section{Translasi pada Bidang Koordinat}
Suatu vektor perpindahan (\emph{displacement}) atau translasi dapat diwakili oleh vektor kolom atau matriks kolom dalam bentuk:
\[\ds\begin{pmatrix}
x\\ 
y
\end{pmatrix}\]
Misalkan $P$ adalah sebuah titik dan $P'$ adalah bayangannya.\\ Jika $P(x,y)$ dikenai translasi oleh $\ds T=\ds\begin{pmatrix}
a\\ 
b
\end{pmatrix}$ maka bayangannya adalah $P'(x+a, y+b)$. \\
Definisi tersebut kemudian ditulis sebagai:
\[\color{Navy!50!RoyalBlue}T:P(x,y)\to P'(x+a, y+b)\]
sehingga
\[\textrm{(Matriks Objek)} + \textrm{(Matriks Translasi)} = \textrm{(Matriks Bayangannya)}\]
Penggunaan koordinat atau pendekatan analitik ini memudahkan kita untuk menunjukkan bahwa komposisi dari dua translasi adalah translasi tunggal.\\

Berikut adalah pembuktian aljabarnya:\\
Misalkan $\ds T_{a,b}$ menyatakan $\ds T=\ds\begin{pmatrix}
a\\ 
b
\end{pmatrix}$, maka
\begin{align*}
\ds T_{a,b}\circ T_{p,q} (x,y)&=T_{a,b}\left ( T_{p,q} (x,y)\right )\\
&=T_{a,b}\left ( x+p,y+q\right )\\
&=\left ( (x+p)+a,(y+q)+a\right )\\
&=\left ( x+(p+a),y+(q+a)\right )\\
&=\left ( x+(a+p),y+(a+q)\right )\\
&=T_{a+p,b+q}(x,y)
\end{align*}

Dengan menggunakan GeoGebra kita juga dapat menyelidiki komposisi dari dua translasi seperti berikut ini.\\

\adjustbox{valign=t}{\begin{minipage}{\textwidth}
\definecolor{yqqqqq}{rgb}{0.5019607843137255,0.0,0.0}
\definecolor{qqttqq}{rgb}{0.0,0.2,0.0}
\definecolor{ubqqys}{rgb}{0.29411764705882354,0.0,0.5098039215686274}
\definecolor{zzttqq}{rgb}{0.6,0.2,0.0}
\definecolor{qqqqtt}{rgb}{0.0,0.0,0.2}
\definecolor{cqcqcq}{rgb}{0.7529411764705882,0.7529411764705882,0.7529411764705882}
\centering
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\draw [color=cqcqcq,dash pattern=on 1pt off 1pt, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-10,6) grid (7,-7);
\draw[->,color=black] (-10,0) -- (7,0);
\foreach \x in {-10,-5,5}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->,color=black] (0,-7) -- (0,6);
\foreach \y in {-6,-4,-2,2,4}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\clip(-10,6) rectangle (7,-7);
\fill[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (-6.0,-3.0) -- (-5.0,-1.0) -- (-7.0,1.0) -- cycle;
\fill[color=ubqqys,fill=ubqqys,fill opacity=0.1] (-2.0,-1.0) -- (-1.0,1.0) -- (-3.0,3.0) -- cycle;
\fill[color=qqttqq,fill=qqttqq,fill opacity=0.1] (4.0,-5.0) -- (5.0,-3.0) -- (3.0,-1.0) -- cycle;
\draw [color=zzttqq] (-6.0,-3.0)-- (-5.0,-1.0);
\draw [color=zzttqq] (-5.0,-1.0)-- (-7.0,1.0);
\draw [color=zzttqq] (-7.0,1.0)-- (-6.0,-3.0);
\draw [->] (-9.0,2.0) -- (-5.0,4.0);
\draw [->] (-5.0,5.0) -- (1.0,1.0);
\draw [color=ubqqys] (-2.0,-1.0)-- (-1.0,1.0);
\draw [color=ubqqys] (-1.0,1.0)-- (-3.0,3.0);
\draw [color=ubqqys] (-3.0,3.0)-- (-2.0,-1.0);
\draw [color=qqttqq] (4.0,-5.0)-- (5.0,-3.0);
\draw [color=qqttqq] (5.0,-3.0)-- (3.0,-1.0);
\draw [color=qqttqq] (3.0,-1.0)-- (4.0,-5.0);
\draw [->,dash pattern=on 3pt off 3pt,color=yqqqqq] (-7.0,1.0) -- (3.0,-1.0);
\draw [->] (-8.0,-4.0) -- (2.0,-6.0);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=qqqqtt] (-6,-3) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (-5.5,-3.3) node {$A (-6, -3)$};
\draw [fill=qqqqtt] (-5.0,-1.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (-4.2,-1) node {$B (-5, -1)$};
\draw [fill=qqqqtt] (-7.0,1.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (-6.6,1.3) node {$C  (-7, 1)$};
\draw [fill=qqqqtt] (-9.0,2.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (-8.616567499231781,1.7) node {$D  (-9, 2)$};
\draw [fill=qqqqtt] (-5.0,4.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (-4.6,4.25) node {$E (-5, 4)$};
\draw[color=black] (-7.501833525318462,3.3) node {$\bar{u} = (4\ \ \ 2)$};
\draw [fill=qqqqtt] (-5.0,5.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (-4.598880468252525,5.178156971612257) node {$F (-5, 5)$};
\draw [fill=qqqqtt] (1.0,1.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (1.6,1) node {$G (1, 1)$};
\draw[color=black] (-1.20823129759951,3.2738197661770054) node {$\bar{v} = (6\ \ \ -4)$};
\draw [fill=qqqqtt] (-2.0,-1.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (-1.3,-1.2780106273023744) node {$A'  (-2, -1)$};
\draw [fill=qqqqtt] (-1.0,1.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (-0.25,1.114022691719953) node {$B' (-1, 1)$};
\draw [fill=qqqqtt] (-3.0,3.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (-3.8,3.1344780194378408) node {$C' (-3, 3)$};
\draw [fill=qqqqtt] (4.0,-5.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (4.5,-5.4) node {$A'' (4, -5)$};
\draw [fill=qqqqtt] (5.0,-3.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (5.8,-2.9) node {$B'' (5, -3)$};
\draw [fill=qqqqtt] (3.0,-1.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (3.6,-0.75) node {$C'' (3, -1)$};
\draw[color=yqqqqq] (1,-0.2) node {$\bar{w} = (10\ \ \ -2)$};
\draw [fill=qqqqtt] (-8.0,-4.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (-7.478609900861935,-3.6932675707812295) node {$P (-8, -4)$};
\draw [fill=qqqqtt] (2.0,-6.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (2.75,-5.922735518607864) node {$P' (2, -6)$};
\draw[color=black] (-2.5,-4.75) node {$\bar{z} = (10, -2)$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
    \end{minipage}}%

\chapter{Refleksi}

Refleksi pada garis $l$ adalah pemadanan yang memasangkan setiap titik di bidang, tetapi bukan pada garis $l$, dengan titik $P'$ sedemikian rupa sehingga $l$ adalah pembagi dua tegak lurus (\emph{perpendicular bisector}) dari ruas garis $\overline{PP'}$. Jika $P$ terletak pada $l$ maka $P$ dipasangkan dengan dirinya sendiri (Libeskind, 2008).

Dalam bidang koordinat, bayangan-bayangan refleksi terhadap beberapa garis sangat mudah untuk diketahui. \href{http://www.geogebra.org/cms/en/}{GeogeGebra} adalah alat yang sangat berguna untuk menunjukkan dan menyelidiki refleksi terhadap sumbu-$x$, sumbu-$y$, garis $y =-x$, dan garis $y = x$.

\section{Sifat-sifat Refleksi} 

Dalam hal ini kita menyelidiki sifat-sifat yang tidak berubah (\emph{invariant}) dalam suatu refleksi dengan menggunakan \href{http://www.geogebra.org/cms/en/}{GeogeGebra}.\\

\adjustbox{valign=t}{\begin{minipage}{\textwidth}
\definecolor{qqqqtt}{rgb}{0.0,0.0,0.2}
\definecolor{ttqqtt}{rgb}{0.2,0.0,0.2}
\definecolor{zzttqq}{rgb}{0.6,0.2,0.0}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0.0,0.0,1.0}
\definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49019607843137253,0.49019607843137253,1.0}
\definecolor{cqcqcq}{rgb}{0.7529411764705882,0.7529411764705882,0.7529411764705882}
\centering
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\draw [color=cqcqcq,dash pattern=on 3pt off 3pt, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-6,4) grid (6,-1);
\draw[->,color=black] (-6,0) -- (6,0);
\foreach \x in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->,color=black] (0,-1) -- (0,4);
\foreach \y in {-1,1,2,3}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
\clip(-6,4) rectangle (6,-1);
\fill[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (-5.0,0.0) -- (-1.0,0.0) -- (-3.0,3.0) -- (-5.0,3.0) -- cycle;
\draw [shift={(-1.0,0.0)},color=ttqqtt,fill=ttqqtt,fill opacity=0.1] (0,0) -- (123.6900675259798:0.7468399436451573) arc (123.6900675259798:180.00000000000003:0.7468399436451573) -- cycle;
\draw [shift={(-3.0,3.0)},color=ttqqtt,fill=ttqqtt,fill opacity=0.1] (0,0) -- (180.0:0.7468399436451573) arc (180.0:303.6900675259798:0.7468399436451573) -- cycle;
\fill[color=qqqqtt,fill=qqqqtt,fill opacity=0.1] (5.0,0.0) -- (1.0,0.0) -- (3.0,3.0) -- (5.0,3.0) -- cycle;
\draw [shift={(1.0,0.0)},color=ttqqtt,fill=ttqqtt,fill opacity=0.1] (0,0) -- (0.0:0.7468399436451573) arc (0.0:56.309932474020215:0.7468399436451573) -- cycle;
\draw [shift={(3.0,3.0)},color=ttqqtt,fill=ttqqtt,fill opacity=0.1] (0,0) -- (-123.6900675259798:0.7468399436451573) arc (-123.6900675259798:0.0:0.7468399436451573) -- cycle;
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq] (-5.0,0.0)-- (-1.0,0.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq] (-1.0,0.0)-- (-3.0,3.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq] (-3.0,3.0)-- (-5.0,3.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq] (-5.0,3.0)-- (-5.0,0.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqqqtt] (5.0,0.0)-- (1.0,0.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqqqtt] (1.0,0.0)-- (3.0,3.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqqqtt] (3.0,3.0)-- (5.0,3.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqqqtt] (5.0,3.0)-- (5.0,0.0);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=xdxdff] (-5.0,0.0) circle (1.5pt);
\draw[color=xdxdff] (-5.25,0.25) node {$A$};
\draw [fill=xdxdff] (-1.0,0.0) circle (1.5pt);
\draw[color=xdxdff] (-0.8,0.25) node {$B$};
\draw [fill=qqqqff] (-3.0,3.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqff] (-2.832656041046623,3.303702832588662) node {$C$};
\draw [fill=qqqqff] (-5.0,3.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqff] (-5,3.3) node {$D$};
\draw[color=ttqqtt] (-2.25,0.39102705237254887) node {$56.31\textrm{\degre}$};
\draw[color=ttqqtt] (-3.479917325539093,2.0340749283918944) node {$123.69\textrm{\degre}$};
\draw [fill=xdxdff] (5.0,0.0) circle (1.5pt);
\draw[color=xdxdff] (5.26,0.25) node {$A'$};
\draw [fill=xdxdff] (1.0,0.0) circle (1.5pt);
\draw[color=xdxdff] (0.75,0.25) node {$B'$};
\draw [fill=qqqqff] (5.0,3.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqff] (5,3.3) node {$D'$};
\draw [fill=qqqqff] (3.0,3.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqff] (2.85,3.3) node {$C'$};
\draw[color=ttqqtt] (2.25,0.39102705237254887) node {$56.31\textrm{\degre}$};
\draw[color=ttqqtt] (3.814219457395277,2.183442917120926) node {$123.69\textrm{\degre}$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
    \end{minipage}}%

\vspace{1cm}
Kita dapat menyimpulkan bahwa: 
\begin{enumerate}
\item Garis cermin adalah pembagi dua tegak lurus ruas garis yang menghubungkan titik objek dan titik bayangannya.
\item Jarak tegak lurus dari titik objek ke garis cermin sama dengan jarak tegak lurus dari bayangannya ke garis cermin.
\item Refleksi mengekalkan jarak antara dua titik. Refleksi mengekalkan panjang.
\item Refleksi mengekalkan sudut.
\item Refleksi mengekalkan kesejajaran.
\item Refleksi mengekalkan luas daerah.
\item Refleksi mengekalkan urutan titik.
\item Refleksi mengekalkan perbandingan (rasio).
\item Refleksi adalah transformasi kekongruenan.
\item Dalam refleksi bayangan menyamping terbalik. Dengan demikian refleksi TIDAK mengekalkan arah (orientasi).
\end{enumerate}
 
\chapter{Rotasi} 
 Rotasi adalah transformasi di mana setiap titik berputar dengan sudut yang sama, terhadap pusat yang sama, dan dalam arah yang sama. Di bidang, rotasi dilakukan terhadap suatu titik tunggal yang disebut pusat rotasi. Pusat rotasi adalah satu-satunya titik yang tidak berubah posisinya setelah rotasi. Rotasi dapat terjadi searah atau berlawanan arah jarum jam. Sudut negatif berarti rotasi searah jarum jam dan sudut positif berarti rotasi berlawanan arah jarum jam.
 
 Definisi resmi dari Libeskind (2008): Jika $O$ adalah titik dan $\alpha$ adalah bilangan real, maka rotasi $O$ dengan $\alpha$ adalah fungsi dari bidang ke bidang yang memetakan $O$ ke dirinya sendiri dan memetakan setiap titik $P$ ke $P'$ demikian sehingga $OP = OP'$ dan ukuran sudut $POP'= \alpha$.
 
 \section{Sifat-sifat Rotasi} 
Kita akan menggunakan GeoGebra untuk menyelidiki sifat-sifat dari bangun yang tidak berubah (\emph{invariant}) dalam suatu rotasi.\\
 
\adjustbox{valign=t}{\begin{minipage}{\textwidth}
\definecolor{qqwuqq}{rgb}{0.0,0.39215686274509803,0.0}
\definecolor{qqqqtt}{rgb}{0.0,0.0,0.2}
\definecolor{qqwwtt}{rgb}{0.0,0.4,0.2}
\definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666}
\definecolor{zzttqq}{rgb}{0.6,0.2,0.0}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0.0,0.0,1.0}
\definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49019607843137253,0.49019607843137253,1.0}
\definecolor{cqcqcq}{rgb}{0.7529411764705882,0.7529411764705882,0.7529411764705882}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.6,line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\draw [color=cqcqcq,dash pattern=on 1pt off 1pt, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-3,16) grid (17,-2);
\draw[->,color=black] (-3,0) -- (17,0);
\foreach \x in {5,10,15}
\draw[shift={(\x,0)},color=gray] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->,color=black] (0,-2) -- (0,16);
\foreach \y in {2,4,6,8,10,12,14}
\draw[shift={(0,\y)},color=gray] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\clip(-3,16) rectangle (17,-2);
\fill[line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (10.0,0.0) -- (15.0,0.0) -- (13.0,2.0) -- (10.0,2.0) -- cycle;
\fill[line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (5.000000000000001,8.660254037844386) -- (7.500000000000002,12.990381056766578) -- (4.767949192431125,12.258330249197702) -- (3.2679491924311237,9.660254037844386) -- cycle;
\fill[line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (2.6645352591003757E-15,10.0) -- (3.552713678800501E-15,15.0) -- (-1.9999999999999964,13.000000000000002) -- (-1.9999999999999978,10.0) -- cycle;
\draw [shift={(0.0,-0.0)},color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.1] (0,0) -- (11.309932474020213:1.3719219881744478) arc (11.309932474020213:71.3099324740202:1.3719219881744478) -- cycle;
\draw [shift={(0.0,-0.0)},color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.1] (0,0) -- (71.3099324740202:1.0289414911308359) arc (71.3099324740202:101.3099324740202:1.0289414911308359) -- cycle;
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq] (10.0,0.0)-- (15.0,0.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq] (15.0,0.0)-- (13.0,2.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq] (13.0,2.0)-- (10.0,2.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq] (10.0,2.0)-- (10.0,0.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq] (5.000000000000001,8.660254037844386)-- (7.500000000000002,12.990381056766578);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq] (7.500000000000002,12.990381056766578)-- (4.767949192431125,12.258330249197702);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq] (4.767949192431125,12.258330249197702)-- (3.2679491924311237,9.660254037844386);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq] (3.2679491924311237,9.660254037844386)-- (5.000000000000001,8.660254037844386);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq] (2.6645352591003757E-15,10.0)-- (3.552713678800501E-15,15.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq] (3.552713678800501E-15,15.0)-- (-1.9999999999999964,13.000000000000002);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq] (-1.9999999999999964,13.000000000000002)-- (-1.9999999999999978,10.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq] (-1.9999999999999978,10.0)-- (2.6645352591003757E-15,10.0);
\draw [shift={(0.0,-0.0)},color=qqwwtt]  plot[domain=0.0:1.5707963267948963,variable=\t]({1.0*10.0*cos(\t r)+-0.0*10.0*sin(\t r)},{0.0*10.0*cos(\t r)+1.0*10.0*sin(\t r)});
\draw [shift={(0.0,-0.0)},color=qqwwtt]  plot[domain=0.0:1.5707963267948963,variable=\t]({1.0*15.0*cos(\t r)+-0.0*15.0*sin(\t r)},{0.0*15.0*cos(\t r)+1.0*15.0*sin(\t r)});
\draw [shift={(0.0,-0.0)},color=qqwwtt]  plot[domain=0.15264932839526515:1.7234456551901616,variable=\t]({1.0*13.152946437965904*cos(\t r)+-0.0*13.152946437965904*sin(\t r)},{0.0*13.152946437965904*cos(\t r)+1.0*13.152946437965904*sin(\t r)});
\draw [shift={(0.0,-0.0)},color=qqwwtt]  plot[domain=0.19739555984988075:1.7681918866447772,variable=\t]({1.0*10.19803902718557*cos(\t r)+-0.0*10.19803902718557*sin(\t r)},{0.0*10.19803902718557*cos(\t r)+1.0*10.19803902718557*sin(\t r)});
\draw [color=qqqqtt] (0.0,-0.0)-- (10.0,2.0);
\draw [color=qqqqtt] (0.0,-0.0)-- (3.2679491924311237,9.660254037844386);
\draw [color=qqqqtt] (0.0,-0.0)-- (-1.9999999999999978,10.0);
\draw (10,1.2) node[anchor=north west] {\color{gray}\footnotesize$\textrm{Luas daerah}\ ABCD = 8$};
\draw (4,11) node[anchor=north west] {\color{gray}\footnotesize$\textrm{Luas daerah}\  A'B'C'D' = 8$};
\draw (0,14) node[anchor=north west] {\color{gray}\footnotesize$\textrm{Luas daerah}\  A''B''C''D'' = 8$};
\draw (7.7,1.5) node[anchor=north west] {\color{gray}\footnotesize$AD=2$};
\draw (1.6,9.3) node[anchor=north west] {\color{gray}\footnotesize$A'D'=2$};
\draw (-2.3,9.8) node[anchor=north west] {\color{gray}\footnotesize$A''D''=2$};
\begin{scriptsize}
\draw [fill=DarkSlateGray] (10.0,0.0) circle (1.5pt);
\draw[color=DarkSlateGray] (9.593962828793506,0.25) node {$A$};
\draw [fill=DarkSlateGray] (15.0,0.0) circle (1.5pt);
\draw[color=DarkSlateGray] (15.253141030013104,0.25) node {$B$};
\draw [fill=DarkSlateGray] (10.0,2.0) circle (1.5pt);
\draw[color=DarkSlateGray] (10.2,2.3) node {$D$};
\draw [fill=DarkSlateGray] (13.0,2.0) circle (1.5pt);
\draw[color=DarkSlateGray] (13.229556097455793,2.3) node {$C$};
\draw [fill=uuuuuu] (0.0,-0.0) circle (1.5pt);
\draw[color=uuuuuu] (0.23059525950289853,0.46990898512565377) node {};
\draw [fill=xdxdff] (5.000000000000001,8.660254037844386) circle (1.5pt);
\draw[color=DarkSlateGray] (5.066620267817828,8.324162367424368) node {$A'$};
\draw [fill=xdxdff] (7.500000000000002,12.990381056766578) circle (1.5pt);
\draw[color=DarkSlateGray] (7.844762293871085,13.3) node {$B'$};
\draw [fill=qqqqff] (4.767949192431125,12.258330249197702) circle (1.5pt);
\draw[color=DarkSlateGray] (4.86083196959166,12.6) node {$C'$};
\draw [fill=qqqqff] (3.2679491924311237,9.660254037844386) circle (1.5pt);
\draw[color=DarkSlateGray] (3.1459294843736005,10.05) node {$D'$};
\draw [fill=xdxdff] (2.6645352591003757E-15,10.0) circle (1.5pt);
\draw[color=DarkSlateGray] (0.4363835577290657,10.2) node {$A''$};
\draw [fill=xdxdff] (3.552713678800501E-15,15.0) circle (1.5pt);
\draw[color=DarkSlateGray] (0.4363835577290657,15.25) node {$B''$};
\draw [fill=qqqqff] (-1.9999999999999964,13.000000000000002) circle (1.5pt);
\draw[color=DarkSlateGray] (-2.45,13) node {$C''$};
\draw [fill=qqqqff] (-1.9999999999999978,10.0) circle (1.5pt);
\draw[color=DarkSlateGray] (-2.5,9.8) node {$D''$};
\draw[color=qqwuqq] (1.4310269991555407,1.2244660786216) node {$60\textrm{\degre}$};
\draw[color=qqwuqq] (0.09340306068545373,1.6360426750739343) node {$30\textrm{\degre}$};
\draw [fill=uuuuuu] (4.1339745962155625,9.160254037844386) circle (1.5pt);
\draw [fill=uuuuuu] (-0.9999999999999976,10.0) circle (1.5pt);
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
    \end{minipage}}% 

\vspace{1cm}
Setelah penyelidikan dengan GeoGebra kita dapat menyimpulkan bahwa: 
\begin{enumerate}
\item Jarak dari objek dan bayangannya ke pusat rotasi adalah sama. 
\item Sudut rotasi dibentuk dengan menggabungkan titik objek, pusat rotasi, dan titik bayangan yang bersesuaian. Sudut rotasi adalah konstan untuk semua titik dalam rotasi tertentu.
\item Rotasi mengekalkan jarak antartitik. Rotasi mengekalkan panjang. 
\item Rotasi mengekalkan sudut.
\item Rotasi mengekalkan kesejajaran. 
\item Rotasi mengekalkan luas daerah.
\item Rotasi mengekalkan perbandingan (rasio).
\item Rotasi mengekalkan urutan titik.
\item Rotasi mengekalkan arah (orientasi) dari suatu bayangan. 
\item Rotasi adalah transformasi kekongruenan.
\end{enumerate}

\chapter{Dilatasi}
Dilatasi adalah transformasi yang menyapu bangun ke bangun yang serupa, dari pusat dilatasi, dengan menggunakan faktor skala $k$. Faktor skala adalah perbandingan (rasio) dari panjang yang bersesuaian pada bayangan terhadap panjang objek.
 
\section{Contoh Kasus}
Kita akan menggunakan GeoGebra untuk menyelidiki empat kasus faktor skala dilatasi. \\
Kasus 1: $k> 1$; Kasus 2: $0  1$}
\begin{itemize}
\item Bayangan lebih besar dari objek.
\item Objek dan bayangan keduanya terletak pada sisi yang sama terhadap pusat dilatasi.
\end{itemize}
    \end{minipage}}% 
    \hfill
\adjustbox{valign=t}{\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\definecolor{wqwqwq}{rgb}{0.3764705882352941,0.3764705882352941,0.3764705882352941}
\definecolor{qqttzz}{rgb}{0.0,0.2,0.6}
\definecolor{qqqqtt}{rgb}{0.0,0.0,0.2}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.7,line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-1,-4) rectangle (12,4);
\fill[color=qqttzz,fill=qqttzz,fill opacity=0.1] (4.0,1.0) -- (4.0,-1.0) -- (5.14,0.2) -- cycle;
\fill[color=qqttzz,fill=qqttzz,fill opacity=0.1] (8.0,2.0) -- (8.0,-2.0) -- (10.28,0.4) -- cycle;
\draw [color=qqttzz] (4.0,1.0)-- (4.0,-1.0);
\draw [color=qqttzz] (4.0,-1.0)-- (5.14,0.2);
\draw [color=qqttzz] (5.14,0.2)-- (4.0,1.0);
\draw [color=qqttzz] (8.0,2.0)-- (8.0,-2.0);
\draw [color=qqttzz] (8.0,-2.0)-- (10.28,0.4);
\draw [color=qqttzz] (10.28,0.4)-- (8.0,2.0);
\draw [dash pattern=on 2pt off 2pt,color=wqwqwq,domain=0.0:22.08000000000001] plot(\x,{(-0.0-2.0*\x)/8.0});
\draw [dash pattern=on 2pt off 2pt,color=wqwqwq,domain=0.0:22.08000000000001] plot(\x,{(-0.0--0.4*\x)/10.28});
\draw [dash pattern=on 2pt off 2pt,color=wqwqwq,domain=0.0:22.08000000000001] plot(\x,{(-0.0--2.0*\x)/8.0});
\draw (4.600000000000001,-0.16000000000000003) node[anchor=north west] {\footnotesize Objek};
\draw (9.160000000000004,-0.5200000000000001) node[anchor=north west] {\footnotesize Bayangan};
\draw (4.020000000000001,2.9600000000000004) node[anchor=north west] {$k>1$};
\begin{scriptsize}
\draw [fill=qqqqtt] (4.0,-1.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (3.9200000000000013,-1.3) node {$B$};
\draw [fill=qqqqtt] (4.0,1.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (3.9800000000000013,1.3400000000000003) node {$A$};
\draw [fill=qqqqtt] (5.14,0.2) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (5.3,0.6) node {$C$};
\draw [fill=qqqqtt] (0.0,-0.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (-0.24000000000000007,0.16000000000000003) node {$O$};
\draw [fill=qqqqtt] (8.0,2.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (8.040000000000003,2.3400000000000007) node {$A'$};
\draw [fill=qqqqtt] (8.0,-2.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (8.000000000000002,-2.3) node {$B'$};
\draw [fill=qqqqtt] (10.28,0.4) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (10.5,0.8) node {$C'$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
    \end{minipage}}%     

\adjustbox{valign=t}{\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\boldmath
{\bf Dilatasi dengan faktor skala $< -1$}
\begin{itemize}
\item Bayangan lebih besar dari objek.
\item Bayangan dan objek terletak pada sisi berlawanan terhadap pusat dilatasi.
\item Bayangan terbalik (terputar \unboldmath$180^\circ$).
\end{itemize}
    \end{minipage}}% 
    \hfill
\adjustbox{valign=t}{\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\definecolor{qqttzz}{rgb}{0.0,0.2,0.6}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0.0,0.0,1.0}
\definecolor{qqqqtt}{rgb}{0.0,0.0,0.2}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.8,line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-7,-3) rectangle (5,3);
\fill[color=qqttzz,fill=qqttzz,fill opacity=0.1] (1.06,-0.02) -- (2.5,-1.06) -- (1.48,0.92) -- cycle;
\fill[color=qqttzz,fill=qqttzz,fill opacity=0.1] (-2.12,0.04) -- (-5.0,2.12) -- (-2.96,-1.84) -- cycle;
\draw (1.86,0.7800000000000001) node[anchor=north west] {\footnotesize Objek};
\draw [color=qqttzz] (1.06,-0.02)-- (2.5,-1.06);
\draw [color=qqttzz] (2.5,-1.06)-- (1.48,0.92);
\draw [color=qqttzz] (1.48,0.92)-- (1.06,-0.02);
\draw [color=qqttzz] (-2.12,0.04)-- (-5.0,2.12);
\draw [color=qqttzz] (-5.0,2.12)-- (-2.96,-1.84);
\draw [color=qqttzz] (-2.96,-1.84)-- (-2.12,0.04);
\draw [dash pattern=on 2pt off 2pt,domain=-7.96:15.040000000000001] plot(\x,{(-0.0--0.06*\x)/-3.18});
\draw [dash pattern=on 2pt off 2pt,domain=-7.96:15.040000000000001] plot(\x,{(-0.0-2.7600000000000002*\x)/-4.4399999999999995});
\draw [dash pattern=on 2pt off 2pt,domain=-7.96:15.040000000000001] plot(\x,{(-0.0--3.18*\x)/-7.5});
\draw (-1.36,2.1800000000000006) node[anchor=north west] {$k<-1 0="" 1="" adjustbox="" anchor="north" antara="" bayangan="" begin="" bf="" cap="round,line" centering="" circle="" color="qqqqtt]" dan="" dari="" definecolor="" dengan="" dilatasi.="" dilatasi="" draw="" end="" faktor="" fill="qqqqtt]" footnotesize="" hfill="" item="" itemize="" join="round," kecil="" keduanya="" lebih="" minipage="" node="" objek.="" objek="" pada="" pt="" pusat="" qqqqtt="" qqttzz="" rgb="" sama="" scale="1.25,line" scriptsize="" sisi="" skala="" terhadap="" terletak="" tikzpicture="" valign="t}{\begin{minipage}{0.6\textwidth}" west="" yang="">=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-1,-2) rectangle (7,3);
\fill[color=qqttzz,fill=qqttzz,fill opacity=0.1] (4.14,1.4) -- (4.0,-0.74) -- (5.46,0.3) -- cycle;
\fill[color=qqttzz,fill=qqttzz,fill opacity=0.1] (2.277,0.77) -- (2.2,-0.40700000000000003) -- (3.003,0.165) -- cycle;
\draw [color=qqttzz] (4.14,1.4)-- (4.0,-0.74);
\draw [color=qqttzz] (4.0,-0.74)-- (5.46,0.3);
\draw [color=qqttzz] (5.46,0.3)-- (4.14,1.4);
\draw [dash pattern=on 2pt off 2pt,domain=0.0:18.7] plot(\x,{(-0.0--1.4*\x)/4.14});
\draw [dash pattern=on 2pt off 2pt,domain=0.0:18.7] plot(\x,{(-0.0--0.3*\x)/5.46});
\draw [dash pattern=on 2pt off 2pt,domain=0.0:18.7] plot(\x,{(-0.0-0.74*\x)/4.0});
\draw [color=qqttzz] (2.277,0.77)-- (2.2,-0.40700000000000003);
\draw [color=qqttzz] (2.2,-0.40700000000000003)-- (3.003,0.165);
\draw [color=qqttzz] (3.003,0.165)-- (2.277,0.77);
\draw (1.96,2.24) node[anchor=north west] {$0=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-3,-1.5) rectangle (5.5,1.5);
\fill[color=qqttzz,fill=qqttzz,fill opacity=0.1] (4.9,-0.28) -- (3.46,1.12) -- (3.18,-0.92) -- cycle;
\fill[color=qqttzz,fill=qqttzz,fill opacity=0.1] (-2.45,0.14) -- (-1.73,-0.56) -- (-1.59,0.46) -- cycle;
\draw [color=qqttzz] (4.9,-0.28)-- (3.46,1.12);
\draw [color=qqttzz] (3.46,1.12)-- (3.18,-0.92);
\draw [color=qqttzz] (3.18,-0.92)-- (4.9,-0.28);
\draw [color=qqttzz] (-2.45,0.14)-- (-1.73,-0.56);
\draw [color=qqttzz] (-1.73,-0.56)-- (-1.59,0.46);
\draw [color=qqttzz] (-1.59,0.46)-- (-2.45,0.14);
\draw [dash pattern=on 2pt off 2pt,domain=-7.287272727272732:13.62181818181819] plot(\x,{(-0.0--0.42000000000000004*\x)/-7.3500000000000005});
\draw [dash pattern=on 2pt off 2pt,domain=-7.287272727272732:13.62181818181819] plot(\x,{(-0.0-1.6800000000000002*\x)/-5.1899999999999995});
\draw [dash pattern=on 2pt off 2pt,domain=-7.287272727272732:13.62181818181819] plot(\x,{(-0.0--1.3800000000000001*\x)/-4.7700000000000005});
\draw (-0.21454545454545487,1.54396694214876) node[anchor=north west] {$-1=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\draw [color=cqcqcq,dash pattern=on 3pt off 3pt, xstep=2.0cm,ystep=2.0cm] (-22,-16) grid (22,16);
\draw[->,color=black] (-22,0.0) -- (22,0.0);
\foreach \x in {-20,-15,-10,-5,5,10,15,20,25,30,35,40,45}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->,color=black] (0.0,-16) -- (0.0,16);
\foreach \y in {-15,-10,-5,5,10,15}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
\clip(-22,-16) rectangle (22,16);
\fill[line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz,fill=qqwwzz,fill opacity=0.1] (2.0,2.0) -- (6.0,2.0) -- (6.0,4.0) -- (4.0,4.0) -- cycle;
\fill[line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz,fill=qqwwzz,fill opacity=0.1] (6.0,6.0) -- (18.0,6.0) -- (18.0,12.0) -- (12.0,12.0) -- cycle;
\fill[line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz,fill=qqwwzz,fill opacity=0.1] (-6.0,-6.0) -- (-18.0,-6.0) -- (-18.0,-12.0) -- (-12.0,-12.0) -- cycle;
\draw [shift={(2.0,2.0)},color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (0,0) -- (0.0:1.8074268593537046) arc (0.0:45.0:1.8074268593537046) -- cycle;
\draw [shift={(6.0,6.0)},color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (0,0) -- (0.0:1.8074268593537046) arc (0.0:45.0:1.8074268593537046) -- cycle;
\draw [shift={(-6.0,-6.0)},color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (0,0) -- (180.0:1.8074268593537046) arc (180.0:225.0:1.8074268593537046) -- cycle;
\draw (-14,-4.5) node[anchor=north west] {$k=-3$};
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (2.0,2.0)-- (6.0,2.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (6.0,2.0)-- (6.0,4.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (6.0,4.0)-- (4.0,4.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (4.0,4.0)-- (2.0,2.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (6.0,6.0)-- (18.0,6.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (18.0,6.0)-- (18.0,12.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (18.0,12.0)-- (12.0,12.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (12.0,12.0)-- (6.0,6.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (-6.0,-6.0)-- (-18.0,-6.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (-18.0,-6.0)-- (-18.0,-12.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (-18.0,-12.0)-- (-12.0,-12.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (-12.0,-12.0)-- (-6.0,-6.0);
\draw [dash pattern=on 3pt off 3pt,color=zzttqq,domain=-21.44989265453669:47.83480362068865] plot(\x,{(-0.0-24.0*\x)/-24.0});
\draw [dash pattern=on 3pt off 3pt,color=zzttqq,domain=-21.44989265453669:47.83480362068865] plot(\x,{(-0.0-24.0*\x)/-36.0});
\draw [dash pattern=on 3pt off 3pt,color=zzttqq,domain=-21.44989265453669:47.83480362068865] plot(\x,{(-0.0-12.0*\x)/-36.0});
\draw (14,13.5) node[anchor=north west] {$k=3$};
\draw (6.1,3.7) node[anchor=north west] {\footnotesize Luas daerah D = 6};
\draw (9.5,9.5) node[anchor=north west] {\footnotesize Luas daerah D' = 54};
\draw (-18,-8) node[anchor=north west] {\footnotesize Luas Daerah D'' = 54};
\draw (0.1,-0.7) node[anchor=north west] {\footnotesize Pusat dilatasi};
\begin{scriptsize}
\draw[color=zzttqq] (4.5,2.8) node {\footnotesize $45\textrm{\degre}$};
\draw[color=zzttqq] (8.5,7) node {\footnotesize $45\textrm{\degre}$};
\draw[color=zzttqq] (-8.55691439114693,-7) node {\footnotesize $45\textrm{\degre}$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
    \end{minipage}}%       
    
\adjustbox{valign=t}{\begin{minipage}{\textwidth}
\definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.0,0.0,0.0}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0.0,0.0,1.0}
\definecolor{qqwwzz}{rgb}{0.0,0.4,0.6}
\definecolor{qqqqtt}{rgb}{0.0,0.0,0.2}
\definecolor{cqcqcq}{rgb}{0.7529411764705882,0.7529411764705882,0.7529411764705882}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.9,line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\draw [color=cqcqcq,dash pattern=on 2pt off 2pt, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-1,-2) grid (17.5,9);
\draw[->,color=black] (-1,0.0) -- (17.5,0.0);
\foreach \x in {5,10,15}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->,color=black] (0.0,-2) -- (0.0,9);
\foreach \y in {2,4,6,8}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {};
\clip(-1,-2) rectangle (17.5,9);
\fill[line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz,fill=qqwwzz,fill opacity=0.1] (13.0,6.0) -- (16.0,6.0) -- (16.0,8.0) -- (14.0,8.0) -- cycle;
\fill[line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz,fill=qqwwzz,fill opacity=0.1] (9.5,4.0) -- (11.0,4.0) -- (11.0,5.0) -- (10.0,5.0) -- cycle;
\fill[line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz,fill=qqwwzz,fill opacity=0.1] (2.5,0.0) -- (1.0,0.0) -- (1.0,-1.0) -- (2.0,-1.0) -- cycle;
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (13.0,6.0)-- (16.0,6.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (16.0,6.0)-- (16.0,8.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (16.0,8.0)-- (14.0,8.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (14.0,8.0)-- (13.0,6.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (9.5,4.0)-- (11.0,4.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (11.0,4.0)-- (11.0,5.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (11.0,5.0)-- (10.0,5.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (10.0,5.0)-- (9.5,4.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (2.5,0.0)-- (1.0,0.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (1.0,0.0)-- (1.0,-1.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (1.0,-1.0)-- (2.0,-1.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (2.0,-1.0)-- (2.5,0.0);
\draw [dash pattern=on 2pt off 2pt,color=ffqqqq,domain=-1.6080670334644955:19.85421044126046] plot(\x,{(-15.0--6.0*\x)/10.5});
\draw [dash pattern=on 2pt off 2pt,color=ffqqqq,domain=-1.6080670334644955:19.85421044126046] plot(\x,{(--6.0-6.0*\x)/-15.0});
\draw [dash pattern=on 2pt off 2pt,color=ffqqqq,domain=-1.6080670334644955:19.85421044126046] plot(\x,{(--24.0-9.0*\x)/-15.0});
\draw (12.7,5.7) node[anchor=north west] {\footnotesize Luas daerah ABCD = 5};
\draw (9,3.8165534998987383) node[anchor=north west] {\footnotesize Luas derah A'B'C'D' = 1.25};
\draw (2.5,-0.5) node[anchor=north west] {\footnotesize Luas daerah A''B''C''D'' = 1.25};
\draw (8,5) node[anchor=north west] {$k=\frac{1}{2}$};
\draw (1,1.5) node[anchor=north west] {$k=-\frac{1}{2}$};
\draw (5,7.3) node[anchor=north west] {$\ds\frac{\textrm{\footnotesize Luas daerah A'B'C'D'}}{\textrm{\footnotesize Luas daerah ABCD}}=\frac{1}{4}$};
\draw (6,2) node[anchor=north west] {\footnotesize Pusat dilatasi};
\begin{scriptsize}
\draw [fill=qqqqtt] (13.0,6.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (12.8,6.1) node {$A$};
\draw [fill=qqqqtt] (16.0,6.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (16.25,6.1) node {$B$};
\draw [fill=qqqqtt] (16.0,8.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (16.12164044565612,8.258311794667891) node {$C$};
\draw [fill=qqqqtt] (14.0,8.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (14.124715498007799,8.258311794667891) node {$D$};
\draw [fill=qqqqff] (6.0,2.0) circle (1.5pt);
\draw [fill=qqqqtt] (9.5,4.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (9.3,4.1) node {$A'$};
\draw [fill=qqqqtt] (11.0,4.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (11.3,4) node {$B'$};
\draw [fill=qqqqtt] (11.0,5.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (11.19464805145839,5.253592948206405) node {$C'$};
\draw [fill=qqqqtt] (10.0,5.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (10.186854152645218,5.253592948206405) node {$D'$};
\draw [fill=qqqqtt] (2.5,0.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (2.740377011414561,0.25194915409660323) node {$A''$};
\draw [fill=qqqqtt] (1.0,0.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (1.0607205133926076,0.2892748540526465) node {$B''$};
\draw [fill=qqqqtt] (1.0,-1.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (1.1167090633266727,-1.3) node {$C''$};
\draw [fill=qqqqtt] (2.0,-1.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (2.2178172120299533,-1.3) node {$D''$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
    \end{minipage}}%        

\vspace{1cm}  
Dengan menggunakan GeoGebra, seperti digambarkan pada Gambar 8 sampai Gambar 10, kita dapat menyimpulkan bahwa:
\begin{enumerate}
\item Dalam dilatasi, bayangan dari suatu titik, titik semula, dan pusat dilatasi adalah segaris (\emph{collinear}).
\item Perbandingan panjang ruas garis yang menghubungkan titik-titik pada bayangan terhadap pusat dilatasi, dan panjang ruas garis yang menghubungkan titik-titik yang bersesuaian pada objek terhadap pusat dilatasi adalah suatu konstanta yang disebut faktor skala.
\item Dilatasi tidak mengekalkan panjang.
\item Dilatasi mengekalkan sudut.
\item Dilatasi adalah transformasi kesebangunan (\emph{similarity}).
\item Dilatasi mengekalkan kesejajaran.
\item Dilatasi tidak mengekalkan luas daerah. Luas daerah bayangan $= k ^ 2 \times$ luas daerah objek.
\item Dilatasi mengekalkan perbandingan (rasio).
\item Dilatasi mengekalkan urutan titik.
\item Dilatasi mengekalkan arah (orientasi).
\end{enumerate}

\chapter{Gusuran (\emph{Shearing})}
Gusuran adalah transformasi di mana semua titik sepanjang garis $l$ yang diberikan tetap (\emph{fixed}) sedangkan titik-titik lainnya bergeser sejajar dengan $l$ dalam jarak yang sebanding dengan jarak tegak lurusnya dari $l$. 

Kita dapat menggunakan GeoGebra untuk menjelaskan suatu gusuran. (Meskipun, harap dicatat, GeoGebra tidak memiliki fungsi gusuran).\\

\adjustbox{valign=t}{\begin{minipage}{\textwidth}
\definecolor{qqwwzz}{rgb}{0.0,0.4,0.6}
\definecolor{zzttqq}{rgb}{0.6,0.2,0.0}
\definecolor{qqqqtt}{rgb}{0.0,0.0,0.2}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-3,-3) rectangle (12,2);
\fill[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (-0.76,1.24) -- (4.28,-2.34) -- (11.46,-2.26) -- cycle;
\fill[color=qqwwzz,fill=qqwwzz,fill opacity=0.1] (4.28,-2.34) -- (11.46,-2.26) -- (4.239490756185171,1.2957046323808934) -- cycle;
\draw[color=qqqqtt,fill=qqqqtt,fill opacity=0.1] (4.492118867959989,-2.337636558574262) -- (4.489755426534251,-2.125517690614273) -- (4.277636558574263,-2.1278811320400113) -- (4.28,-2.34) -- cycle; 
\draw[color=qqqqtt,fill=qqqqtt,fill opacity=0.1] (4.241854197610909,1.0835857644209048) -- (4.4539730655708984,1.0859492058466427) -- (4.45160962414516,1.2980680738066315) -- (4.239490756185171,1.2957046323808934) -- cycle; 
\draw [color=zzttqq] (-0.76,1.24)-- (4.28,-2.34);
\draw [color=zzttqq] (4.28,-2.34)-- (11.46,-2.26);
\draw [color=zzttqq] (7.974993482966486,-2.2988301561786457) -- (7.87150408491317,-2.434991620956909);
\draw [color=zzttqq] (7.974993482966486,-2.2988301561786457) -- (7.868495915086833,-2.1650083790430896);
\draw [color=zzttqq] (11.46,-2.26)-- (-0.76,1.24);
\draw [color=qqwwzz] (4.28,-2.34)-- (11.46,-2.26);
\draw [color=qqwwzz] (11.46,-2.26)-- (4.239490756185171,1.2957046323808934);
\draw [color=qqwwzz] (4.239490756185171,1.2957046323808934)-- (4.28,-2.34);
\draw (-3.1796996051110575,1.2130395587174254)-- (9.680040962939401,1.35632357618874);
\draw (3.3551641618806585,1.2858514112744361) -- (3.251674763827342,1.1496899464961725);
\draw (3.3551641618806585,1.2858514112744361) -- (3.248666594001004,1.4196731884099925);
\draw (-2.2,-1) node[anchor=north west] {Luas daerah ABC = 13.05};
\draw (6.8,0.519999999999999) node[anchor=north west] {Luas daerah BCD = 13.05};
\begin{scriptsize}
\draw [fill=qqqqtt] (-0.76,1.24) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (-0.8,1.5799999999999992) node {$A$};
\draw [fill=qqqqtt] (4.28,-2.34) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (4.319999999999999,-2.5600000000000014) node {$B$};
\draw [fill=qqqqtt] (11.46,-2.26) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (11.700000000000001,-2.2000000000000015) node {$C$};
\draw [fill=qqqqtt] (4.239490756185171,1.2957046323808934) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (4.199999999999999,1.6199999999999992) node {$D$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
    \end{minipage}}%  

\vspace{1cm}
\adjustbox{valign=t}{\begin{minipage}{0.7\textwidth}
\definecolor{qqwwzz}{rgb}{0.0,0.4,0.6}
\definecolor{zzttqq}{rgb}{0.6,0.2,0.0}
\definecolor{qqqqtt}{rgb}{0.0,0.0,0.2}
\definecolor{cqcqcq}{rgb}{0.7529411764705882,0.7529411764705882,0.7529411764705882}
\centering
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\draw [color=cqcqcq,dash pattern=on 2pt off 2pt, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-5,-3) grid (4.5,4);
\draw[->,color=black] (-5,0.0) -- (4.5,0.0);
\foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->,color=black] (0.0,-3) -- (0.0,4);
\foreach \y in {-2,-1,1,2,3}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
\clip(-5,-3) rectangle (4.5,4);
\fill[line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (-4.0,-2.0) -- (-1.0,-2.0) -- (-1.0,2.0) -- (-4.0,2.0) -- cycle;
\fill[line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz,fill=qqwwzz,fill opacity=0.1] (-4.0,-2.0) -- (-1.0,-2.0) -- (3.0,2.0) -- (0.0,2.0) -- cycle;
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq] (-4.0,-2.0)-- (-1.0,-2.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq] (-1.0,-2.0)-- (-1.0,2.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq] (-1.0,2.0)-- (-4.0,2.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq] (-4.0,2.0)-- (-4.0,-2.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (-4.0,-2.0)-- (-1.0,-2.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (-1.0,-2.0)-- (3.0,2.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (3.0,2.0)-- (0.0,2.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (0.0,2.0)-- (-4.0,-2.0);
\draw (-4.5,3.5) node[anchor=north west] {\small Luas daerah ABCD = 12};
\draw (0.2,3.5) node[anchor=north west] {\small Luas daerah ABC'D' = 12};
\begin{scriptsize}
\draw [fill=qqqqtt] (-4.0,-2.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (-4.000000000000003,-2.1999999999999997) node {$A$};
\draw [fill=qqqqtt] (-1.0,-2.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (-0.9600000000000015,-2.1799999999999997) node {$B$};
\draw [fill=qqqqtt] (-1.0,2.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (-1.0000000000000016,2.3200000000000003) node {$C$};
\draw [fill=qqqqtt] (-4.0,2.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (-4.000000000000003,2.3400000000000003) node {$D$};
\draw [fill=qqqqtt] (3.0,2.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (3.2,2.2800000000000002) node {$C'$};
\draw [fill=qqqqtt] (0.0,2.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (0.19999999999999896,2.2800000000000002) node {$D'$};
\draw [fill=qqqqtt] (-4.0,1.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (-4.220000000000003,1.08) node {$E$};
\draw [fill=qqqqtt] (-4.0,0.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (-4.160000000000003,0.24) node {$F$};
\draw [fill=qqqqtt] (-4.0,-1.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (-4.220000000000003,-0.9) node {$G$};
\draw [fill=qqqqtt] (-1.0,1.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (-1.2800000000000016,1.1) node {$E'$};
\draw [fill=qqqqtt] (-2.0,0.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (-2.060000000000002,0.28) node {$F'$};
\draw [fill=qqqqtt] (-3.0,-1.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqtt] (-2.760000000000002,-0.9999999999999999) node {$G'$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
    \end{minipage}}% 
    \hfill
\adjustbox{valign=t}{\begin{minipage}{0.3\textwidth}
Perhatikan jaraknya:
\begin{align*}
AD&=4\quad \textrm{dan}\quad DD'=4\\
AE&=3\quad \textrm{dan}\quad EE'=3\\
AF&=2\quad \textrm{dan}\quad FF'=2\\
AG&=1\quad \textrm{dan}\quad GG'=1
\end{align*}

\end{minipage}}%

\vspace{1cm}
Kita dapat menyimpulkan bahwa suatu gusuran dapat sepenuhnya dijelaskan jika kita mengetahui 
\begin{enumerate}[(a)]
\item garis tetap (\emph{invariant})
\item bayangan titik yang tidak terletak pada garis invarian.
\end{enumerate}

Dengan demikian
\begin{enumerate}
\item Titik pada garis invarian tidak bergerak.
\item Jarak perpindahan dari setiap titik yang tidak terletak pada garis invarian, bergantung pada jaraknya dari garis invarian.
\item Semua titik yang tidak terletak pada garis invarian, berpindah sejajar dengan garis invarian.
\item Tinggi dari bangun tetap konstan.
\item Luas daerah terkekalkan.
\item Kesejajaran terkekalkan.
\item Urutan titik terkekalkan.
\end{enumerate}    
    
\chapter{Regangan (\emph{Stretching})}    
Suatu regangan dapat sepenuhnya dijelaskan jika kita mengetahui 
\begin{enumerate}[(a)]
\item arah peregangan.
\item perbandingan dari panjang sisi yang bersesuaian.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\adjustbox{valign=t}{\begin{minipage}{0.7\textwidth}
\definecolor{qqwwzz}{rgb}{0.0,0.4,0.6}
\definecolor{zzttqq}{rgb}{0.6,0.2,0.0}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0.0,0.0,1.0}
\definecolor{cqcqcq}{rgb}{0.7529411764705882,0.7529411764705882,0.7529411764705882}
\centering
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\draw [color=cqcqcq,dash pattern=on 3pt off 3pt, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-0.5,-4) grid (6.5,4);
\draw[->,color=black] (-0.5,0.0) -- (6.5,0.0);
\foreach \x in {1,2,3,4,5}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->,color=black] (0.0,-4) -- (0.0,4);
\foreach \y in {-3,2,1,1,2,3}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
\clip(-0.5,-4) rectangle (6.5,4);
\fill[line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.25] (2.0,-3.0) -- (5.0,-3.0) -- (5.0,-1.0) -- (2.0,-1.0) -- cycle;
\fill[line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz,fill=qqwwzz,fill opacity=0.1] (2.0,-3.0) -- (5.0,-3.0) -- (5.0,3.0) -- (2.0,3.0) -- cycle;
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq] (2.0,-3.0)-- (5.0,-3.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq] (5.0,-3.0)-- (5.0,-1.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq] (5.0,-1.0)-- (2.0,-1.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=zzttqq] (2.0,-1.0)-- (2.0,-3.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (2.0,-3.0)-- (5.0,-3.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (5.0,-3.0)-- (5.0,3.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (5.0,3.0)-- (2.0,3.0);
\draw [line width=1.2000000000000002pt,color=qqwwzz] (2.0,3.0)-- (2.0,-3.0);
\draw (2.5,2.2632380952380946) node[anchor=north west] {$\ds\frac{AD'}{AD}=3$};
\begin{scriptsize}
\draw [fill=qqqqff] (2.0,-3.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqff] (2.0278095238095237,-3.2451428571428576) node {$A$};
\draw [fill=qqqqff] (2.0,-1.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqff] (1.7051428571428573,-0.8942857142857148) node {$D$};
\draw [fill=qqqqff] (5.0,-1.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqff] (5.231428571428571,-0.8712380952380956) node {$C$};
\draw [fill=qqqqff] (5.0,-3.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqff] (4.977904761904762,-3.2681904761904765) node {$B$};
\draw [fill=qqqqff] (2.0,3.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqff] (2.0278095238095237,3.415619047619047) node {$D'$};
\draw [fill=qqqqff] (5.0,3.0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqff] (5.0931428571428565,3.3464761904761895) node {$C'$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
    \end{minipage}}% 

\chapter{Penutup}
Dengan penggunaan bidang koordinat kita dapat membentuk dan menggunakan matriks transformasi untuk berbagai transformasi. 

Sebagai bahan penyelidikan dapat kita awali dengan pertanyaan-pertanyaan berikut ini: 
\begin{itemize}[$\ds\circ$]
\item Bagaimana cara menyatakan rotasi dengan pusat di titik asal ($O(0,0)$ diwakili oleh suatu mat-riks? 
\item Bagaimana cara matriks rotasi digunakan untuk menjalankan rotasi terhadap dua objek bangun datar (dua dimensi)? 
\item Bagaimana cara translasi dinyatakan dengan menggunakan matriks? 
\item Bagaimana cara dilatasi dinyatakan dengan menggunakan matriks? 
\item Bagaimana kita dapat mewakili dan transformasi menggunakan matriks? Apakah ada perubahan yang tidak dapat diwakili dengan menggunakan matriks? 
\item Bagaimana cara kita menunjukkan dan mentransformasikan dengan menggunakan matriks? Adakah transformasi yang tidak dapat diwakili dengan menggunakan matriks? 
\item Bagaimana cara kita menggunakan perkalian matriks untuk menyelidiki komposisi transformasi? 
\item Apa batasan (jika ada) yang Anda miliki ketika menggunakan perkalian matriks untuk komposisi transformasi? Apakah batasan ini khas untuk setiap transformasi tertentu? 
\item Bagaimana cara kita menggunakan komposisi transformasi untuk menyelidiki perpindahan yang lebih kompleks?
\end{itemize}

\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{} Wisdom, Nathan. \emph{Transformation Geometry and Symmetry for High School},\\ http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Fa08/Wisdom/EMAT6690/Trans\%20Geometry\%\\20NJW/Transformation\%20Geometry.htm, (diakses 10 s.d. 14 Mei 2014)
\bibitem{} ShareLaTeX. https://www.sharelatex.com, (diakses 10 s.d. 14 Mei 2014)
\bibitem{} GeoGebra. http://www.geogebra.org/cms/en/, \emph{software}, (digunakan 10 s.d. 14 Mei 2014)
\bibitem{} Google Translate. https://translate.google.com, (diakses 10 s.d. 14 Mei 2014)
\bibitem{} Glosarium Istilah Asing-Indonesia. http://bahasa.kemdiknas.go.id/glosarium/?row=1170,\\ \emph{software}, (digunakan 10 s.d. 14 Mei 2014)
\bibitem{} The Free Dictionary. http://www.thefreedictionary.com, (diakses 10 s.d. 14 Mei 2014)
\bibitem{} Kamus 2.04. http://ebsoft.web.id/download/kamus/, \emph{software}, (digunakan 10 s.d. 14 Mei 2014)
\bibitem{} Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI). http://kbbi.web.id, (diakses 10 s.d. 14 Mei 2014)
\bibitem{} The Collins Dictionary. http://www.collinsdictionary.com, (diakses 10 s.d. 14 Mei 2014)

\end{thebibliography}
\end{document}